抓好數(shù)學解題教學 促進解題能力提升

錢怡

[摘? 要] 解題課不僅在幫助學生鞏固基礎(chǔ)知識、強化基本技能上具有突出的價值，而且還可以有效幫助學生查缺補漏，讓學生更好地認識自己、發(fā)展自己;另外，借助解題課還能培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)，其在數(shù)學教學中具有不可估量的價值. 為了更好地發(fā)揮解題課的價值，教學中可以嘗試采用“學生先行、教師斷后”的教學模式，堅持“以生為主”，做好課前準備、課中探究和課后反思，從而有效發(fā)展學生的數(shù)學思維，促進學生解題能力提升.

[關(guān)鍵詞] 解題課;數(shù)學思維;解題能力

在傳統(tǒng)的教學中，大多數(shù)教師將知識、方法以“灌輸”的方式講完后，就會配以練習讓學生進行模仿和強化，借助練習讓學生理解相應(yīng)的知識和方法，然這樣的練習較為機械. 雖然在章節(jié)練習中能夠取得較好的解題效果，然在綜合練習中，當學生面對新的問題、新的情境時往往就會感覺不適. 可見，傳統(tǒng)的教學方法存在一定的弊端，表面上學生能夠解決很多問題，然學生在學習上缺乏靈活性和深刻性，這樣只能將學生訓練成做題的“工具”，不利于學生長遠的發(fā)展. 為了改變這一現(xiàn)狀，教師有必要改變傳統(tǒng)的教學模式，在解題教學中側(cè)重發(fā)揮學生的主體價值，鼓勵學生通過獨立思考、合作交流的方式自主解決問題，采用“學生先行，教師斷后”的教學模式，給學生創(chuàng)設(shè)一定的空間去思考和探究，教師通過適時的引導，將思維引向深處，從而幫助學生認清問題的本質(zhì)，總結(jié)和提煉出重要的思想方法，以此提升學生實際解決問題的能力. 筆者在教學“點到直線的距離公式的推導及應(yīng)用”時，采用了“學生先行，教師斷后”的教學模式，取得了較好的教學效果，現(xiàn)將其分享出來，以期共鑒.

[?]教學實錄

1. 交流與探究

師：我們知道，點P（x，y）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式是d=，那么你們知道這個公式是如何推導出來的嗎？現(xiàn)在請各小組合作探究，嘗試從幾何、三角、函數(shù)、向量、不等式等不同角度進行證明.

設(shè)計意圖：借助問題情境，指明探究方向，改變傳統(tǒng)的以教師講授為主的教學模式，鼓勵學生進行合作探究，嘗試應(yīng)用以前所學知識來證明新的結(jié)論，以此既能實現(xiàn)舊知鞏固，又能借助多角度分析將相關(guān)的知識融合在一起，培養(yǎng)學生的綜合應(yīng)用能力. 要知道，數(shù)學公式中往往蘊含著豐富的內(nèi)容，若只是將公式拋給學生就進行簡單的強化訓練，那么學生將難以理解公式的真正內(nèi)涵，抓不住問題的核心，這樣在解決問題時往往會出現(xiàn)思維障礙，因此教師要帶領(lǐng)學生參與到知識的生成過程中來，以此既能讓學生切身體會公式推導中蘊含的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)思維的深刻性，又能讓學生在解題時可以靈活面對各種新的問題，培養(yǎng)思維的靈活性.

筆者給學生足夠的時間進行多角度探究，在巡視中對一些關(guān)鍵節(jié)點及時給予引導，課堂氣氛融洽，師生互動更深入.

師：大家都做得非常好，接下來請各小組展示一下你們合作探究的成果. （筆者讓每個小組派一名代表，選擇一個探究方向進行展示）

生1：如圖1所示，作PM∥x軸交直線l于點M（x，y），作PN∥y軸交直線l于點N（x，y），則x=，y=，所以PM=

. 根據(jù)等面積法可得PQ===.

師：非常好，從幾何的角度出發(fā)，利用“算兩次”的方法推導出了公式. 你們是不是也是這樣證明的呢？（學生紛紛點頭，表示與自己的證明方法相同）

生2：還可以這樣推導：如圖1所示，在Rt△PMQ中，PM=

，又直線l的斜率k=tanα=-，所以sinα=，所以PQ=PM·sinα=.

師：很好，利用斜率、傾斜角、同角三角函數(shù)等相關(guān)知識也可以完成證明. 我們一起來看看其他小組又是如何證明的.

生3：如圖1所示，設(shè)Q（x，y），根據(jù)題意可知Ax+By+C=0，

y-y）=0，但是列出方程組后卻解不出答案，難道這個方法行不通嗎？

生4：可以解，解得x=

生3：哦！這樣根據(jù)d2=PQ2=（x-x）2+（y-y）2繼續(xù)計算應(yīng)該可以求解了.

師：該方法是解析幾何中的常用方法，不過對運算能力要求較高，想一想該過程能否進行優(yōu)化呢. （因為該方法是解題的基本方法，筆者決定給學生充足的時間再思考）

生4：將方程Ax+By+C=0改為A（x-x）+B（y-y）=-（Ax+By+C），與方程B（x-x）-A（y-y）=0聯(lián)立，得

. （下略）

師：很好，將整體思想應(yīng)用得淋漓盡致，方程變形后，使運算過程得到了有效的優(yōu)化.

接下來在筆者的啟發(fā)下，學生又從函數(shù)、不等式、向量的角度進行了推導驗證，在推導驗證的過程中讓學生的思維能力和認知水平得到了提升. 多種推導方法的應(yīng)用使許多看似不相關(guān)的知識點緊密地聯(lián)系在了一起，促進了知識的融合，有助于學生認知體系的完善和優(yōu)化. 另外，整個教學過程以學生為主，學生在交流合作中實現(xiàn)了優(yōu)勢互補，使課堂變得精彩紛呈.

2. 檢測與反饋

師：大家應(yīng)用不同的方法進行了公式的推導，現(xiàn)在我們一起來驗證一下大家的掌握情況. （用PPT展示問題）

問題：已知曲線C是到點P

-，

和直線y=-距離相等的點的軌跡，l是過點Q（-1，0）的直線，M是C上但不在l上的動點;點A和點B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸（如圖2所示）.

（1）求曲線C的方程;

（2）求直線l的方程，使得為常數(shù).

第（1）問為基礎(chǔ)題，可設(shè)點N（x，y）為C上的點，則NP=，N到直線y=-的距離為

y+，根據(jù)題意易得曲線C的方程為y=（x2+x）. 對于第（2）問，學生因為經(jīng)歷了前面公式的推導，思維更加靈活，解題時出現(xiàn)了多種方法：有的學生選擇求交點坐標解決問題;有的學生利用QA=求解;有的學生從整體入手，直接列出方程組求解;也有的學生利用的投影在直線l的方向向量上求解. 經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，較前屆學生，采用“學生先行，教師斷后”的教學模式，能有效地激發(fā)學生的潛能，使學生的思維更活躍，解法更多樣，解題效率有了明顯的提升.

[?]教學體會

解題課的教學模式多種多樣，不同的教師有不同的認識，教學中也會采用不同的教學方案，但無論應(yīng)用何種教學模式都不能忽視學生的主體價值，要善于激發(fā)和調(diào)動學生的積極性，只有這樣才能讓學生真正學會思考、學會探究、學會解決問題.

與傳統(tǒng)教學模式相比，“學生先行，教師斷后”的教學模式有以下幾點作用：①既能充分暴露學生的問題，通過交流互動幫助學生查缺補漏，又能展示學生的新思路，培養(yǎng)思維的靈活性;②可以發(fā)揮個體思維差異的優(yōu)勢，讓學生在互動交流中拓展思維，完善認知;③有助于幫助學生熟練解題方法，形成解題技能;④給學生獨立思考創(chuàng)設(shè)了良好的契機，有效擺脫教師思維定式的束縛，讓學生的思維擁有更為廣闊的發(fā)展空間. 該教學模式在培養(yǎng)學生獨立思考和合作探究能力等方面具有突出的優(yōu)勢，其更易于觸發(fā)學生積極學習，更易于提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

當然，提倡“學生先行”給教師帶來了新的挑戰(zhàn)和新的壓力. 在傳統(tǒng)的教學中，學生的思路是跟著教師走的，教師只要課前做好充分準備，課中靈活呈現(xiàn)就能完成一節(jié)課的教學;而讓“學生先行”則課堂上勢必會出現(xiàn)新的問題，這也就為教學帶來了新的挑戰(zhàn)，教師不僅要通過巧妙的引導幫助學生自然地走上探究之路，而且在面對靈活的課堂生成性資源時要靈活調(diào)整教學策略，使教學活動更適合學生發(fā)展. 為了保證該教學模式能順利實施，首先，教師在課前要做好充分的準備，以“三個理解”為基礎(chǔ)設(shè)計高質(zhì)量的問題，以此啟迪學生智慧的思維，激發(fā)學生的潛能;其次，在交流互動中，教師要融于其中，適當?shù)匾龑W生，避免學生的思路“走偏”而影響到他們的探究信心和探究結(jié)果;最后，當學生展示交流結(jié)果后，教師應(yīng)及時給予指導和評價，通過有效的拓展和延伸，構(gòu)建完善的知識網(wǎng)絡(luò)，促進思維能力有效提升.

另外，解題教學中要充分發(fā)揮反思的力量，這是思維能力提升的前提和保障. 解題過程中有時會因?qū)忣}不清、概念混淆、運算錯誤、忽視特例等情況而出現(xiàn)各種錯誤，那么有效反思可以規(guī)避錯解風險，提高解題準確率. 解題后要反思其他解題方法，對于同一個問題往往會有不同的解題方法，因此在平時練習時不要拘泥于一種解法，要引導學生多角度嘗試探究，這樣可以有效調(diào)動不同的認知，使學生的思維觸角伸向更深、更廣的層面，以此發(fā)展學生的思維能力. 同時，在反思過程中要引導學生進行總結(jié)和歸納，從而在解決一個問題的基礎(chǔ)上能夠掌握解決一類問題的思想方法，讓學生能夠從整體和全局上更好地理解并掌握新知，以此提升解題能力.

總之，在解題教學中要改變傳統(tǒng)的“就題論題”的講授模式，變“機械模仿”為“主動探究與合作交流”，讓學生真正地學起來，從而提高學生的解題能力.