拉格朗日中值定理在解題中的應(yīng)用

周景芝

摘 要：本文對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了敘述，然后舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理在證明不等式，證明單調(diào)性，證明一致連續(xù)，證明導(dǎo)數(shù)極限中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理;不等式;一致連續(xù);導(dǎo)數(shù)極限

【中圖分類號(hào)】O175.55? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，但要利用導(dǎo)數(shù)來(lái)推斷函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，還需借助于微分學(xué)基本定理. 微分學(xué)基本定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。微分中值定理可應(yīng)用于解決下列問(wèn)題：判斷可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在性和根的個(gè)數(shù);對(duì)于給定的可微函數(shù)得到相應(yīng)的中值公式，并可證明某些等式和不等式;推出可導(dǎo)函數(shù)的某些整體性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性，一致連續(xù)性，以及某些導(dǎo)數(shù)極限的性質(zhì);推導(dǎo)泰勒公式和求不定式極限的洛必達(dá)法則.

1. 拉格朗日中值定理

定理1 若函數(shù)滿足下列條件：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得? ? ? ? ? ? ? ? （1）

公式（1）稱為拉格朗日公式，它還有下面幾種等價(jià)表示形式，可根據(jù)不同場(chǎng)合靈活選用：

拉格朗日公式無(wú)論對(duì)于a>b還是b>a都成立，而則是介于a與b之間的某一定數(shù).而（3）、（4）兩式的特點(diǎn)，在于把中值點(diǎn)表示成了，使得不論a，b 為何值，總可為小于1的某一正數(shù).

拉格朗日中值定理的幾何意義是，在每點(diǎn)都有切線的曲線上，至少存在一條切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線.

拉格朗日中值定理給出函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的一種關(guān)系，因此可用來(lái)從導(dǎo)函數(shù)的某些信息得到函數(shù)本身的某些性質(zhì).

2. 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式

例1證明：對(duì)一切成立不等式

證明 設(shè)，由拉格朗日中值定理，存在，使得

從而得到所要證明的結(jié)論.

3. 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明函數(shù)的單調(diào)性

定理2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在上遞增（減）的充要條件是

證明 若為上的增函數(shù)，則對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，有

當(dāng)時(shí)，得.

反之，若在區(qū)間上恒有，則對(duì)，由拉格朗日中值定理，，使得

故在上為增函數(shù).

4. 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明一致連續(xù)性

例2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且在上有界，證明在上一致連續(xù).

證明因?yàn)樵谏嫌薪?，所以存在，使?/p>

對(duì)于任意的，取，則時(shí)，有

其中介于之間，于是在上一致連續(xù).

5. 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明導(dǎo)數(shù)極限定理

例3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且存在，則在處可導(dǎo)，且

證明 按左右導(dǎo)數(shù)證明.

（1） 任取，在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，則，使得

由于介于之間，當(dāng)時(shí)有，則

（2）同理可得

又因?yàn)榇嬖?，所?/p>

從而，即

參考文獻(xiàn)：

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