例析高考題中的數(shù)學文化滲透

王昊 揚州大學數(shù)學科學學院 江蘇揚州 225002

隨著素質(zhì)教育的深入發(fā)展以及新課程改革的不斷演化,人們逐漸認識到數(shù)學不僅是一門工具,還是具有內(nèi)在價值的精神產(chǎn)物和文明成果,數(shù)學文化引起了教育界的重視,更多的教師開始關注數(shù)學文化的潛在作用.李大潛院士曾說:"數(shù)學是一種先進的文化,是人類文明的重要基礎",《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》指出:"數(shù)學承載著思想和文化,是人類文明的重要組成部分."教育部考試中心頒布的2017年數(shù)學考試大綱中,正式將數(shù)學文化列入高考內(nèi)容.縱觀歷年高考題中的數(shù)學文化試題,大都是《九章算術》、楊輝三角、斐波那契數(shù)列等帶有數(shù)學史色彩的題目,然而數(shù)學文化的意義遠超于此【1】,張奠宙教授是這樣詮釋數(shù)學文化的內(nèi)涵的:"狹義的數(shù)學文化指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言,以及它們的形成和發(fā)展 廣義的數(shù)學文化還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關系,等等."基于此,筆者從以下四個方面,例析2019年高考題的數(shù)學文化滲透:

一 高考題中的數(shù)學文化

1滲透中外數(shù)學史

歌德曾說:"一門科學的歷史就是這門課學本身",如果沒有數(shù)學史,數(shù)學知識便只剩一堆枯燥的概念、符號、公理和命題.數(shù)學史作為試題背景,通常包括古代數(shù)學家,古代數(shù)學學派,古代數(shù)學典籍,古代數(shù)學名題等【2】,將數(shù)學史融入試題,可以幫助學生加深對數(shù)學的理解,提高學習數(shù)學的興趣 可以讓學生感受到數(shù)學家的科學精神和研究歷程 有利于開闊學生的視野,在潛移默化中提高數(shù)學素養(yǎng).

【例1】(全國卷Ⅰ)古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是稱為黃金分割比例),著名的"斷臂維納斯"便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是( )

A165cm B175cm C185cm D195cm

古希臘取得過及其輝煌的數(shù)學成就,誕生了亞里士多德、畢達哥拉斯等數(shù)學家,出現(xiàn)過眾多數(shù)學名著,如歐幾里得的《幾何原本》,書中系統(tǒng)的論述了黃金分割,建立了黃金分割和其它知識之間的聯(lián)系,黃金分割更是廣泛的運用于建筑學和美學之中,將其作為背景,考察學生方程與不等式的知識,符合學生的認知水平,既能夠引起學生的解題興趣,又引導學生關注西方優(yōu)秀數(shù)學文化,增強文化認同感.

【例2】(全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是"半正多面體"(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________.

我國幾何學早在四五千年前開始萌芽,具有悠久的歷史,它不僅在理論上追求嚴密的邏輯證明,更為實際應用提供了公式和算法,有"勾股定理"、《九章算術》、"祖暅定理"、"圓周率"等杰出成就,題中提到的"半正多面體"是西魏將軍獨孤信印章,印章共有26面,其中正方形印面18個,三角形印面8個,如此精美的設計,正是我國古代幾何學豐碩成果的體現(xiàn).以此為背景考察學生立體幾何知識再合適不過,可以促使學生關注我國古代數(shù)學文化,讓學生了解中國古代數(shù)學的偉大貢獻,培養(yǎng)民族自信心和自豪感.

2 滲透與其他學科的聯(lián)系

數(shù)學家克萊因說:"數(shù)學是人類最高超的智力成就,是人類心靈獨特的創(chuàng)作,是一切科學的核心,是可以改變?nèi)祟愇镔|(zhì)生活,給與一切的動力."數(shù)學與人類生活和社會發(fā)展聯(lián)系緊密,滲透到人們生活的方方面面,是一切自然科學的基礎,并在社會科學中發(fā)揮越來越重要的作用【3】.適當加強學科之間的融合能夠凸顯學科之間的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系,使數(shù)學構建的路徑更加豐富,讓數(shù)學學習變得更加深刻,因此我們必須關注數(shù)學與其他學科的聯(lián)系.

【例3】(北京)在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等為-26.7,天狼星的星等為-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為( )

A1010.1B10.1 Clg10.1D10-10.1

【例4】(全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用"卦"描述萬物的變化.每一"重卦"由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻"——"和陰爻"- -",如

圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是( )

加強數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系不是一種形式,更不是口號,要真正落實和引領,上述兩個例子分別體現(xiàn)了數(shù)學與天文學、物理學和文學之間的聯(lián)系,這樣的相互滲透有利于學生在更廣泛,跨學科的背景下理解數(shù)學,它開闊了學生的視野和思維,有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,培養(yǎng)學生敏銳的數(shù)學眼光,加強學生綜合運用知識解決實際問題的能力,形成學生對數(shù)學的整體認識.

3 滲透數(shù)學應用

數(shù)學是描述客觀世界中空間形式和數(shù)量關系的模型,它來源于生活并且作用于生活,是人們生活、勞動和學習的必不可少的工具.在政治、經(jīng)濟、科學等諸多因素的影響下,數(shù)學空前的滲透到每個人的生活中.課程標準指出,要"用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界."因此,通過在試題中合理設置情景,滲透數(shù)學應用,有利于培養(yǎng)學生利用所學數(shù)學知識分析和解決實際生活中的問題.

【例5】(全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速,技術先進.經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.

中國高鐵運營里程穩(wěn)居世界高鐵旅程的榜首,是中國人民的驕傲,本題以中國高鐵為背景,給出每個事件的概率,引導學生計算頻率分布中的平均值.試題的設計源于社會生活,體現(xiàn)了新的課程標準的要求.

【例6】(全國卷Ⅰ)為了治療某種疾病……約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分 若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分 若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,Pi(i=0,1,…,8)表示"甲藥的累計得分為 時,最終認為甲藥比乙藥更有效"的概率,則P0=0,P8=1,Pi=aPi-1+bPi+cPi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(x=-1),b=P(x=0),c=P(x=1).假設α=0.5,β=0.8.

(i)證明:{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

合理安排實驗并對所得結果進行比較,做出統(tǒng)計結論是統(tǒng)計學中常見的題型,這道統(tǒng)計題不同以往的放在了壓軸題的位置,以比較兩種新藥的藥效為背景,設計實際問題,第一問考察離散型隨機變量分布列的求解、第二問則是利用遞推關系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項公式和數(shù)列中的項的問題.試題來源于實際生活,具有較高的現(xiàn)實意義,有利于培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力,提高數(shù)學應用意識,使學生切實感受數(shù)學的價值.

4 滲透數(shù)學精神

數(shù)學精神是在幾千年數(shù)學探索實踐中形成的精神財富,其內(nèi)涵在于"理性",數(shù)學精神及其內(nèi)涵是人們在對客觀事物進行一系列的分析、抽象、概括、判斷的過程中反映出來的,在試題中滲透數(shù)學精神集中體現(xiàn)在滲透數(shù)學思想方法上.

【例7】(全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)f′(x)為f(x)的導數(shù).證明:

(2)f(x)有且僅有2個零點.

本題第一問考查導數(shù)與函數(shù)極值之間的關系,需要學生對原函數(shù)進行二次求導,再判斷導函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,根據(jù)零點存在定理可判斷出,使得g′(x0)=0,進而得到導函數(shù)在上的單調(diào)性,從而可證得結論.第二問在第一問結論的基礎上,增加難度,要求利用導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題,需要討論 不同取值下零點的存在情況并且整合在一起才能得出結論.這道試題將導數(shù)問題與函數(shù)零點問題結合起來,考察了知識的靈活應用,考察學生運用數(shù)形結合思想和分類討論的思想解決問題的能力,解題過程中還涉及到大量的運算,一個符號的錯誤都有可能導致整個結論的錯誤,需要學生細心耐心,堅持做下去才能得出正確答案.

【例8】(全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,PD的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為

本題要求三棱錐外接球體積,考察的學生空間想象能力,學生要先證明PB⊥平面PAC,再求得PA=PB=PC=,從而得P-ABC為正方體一部分,進而知正方體的體對角線即為球直徑,從而得解.從"正三棱錐"到"正直三棱錐"到"正方體"恰好體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學思想.

二 反思

教師在教學過程中扮演著重要角色,是學生學習的引導者,因此要讓學生理解數(shù)學文化,首先要增強教師自身的數(shù)學文化素養(yǎng),這就要求教師具有樂于鉆研的學習態(tài)度和鍥而不舍的科學精神,具有更加開放的格局和更加廣闊的數(shù)學視野.

高考試題雖然可以滲透數(shù)學文化,但其對培育學生數(shù)學文化的作用是有限的,更重要的是在教學過程中的滲透:合理創(chuàng)設知識產(chǎn)生的歷史背景,體驗數(shù)學文化的底蘊,在激發(fā)學生的學習興趣的同時,讓學生學習數(shù)學家勇于探索、不畏艱辛的崇高精神 注重數(shù)學思想方法的體現(xiàn),培養(yǎng)學生客觀、理性的數(shù)學思維 加強數(shù)學與其他學科和實際生活的聯(lián)系,增強數(shù)學的應用性,加強學生對數(shù)學學習的整體認知,讓學生體會數(shù)學應用價值,感受數(shù)學文化的力量.