淺談分?jǐn)?shù)階微積分在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳安

摘 ?要：文章通過介紹分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史，闡述分?jǐn)?shù)階微積分在融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)上的積極意義，然后利用幾個具體的例子，進一步說明對分?jǐn)?shù)階微積分的了解能促進學(xué)生對整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);分?jǐn)?shù)階微積分;教學(xué);積極意義

中圖分類號：G642 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2019）17-0116-04

Abstract： By introducing the development history of fractional calculus， this paper expounds the positive significance of fractional calculus in the teaching of higher mathematics， and then uses several specific examples to further illustrate that the understanding of fractional calculus can promote students' integer derivative. The understanding of the student's interest in learning.

Keywords： advanced mathematics; fractional calculus; teaching; positive significance

分?jǐn)?shù)階微積分是近年研究的熱點，它與本科教育中的高等數(shù)學(xué)課程有著緊密聯(lián)系。如何將這種聯(lián)系在教學(xué)中體現(xiàn)出來，讓學(xué)生從基本的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也能感悟到前沿研究的魅力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣呢？本文嘗試回答這樣的一個問題，我們將從分?jǐn)?shù)階微積分的歷史出發(fā)，然后介紹分?jǐn)?shù)階微積分在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義，最后以分?jǐn)?shù)階微積分中的一個具體例子為切入點，說明分?jǐn)?shù)階微積分在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、分?jǐn)?shù)階微積分的歷史

分?jǐn)?shù)階微積分，也稱任意階微積分，它的研究歷史與經(jīng)典整數(shù)階微積分一樣久遠(yuǎn)。眾所周知，在微積分中，17世紀(jì)的德國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家Leibnitz發(fā)明了Leibnitz符號，他使用符號dx和dy分別表示變量x和y無窮小增量?？紤]函數(shù)y=f（x），在Leibnitz符號下，y關(guān)于x的n階導(dǎo)數(shù)則可記為dx和dy的商，相應(yīng)的n階導(dǎo)數(shù)可記。Leibnitz符號在高等數(shù)學(xué)中得到廣泛使用，但是在17世紀(jì)卻引起不少的疑慮。1695年，法國數(shù)學(xué)家L'Hspital就向Leibnitz發(fā)問：如果n怎么辦？Leibnitz回復(fù)說，這將導(dǎo)致矛盾，但將來終究會得到有用的結(jié)果。1819年，在Lacroix的一份文稿中首次出現(xiàn)了任意階導(dǎo)數(shù)。記y=xm，m是一個正整數(shù)，Lacroix首先得到n階導(dǎo)數(shù)，

隨后的兩百多年，對分?jǐn)?shù)階微積分的研究主要集中在純數(shù)學(xué)理論方面，代表性的數(shù)學(xué)家有：Euler，Lagrange，Liouville，Riemann和Holmgren等。由于初期沒有得到物理背景的支持，故分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展非常緩慢。最近幾十年，人們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分可以很好的對具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程進行建模，例如，在材料黏彈性的研究領(lǐng)域中，分?jǐn)?shù)階微分算子已經(jīng)用來描述材料的本構(gòu)方程。此外，分?jǐn)?shù)階微積分在科學(xué)與工程的其它領(lǐng)域也有應(yīng)用，如反常擴散、波傳播及湍流等不同領(lǐng)域問題，因此分?jǐn)?shù)階微積分得到了快速的發(fā)展[1-3]。

盡管分?jǐn)?shù)階微積分歷史久遠(yuǎn)，且已有相當(dāng)?shù)陌l(fā)展，但在大學(xué)本科的教育中，據(jù)我們了解，了解它的人非常少。

二、分?jǐn)?shù)階微積分在融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

（一）提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

高等數(shù)學(xué)是學(xué)生進入大學(xué)后接觸的第一門公共基礎(chǔ)課，在整個大學(xué)四年的學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的地位。但是由于概念及定理較高中數(shù)學(xué)更為抽象和復(fù)雜，因此很多學(xué)生在接觸高等數(shù)學(xué)后容易產(chǎn)生枯燥和困難，失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣。所以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有著十分重要的意義。這個時候，教師在教學(xué)過程中引入分?jǐn)?shù)階微積分，通過一些簡單易懂的例子，或者一些數(shù)學(xué)家的故事，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如當(dāng)引入導(dǎo)數(shù)定義的時候，在適當(dāng)時機介紹分?jǐn)?shù)階微積分的歷史，并結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特殊性，強調(diào)分?jǐn)?shù)階微積分是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)典微積分的推廣，在科學(xué)與工程領(lǐng)域有著重要的作用。以冪函數(shù)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為例，說明當(dāng)它的階 0<α<1 時，可以做為零階導(dǎo)數(shù)與一階導(dǎo)數(shù)的過渡，并以直觀的圖象向?qū)W生進行介紹。如果將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于方程，則可刻畫反常擴散現(xiàn)象，也即非布朗運動的現(xiàn)象。提到布朗運動，也可以稍微進行拓展，引發(fā)學(xué)生對平常遇到的現(xiàn)象的思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)密的學(xué)科。而分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分一樣，也有一整套對應(yīng)的嚴(yán)謹(jǐn)理論，只不過形式更為復(fù)雜。通過在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中適當(dāng)介紹分?jǐn)?shù)階微積分，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，有助于數(shù)學(xué)思維的拓展。當(dāng)然，在授課前應(yīng)當(dāng)充分挖掘分?jǐn)?shù)階微積分與微積分相關(guān)聯(lián)的知識點，為學(xué)生的理解營造更順暢的氛圍，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。例如介紹到Gamma函數(shù)的時候，可以進一步介紹它是階乘的推廣。以此為切入口，介紹分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，并指出它是整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣。結(jié)合適當(dāng)?shù)奈⒎e分發(fā)展歷史，表明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是理論發(fā)展的必然結(jié)果，以此增強學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。

（三）提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)

分?jǐn)?shù)階微積分是一門正在蓬勃發(fā)展著的學(xué)科，與其它學(xué)科有著千絲萬縷的關(guān)系。在本科教育中，高等數(shù)學(xué)作為理工科各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它能夠為學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)提供必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)方法。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中適當(dāng)引入分?jǐn)?shù)階微積分，通過一些自然推廣的概念與應(yīng)用背景的介紹，在各個教學(xué)環(huán)節(jié)有目的地培養(yǎng)學(xué)生的運算能力和自學(xué)能力，能夠讓學(xué)生逐漸形成知樹木又知樹林的全局觀，并使得學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)得到有效提高。例如高等數(shù)學(xué)中定積分的換元法是一個重點內(nèi)容，教師在教授這一部分內(nèi)容的時候就可以將冪函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的求法融入到教學(xué)中。這樣，不僅鞏固了對Gamma函數(shù)做為廣義積分的理解，同時也使得對換元法的應(yīng)用更加靈活，從而使得學(xué)生的學(xué)習(xí)信心得到提高，進一步找到各個知識點的脈絡(luò)，為知識的靈活應(yīng)用打下堅固的基礎(chǔ)。

三、分?jǐn)?shù)階微積分在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個應(yīng)用例子

例1：定積分換元法及特殊函數(shù)的應(yīng)用

以冪函數(shù)為例，我們通過冪函數(shù)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)，說明高等數(shù)學(xué)中定積分的換元法及其特殊函數(shù)的應(yīng)用。另外我們結(jié)合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的圖像，讓學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念有更深刻的理解。為了討論方便，我們先介紹一些有用的定義和符號[3]。

結(jié)合圖像向?qū)W生介紹，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的圖像處于相鄰的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間，并且當(dāng)α越趨于整數(shù)的時候，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)越趨向于整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。這可以使得學(xué)生對零階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)有更自然的認(rèn)識，從而拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

圖1 冪函數(shù)分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值比較

例3：幾類初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的直觀化

基于例2，我們可以將其它幾類初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)做比較。一般來說，其它的初等函數(shù)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式非常復(fù)雜，因此我們借助數(shù)值方法將它們的圖像畫出來（見圖2-5）。關(guān)鍵代碼如下：

%利用Grunwald-Letnikov公式計算alpha階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

function relt = fun（t， alpha）

m_max = length（t）;%剖分個數(shù)

relt = zeros（m_max， 1）;

f = @funct; %調(diào)用所要計算的函數(shù)

for k=2：m_max

tk = t（k）; n = m_max; tau = （tk-t（1））/n; tt = t（1）：tau：tk; y = f（tt）; %f為計算的函數(shù)

b = ones（1，n+1）; %計算權(quán)系數(shù)b

for m = 1：n

b（m+1） = （1-（alpha+1）/m）*b（m）;

end

relt（k） = sum（fliplr（y）.*b） * tau^（-alpha）; % G-L逼近

end

end

圖2 y=sin（t）分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值比較

圖3 y=cos（t）-1分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值比較

例4：二重積分的計算法

首先給出下面關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分的定義。

定義四：函數(shù) f（t）的α階分?jǐn)?shù)階積分的定義為

基于二重積分中的交換積分次序方法，我們可以給出分?jǐn)?shù)階積分的如下性質(zhì)：

其中β>0，實際上，由二重積分的計算法有

對上式作變量代換 η=（τ-s）/（t-s） 并結(jié)合例1可推導(dǎo)得到

從上面的推導(dǎo)過程可看出，在講解二重積分的計算法時，可引入分?jǐn)?shù)階積分相關(guān)性質(zhì)計算的例子。在給出例子時強調(diào)這是分?jǐn)?shù)階微積分中最經(jīng)典的計算，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的自信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例5：n 重積分的進一步理解

分?jǐn)?shù)階積分其實可以看成是n重積分的推廣[1]。下面我們推導(dǎo)這一過程。記f（τ）的積分為

考慮f（τ）的二重積分

交換上式的積分次序容易得到

則f（τ）的三重積分有

容易看到，對于f（τ）的四重積分，我們可以得到

從而利用數(shù)學(xué)歸納法，我們可推導(dǎo)得到f（τ）的n重積分公式：

由于 Gamma函數(shù)是階乘概念的推廣，于是上式可寫成

這正是定義四中α取整數(shù)的特殊情形。

因此在講解函數(shù)的n重積分的時候，可以結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分的定義適當(dāng)做些推廣，從而可以增強學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。

四、結(jié)束語

如何將當(dāng)前的研究熱點融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)是一個需要教師不斷探索與嘗試的過程。本文通過引入分?jǐn)?shù)階微積分，介紹它與經(jīng)典微積分有著同樣久遠(yuǎn)的歷史，然后對它在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的意義進行闡述。最后通過幾個具體的例子進一步說明分?jǐn)?shù)階微積分在教學(xué)上的作用。本文僅是一個初步的嘗試，在具體的教學(xué)過程中還需要教師不斷提高專業(yè)水平，以及結(jié)合多種教學(xué)方法，有針對性地講授相關(guān)知識點，這樣才有助于學(xué)生接受新的知識，形成良性循環(huán)。

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