數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的三角函數(shù)高考試題分析及建議-基于近五年全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)(理科)試題的研究

李霞 姜晶 聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 山東聊城 252000

一、引言

2018年,山東省教育廳發(fā)布的《山東省2018年普通高等學(xué)?？荚囌猩ぷ?夏季高考)實(shí)施意見(jiàn)》,提出所有考試科目統(tǒng)一使用全國(guó)Ⅰ卷."三角函數(shù)的內(nèi)容至關(guān)重要,三角函數(shù)不僅是連接幾何和代數(shù)的一座橋梁,還是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道【1】."本文基于近五年全國(guó)Ⅰ卷高考理科數(shù)學(xué)試題,對(duì)其中涉及到的三角函數(shù)試題的內(nèi)容、考點(diǎn)以及部分三角函數(shù)試題所考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行分析并提出教學(xué)建議.

二、三角函數(shù)的內(nèi)容分析

高中數(shù)學(xué)教材中,三角函數(shù)部分編排在必修課本中.盡管教材版本存在差異,但總體來(lái)說(shuō),三角函數(shù)的內(nèi)容概括為如下幾個(gè)方面:任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和解三角形.

根據(jù)《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》對(duì)三角函數(shù)部分的要求,可以分為13個(gè)知識(shí)考點(diǎn),具體的知識(shí)考點(diǎn)如下:任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式 周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 兩角和與差公式、二倍角公式、簡(jiǎn)單的三角恒等變換 正余弦定理、正余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的三角函數(shù)考題分析

1.考題中的考點(diǎn)分析

對(duì)2014-2018年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),共有12個(gè)題目考查了三角函數(shù)的內(nèi)容.2014至2015年,均以填空題和選擇題的形式考查 2016至2018年均以一個(gè)解答題和一個(gè)填空題或選擇題的形式進(jìn)行了考查.對(duì)這12個(gè)題所涉及的考點(diǎn)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),每年至少會(huì)涉及到13個(gè)考點(diǎn)中的5個(gè)考點(diǎn),而且每道題目都是多個(gè)考點(diǎn)綜合考查,有的題目還會(huì)與其他章節(jié)的知識(shí)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查.

2.考題中包含的核心素養(yǎng)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面【2】.筆者結(jié)合近五年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題,抽取三角函數(shù)的部分題目,基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)來(lái)進(jìn)行策略分析.

例 1.(2014高考新課標(biāo)I,理6)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動(dòng)點(diǎn),角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為M,M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在[0,π]上的圖象大致為( ).

分析:本題考查了任意角的三角函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象.該題目注重對(duì)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模三大核心素養(yǎng)的考查.題中點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),則需借助直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),分析點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,利用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 建立動(dòng)點(diǎn)P的位置與"點(diǎn)M到直線OP的距離"之間的關(guān)系,進(jìn)而探索解題思路,得到解析式.本題的背景正是借助單位圓給出了三角函數(shù)的自然語(yǔ)言表征與圖象表征,即"點(diǎn)M到直線OP的距離"與四個(gè)圖象的選項(xiàng).考生要建立這兩者的關(guān)聯(lián),即需要學(xué)生具備數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵能力.

例2.(2015高考新課標(biāo) I,理 8)f(x)=cos(ωx+φ),函數(shù)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )

分析:三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過(guò)分析三角函數(shù)的解析式得到.本題中給出函數(shù)圖象,但解析式未知,所以要先求出函數(shù)的解析式,確定解析式f(x)=Acos(ωx+φ)+b的步驟如下:

(1)求A,b:確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則

.

(3)求φ:常用方法是代數(shù)法,即把函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))代入解析式,進(jìn)而求出φ的值.本題中A=1,b=0已知,所以只需要求出ω和φ即可.這樣就得到了三角函數(shù)的解析式,再利用其性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.本題是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查.

則( )

分析:公式的活學(xué)活用在三角函數(shù)這一部分尤其重要.本題中給出α,β的范圍,并且給出一個(gè)關(guān)系式,學(xué)生要學(xué)會(huì)使用轉(zhuǎn)化的思想,即要注意公式的逆用和變形,本題的解法中用到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦公式等知識(shí).總體來(lái)看學(xué)生應(yīng)掌握三角函數(shù)公式的活用技巧,即在解題的過(guò)程中頭腦中要有一定的邏輯性,本題主要是對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的考查.在解題過(guò)程中還考查到了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

通過(guò)以上分析可以看出,三角函數(shù)這一部分除了數(shù)據(jù)分析外,其他核心素養(yǎng)教學(xué)過(guò)程中都會(huì)有所體現(xiàn),所以在教學(xué)中除了要求學(xué)生掌握基本知識(shí),也應(yīng)該發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

四、核心素養(yǎng)下三角函數(shù)部分的教學(xué)建議

根據(jù)對(duì)近五年全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)試題中三角函數(shù)部分的試題分析,我們認(rèn)為應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,將核心素養(yǎng)應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中,提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量."應(yīng)建構(gòu)以能力培養(yǎng)為抓手,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)策略【3】."因此,從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)角度出發(fā),提出以下建議:

1.利用數(shù)形結(jié)合,發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)

"數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基石【4】."將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具象的數(shù)學(xué)圖形可以加強(qiáng)學(xué)生的理解,這就要求學(xué)生具備直觀想象的核心素養(yǎng).根據(jù)三角函數(shù)概念的基本特征,教師應(yīng)從數(shù)和形兩個(gè)方面來(lái)加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解,從而發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).例如,在求解例1時(shí),需要利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解用單位圓定義三角函數(shù)這一概念,發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng),進(jìn)而幫助學(xué)生理解該題的運(yùn)算方法.

2.借助多媒體,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

例2考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng),要培養(yǎng)學(xué)生的這一核心素養(yǎng),可以借助多媒體來(lái)幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).正弦和余弦函數(shù)圖象非常相似,有些學(xué)生經(jīng)?；煜嚓P(guān)的知識(shí)點(diǎn),多媒體能夠直觀的展示出圖象的變化過(guò)程,幫助學(xué)生理解參數(shù)對(duì)圖象變化的影響,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

3.利用口訣記憶,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

在求解例1~3時(shí),都用到了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).尤其是解例3時(shí),要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)公式能夠活學(xué)活用.為方便學(xué)生對(duì)公式準(zhǔn)確記憶,更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,我們可以根據(jù)公式特點(diǎn)概括出相應(yīng)口訣,促進(jìn)記憶,從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).例如,對(duì)于誘導(dǎo)公式,可以總結(jié)出"奇變偶不變,符號(hào)看象限"的口訣.

4.加強(qiáng)思維訓(xùn)練,發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)

在求解例2~3的過(guò)程中,都考查了邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).為了發(fā)展邏輯推理這一核心素養(yǎng),要注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng).首先,培養(yǎng)邏輯表達(dá)能力.教師應(yīng)充分利用三角函數(shù)知識(shí)特點(diǎn),積極開(kāi)展合作學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析和總結(jié).其次,注重邏輯思維同步模仿訓(xùn)練.教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.最后,注重思維過(guò)程的展示.教師應(yīng)通過(guò)示范和啟迪,充分展示自己多層次的思維過(guò)程,以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng).

5.注重討論探究,提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

抽象來(lái)自于對(duì)于具體事物的抽象與概括,數(shù)學(xué)抽象是指抽取出同類數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的屬性或特征.在三角函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中,注重學(xué)生的討論探究更有利于學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的理解.例如,在任意角三角函數(shù)這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中,可以先復(fù)習(xí)定義,然后將角放入直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)學(xué)生的討論探究,就可以抽象出任意角的三角函數(shù)的定義了.