一類Baouendi-Grushin方程解的對稱性

錢紅麗,黃小濤

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 211106)

1 引言及主要結(jié)論

二階橢圓偏微分方程解的存在唯一性、正則性和對稱性等性質(zhì)是偏微分理論研究的主要內(nèi)容。關(guān)于解的對稱性和單調(diào)性,現(xiàn)已有的研究成果很多。不僅方程所在的各種區(qū)域被研究,比如有界區(qū)域、外部區(qū)域、環(huán)形區(qū)域和全空間Rn等。各類方程也被充分研究,比如Laplace方程、p-Laplace方程、各類退化橢圓方程、位勢積分方程以及分?jǐn)?shù)階偏微分方程等。主要研究方法包括移動平面法、移動球面法、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式、Leray-Shauder定理、不動點定理、變分法和重排等。

經(jīng)過近幾十年的發(fā)展,二階線性橢圓方程的基礎(chǔ)理論已經(jīng)比較完善[1-2]。關(guān)于完全非線性偏微分方程解的存在性、正則性等理論,經(jīng)過Caffarelli[3]等的研究,已經(jīng)成一定體系。但是，關(guān)于退化橢圓方程的理論研究,由于退化類型的多樣化,目前還沒有統(tǒng)一的研究方法和結(jié)論。Dibenedetto[4]和H?rmander[5]等研究了退化橢圓方程弱解的正則性等相關(guān)性質(zhì)。近年來,眾多學(xué)者研究了一類特殊的退化橢圓Baouendi-Grushin方程

ΔGu(z)=f(z),z∈RN

(1)

令z=(x,y)∈Rn×Rm=RN,γ≥0,Baouendi-Grushin型梯度G[6]定義為

則Laplace型Baouendi-Grushin算子可寫為

(2)

式中Δx和Δy分別表示Rn和Rm上的Laplace算子。故Baouendi-Grushin方程可寫為

Δxu+|x|2γΔyu=f(x,y)

(3)

-(Δxu+|x|2γΔyu)=uq

(4)

解的對稱性,但是對于更一般的Baouendi-Grushin方程

-ΔGu+m1u=λ|u|q-1u(λ>0,m1>0)

(5)

由于項m1u的存在,移動球面法在此并不適用。 據(jù)作者所知,目前還沒有方程(5)的對稱性結(jié)論。

偏微分方程解的存在性和對稱性問題可追溯到上世紀(jì)50年代。Alexandroff[11]首先研究了二階偏微分方程解的對稱性問題;1971年,Serrin[12]利用移動平面法,研究Laplace方程在有界區(qū)域上的對稱性及方程解u的特定對稱形式;Gidas等[13], Caffarelli等[14]眾多學(xué)者運用多種形式的極大值原理對移動平面法進行了發(fā)展和完善。

本文通過研究一類帶約束的極小泛函和重排的方法研究方程(5)解的對稱性問題。Berestycki等[15]首先利用此方法來研究Schr?dinger型Laplace方程

-Δu+m1u=λ|u|q-1u

得到了方程解的存在性、對稱性以及某些特殊情況下解的具體形式等相關(guān)結(jié)論。事實上，此方程可以看做本文研究的方程(5)當(dāng)γ=0的情形。

2013年,Dipierro等[16]研究了分?jǐn)?shù)階Laplace方程，利用約束極小化方法和重排理論,證明了弱解的存在性和對稱性。最近,文獻[17]研究了分?jǐn)?shù)階p-Laplace方程

證明了方程存在弱解u∈Ws,p(Rn)滿足徑向?qū)ΨQ性與單調(diào)性。

本文利用重排和極小化約束方法研究方程(5)。在此，需定義一類Sobolev空間

具體將在2.1節(jié)介紹。為討論方程(5)正解的存在性和對稱性問題,首先將問題轉(zhuǎn)化為如下約束最小化泛函,此方法的主要思想可文獻參考[15]。

A(v)=1}

(6)

其中

g(u)=λ|u|q-m1|u|

本文將證明下述結(jié)論:

2 預(yù)備知識

首先給出一些已知結(jié)論和預(yù)備知識。文中記Q=n+(1+γ)m,N=n+m。

2.1 內(nèi)在度量和Sobolev空間

?z=(x,y)∈Rn×Rm，關(guān)于方程(5),定義Carnot-Caratheodory距離[9]為

在空間S1,2(RN)中，若賦予內(nèi)積

S1,2(Ω)→L2(Ω)

引理1[15]若P,Q:R→R為兩個連續(xù)函數(shù),滿足

設(shè)un:RN→R為可測函數(shù)序列,則

并且在RN中,當(dāng)n→+∞時,有

P(un(z))→v(z)

于是對任意Borel集，有

2.2 Schwarz重排

本節(jié)回顧Schwarz重排的一些基本性質(zhì)。如果Ω是RN中的一個開集,并且u:Ω→R為度量函數(shù),定義

μu(t)=|z∈RN:|u(z)|>t|

u*(s)=sup{t≥0:μu(t)≥s}

則u*(z)=u*(ωN|z|N)是u的Schwarz重排,滿足徑向?qū)ΨQ性且關(guān)于|z|遞減。具體可以參考文獻[15，20]。

Schwarz重排具有以下基本性質(zhì):

引理2(1) 設(shè)v,w為RN中的可積函數(shù),令g:RN→R為單調(diào)不減的非負(fù)函數(shù),則

(2) 若f,g∈L2(RN),則

‖f*-g*‖L2(RN)≤‖f-g‖L2(RN)

3 定理的證明

首先給出方程(5)常見的拉格朗日函數(shù),即

(7)

為尋找方程(5)的解,可以將問題轉(zhuǎn)化為討論約束最小化問題(6)。假設(shè)u是問題(6)的一個解,則存在拉格朗日乘子θ,使得

-ΔGu=θg(u),z∈RN

(8)

證明問題(6)存在徑向?qū)ΨQ的正解，由此可推導(dǎo)得到方程(5)解的對稱性。定理1的證明分為以下幾步。

(9)

A(v)=1}=I>0

A(v)=1}=I>0

‖uk‖Lp*(RN)≤C‖Guk‖L2(RN)≤C

下面定義

g1(t)=λ|t|q,g2(t)=m1|t|,

將不等式兩邊從0到u積分,得

結(jié)合條件A(uk)=1,有

則|u(z)|

(10)

4 結(jié) 語

研究證明了一類退化橢圓型Baouendi-Grushin方程解的對稱性問題。由于此退化橢圓方程尚無極值原理,所以無法利用移動平面給出方程解的對稱性。利用Schwarz重排研究方程所對應(yīng)的帶約束極小化泛函，是一種切實可行的證明對稱性的方法。 通過Sobolev嵌入定理及解的先驗估計,證明了方程對應(yīng)的帶約束條件的極小化泛函問題的正解滿足Schwarz重排的性質(zhì),從而利用Schwarz重排的對稱性得到了Baouendi-Grushin方程解的存在性和對稱性。