應(yīng)用力學(xué)原理分析沙漏重量隨時間變化關(guān)系

王徽 石杰洋

摘 要：沙漏中沙子下落時，沙漏的重量并不是保持不變的，通過觀察實驗現(xiàn)象可將該過程分為六個階段。本研究主要利用微元法、牛頓定律、動量守恒定律對實驗現(xiàn)象進(jìn)行理論分析，最終分析出每個階段沙漏重量的變化原因。

關(guān)鍵詞：沙漏；重量；超重與失重；微元法

沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置，它由兩個玻璃球和一個狹窄的連接管道組成的。通過充滿了沙子的玻璃球從上面穿過狹窄的管道流入底部玻璃球所需要的時間來對時間進(jìn)行測量。但沙漏在運(yùn)行時的重量卻不是保持不變的，沙子正在下落的部分使其變輕，而沙子對底部的撞擊卻會使其變重，本文將對此問題展開研究，詳細(xì)解釋沙漏工作過程中其重量變化的問題。

1 理論分析

當(dāng)沙漏工作時沙子會從上部的錐形瓶通過狹窄的通道進(jìn)入下部的錐形瓶，可按照其工作順序逐步將其分解為六個階段，除此以外，為了對沙漏工作時的重量和時間的關(guān)系進(jìn)行分析，建立以下三點假設(shè)：（1）沙子的體積相較于錐形瓶的體積足夠小。（2）沙子落入下部錐形瓶后將均勻分散于底部，即忽略其形成的錐形沙堆的影響。（3）沙子下落的初速度為零，且沙子下落時均勻連續(xù)。

用M表示整個沙漏的質(zhì)量，D和H分別表示沙漏中間部位的直徑和到底部的高度，ρ表示沙子的密度T表示沙子下落的時間，F(xiàn)i表示第i階段沙漏重量。

1.1 第一階段與第二階段

第二階段是沙漏開始工作，沙子剛好開始下落，但沒有落到底部的過程。此時可將下落的沙子看作是下落的圓柱。設(shè)沙子經(jīng)過時間T=t1落到底部，沙子末端下落的速度為u，下落過程中沙子的質(zhì)量為m。則根據(jù)牛頓第二定律可以求出

所以當(dāng)下落時間為t時，有質(zhì)量為m的沙子處于完全失重的狀態(tài)，此時沙漏整體的重量為

可以看出第二階段沙漏的重量小于靜止時候的重量，且隨著時間的增加會不斷減小。

1.2 第三階段與第四階段

第三階段是從沙子接觸到漏斗底部到這部分剛接觸底部的沙子速度變?yōu)榱愕倪^程。當(dāng)沙子剛好接觸漏斗底部時，時間為t1，用F2end表示第二階段末尾時沙漏重量，將（2）帶入（7）中得

由于第三階段時間極短，所以可將第三階段看作是沙漏重量突變的過程，沙漏重量由小于Mg突變到大于Mg。

第四階段則是從“第一批”落到底部的沙子速度變?yōu)榱愕臅r刻開始到沙漏上半部沙子全部漏出去的時刻。由于第四階段沙漏所處的狀態(tài)與第三階段末尾時刻沙漏所處狀態(tài)相同，所以

此階段沙漏重量為常數(shù)，保持不變且大于沙漏靜止時重量。沙漏工作時大部分時間處于第四階段。

1.3 第五階段與第六階段

第五階段是從沙漏上半部分沙子剛好完全流出，到沙子全部都落到底部速度減為零的過程。這個階段沙漏的重量同第四階段相比，不同之處在于處于下落過程中的沙子在隨時間減少。即與第二階段正好相反（此階段越來越多的沙子處于失重狀態(tài)），沙子逐漸落到底部，處于失重狀態(tài)的沙子逐漸減少，由于下落失去的重量又“回來了”，且重量“恢復(fù)”的速率與第二階段重量減少的速率相同。此時沙漏的重量F5即為第四階段重量加上逐漸恢復(fù)的重量。用t2表示第五階段開始的時刻，則恢復(fù)的重量為

第六階段即為沙漏中沙子全部到達(dá)底部之后的階段，此時沙漏處于靜止?fàn)顟B(tài)，重量

2 實驗與討論

沙漏中沙子落下后，會在底部形成一個“沙堆”，后續(xù)沙子下落的高度會逐漸減小，且沙子落下后會從“沙堆”上滾落，速度并不會立即變?yōu)榱?，這將會對實驗帶來一些誤差，所以為了盡可能使實驗趨于理想情況，制做了一個可以調(diào)節(jié)高度的沙漏，如圖5。實驗時將沙漏高度調(diào)到最大，漏沙口距離沙漏底部13.97cm，增大沙子落下的速率，以此減小“沙堆”對實驗產(chǎn)生的影響。實驗時是用密度為2.17g/cm3的食用鹽來代替沙子，沙漏（不含食鹽）的總重為36.0g。

由于沙漏重量的變化不是很大，即使對于一個很大的120厘米高的裝置，在10秒鐘內(nèi)排空，重量的最大變化也只有49毫克[1]。所以不能用通常的物理實驗室設(shè)備測量。因此使用更精密的分析天平來測量沙漏的重量，開始稱重之前，將分析天平與電腦連接，通過超級終端將動態(tài)的沙漏重量導(dǎo)入到電腦中。實驗開始時將139.7g的食用鹽裝入裝置中，將沙漏放好后，打開沙漏的漏沙口，讓沙漏自由工作，沙漏完全靜止后停止稱重，將稱得的沙漏重量數(shù)據(jù)繪制成圖，得到沙漏工作過程中實際重量的變化曲線（圖4右）。再將實驗過程中的相關(guān)參數(shù)帶入上述理論分析得到的結(jié)論中，用繪圖軟件繪制了沙漏重量變化的理想曲線。通過實驗曲線與理想曲線的對比，可以看出，實際沙漏工作時重量的變化與理論分析得到的沙漏重量變化擬合良好，驗證出上述理論分析正確。

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作者簡介：

王徽（1997-），男，內(nèi)蒙古太仆寺旗，大連理工大學(xué)，本科在讀，土木工程；

石杰洋（1998-），男，重慶市潼南縣，大連理工大學(xué)，本科在讀，土木工程.

Shi jieyang，大連理工大學(xué)，遼寧省大連市甘井子區(qū)凌工路2號大連理工大學(xué)，116024.

Wang hui， 大連理工大學(xué)，遼寧省大連市甘井子區(qū)凌工路2號大連理工大學(xué)，116024.