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    淺談初中數(shù)學(xué)中方程思想的幾種應(yīng)用

    2019-10-21 19:54:19周慶靈
    青年生活 2019年13期
    關(guān)鍵詞:方程思想初中數(shù)學(xué)應(yīng)用

    周慶靈

    摘要:方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.用方程的思想去解題是初中數(shù)學(xué)一種常用的解題方法.本文通過典型例題解析了方程思想方法的三種應(yīng)用,即方程思想在計(jì)算、幾何、函數(shù)中的應(yīng)用.

    關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);方程思想;應(yīng)用

    1 方程思想

    解析幾何的創(chuàng)立者Rene Descartes 曾經(jīng)這樣說過:“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題.因此,一旦解決了方程問題,一切問題都將迎刃而解.”盡管這種觀點(diǎn)有夸大,但也從側(cè)面反映了方程思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.

    方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間的等量關(guān)系,建立方程(組),或者構(gòu)造方程(組),通過解方程(組),或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題得以解決[1].而其中最核心步驟就是找等量關(guān)系[2].然而如何運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)、現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的問題呢?關(guān)鍵就是設(shè)法將問題抽象或轉(zhuǎn)化為方程模型進(jìn)行討論和分析.這正是“力圖改變思路(try a switch)”啟發(fā)自己思考的“元啟發(fā)(meta-heurist-ics)”策略[3].

    2 方程思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    方程是代數(shù)最基本的內(nèi)容之一.它研究事物間的等量關(guān)系,并為人們提供由已知量推求未知量的重要方法,在數(shù)學(xué)各分支及其他許多學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用[4]. 而方程思想是初中數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法.初中階段我們陸續(xù)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程(組)、分式方程、一元二次方程,從中感受到了方程思想在解決實(shí)際問題當(dāng)中的重要性以及優(yōu)越性.并且在利用方程思想解決實(shí)際問題時(shí),可以將繁瑣的問題簡(jiǎn)單化,特殊的問題一般化.

    2.1方程思想在計(jì)算問題中的應(yīng)用

    方程思想是初中代數(shù)中最重要的數(shù)學(xué)思想,它貫穿于整個(gè)初中代數(shù)的始終.如在某些計(jì)算題中可以利用方程思想通過設(shè)未知數(shù)進(jìn)行整體代換來簡(jiǎn)化計(jì)算.

    例1.閱讀下列材料,并用相關(guān)的思想方法解題.

    計(jì)算:.

    解:設(shè),

    則原式.

    (1)計(jì)算:

    解:設(shè),

    則原式

    解方程:.

    解:設(shè),則原方程化為,即.

    解得:.

    當(dāng)時(shí),解得;

    當(dāng)時(shí),,即.

    ,此方程無解.

    綜上:原方程的解為:.

    評(píng)注:第一問是利用整體代換思想構(gòu)建含有未知數(shù)的代數(shù)式求解;第二問是利用整體代換思想將四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解.

    2.2方程思想在幾何問題中的應(yīng)用

    通過設(shè)未知數(shù),列方程(組),將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,這是解決幾何問題的一種非常重要的方法.現(xiàn)舉例說明如下.

    例2. 如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD.求∠A的度數(shù).

    解∵AB=AC,BD=BC=AD(已知)

    ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等邊對(duì)等角)

    設(shè)∠A=x°,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x°

    從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x°在△ABC中, 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有x+2x+2x=180 解得x=36 ∴∠A=36°.

    評(píng)注: 本道題的求解過程中,充分利用了等腰三角形性質(zhì)定理以及三角形內(nèi)角和定理,最后通過設(shè)未知數(shù),列一元一次方程,求出角的度數(shù).

    2.3方程思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用

    方程思想的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)是使問題簡(jiǎn)單化,方便解題。同樣,方程思想在函數(shù)中也有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。

    例3.如圖2,建立平面直角坐標(biāo)系xoy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長(zhǎng)度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方

    表示的曲線上,其中與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

    (1)求炮的最大射程;

    (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大?。滹w行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)

    不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說明理由.

    解:(1)在中,

    令,

    得.

    由實(shí)際意義和題設(shè)條件知.

    所以,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).

    所以炮的最大射程是10千米.

    (2)因?yàn)閍>0時(shí),所以炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在,使成立, 即關(guān)于k的方程

    有正根.

    由得a≤6.

    此時(shí),(不考慮另一根).

    所以當(dāng)不超過6千米時(shí),炮彈可以擊中目標(biāo).

    評(píng)注:第一問是利用函數(shù)構(gòu)建方程,求出橫坐標(biāo);第二問是利用一元二次方程根的判別式求最大值.

    3 結(jié)束語

    通過對(duì)方程思想定義的理解,分析了其在初中數(shù)學(xué)中的三種應(yīng)用,展現(xiàn)了方程思想在解決問題過程中的重要性.借助例題,具體的表達(dá)了怎樣將方程思想中蘊(yùn)含的特征性質(zhì)靈活的運(yùn)用在問題之中.同時(shí),也反映了在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中方程思想應(yīng)用的普遍性.

    參考文獻(xiàn)

    [1] 陳婷,劉玉勝,李曼生.函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2011,30(12):

    62-64.

    [2] 吳增生.方程思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2012,(3):49-52.

    [3] Sternberg R J,Davidson J E.The Nature of Insight[M].Cambridge,M A:The M IT Press,1995:328-364.

    [4] 李長(zhǎng)明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,1995:186.

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