一組關(guān)于Fibonacci數(shù)列及Lucas數(shù)列的恒等式

陳國慧

(海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 海南 ?？?571158)

0 引 言

二階線性遞推數(shù)列和式的計算問題在數(shù)學的理論學習及科研應(yīng)用中占有十分重要的位置,引發(fā)了不少數(shù)學家的重視和興趣,并取得了很多有意義的研究成果[1-4]。其中,Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列在一些著名數(shù)論問題的研究中有著重要的應(yīng)用,有關(guān)其各類性質(zhì)的研究也是近年的熱點問題[5-6]。Duncan[7]和Kuipers[8]研究了關(guān)于Fibonacci數(shù)的均勻分布及其應(yīng)用；Zhang等[9-10]研究了Fibonacci多項式的性質(zhì),并證明了一系列包含F(xiàn)ibonacci多項式，F(xiàn)ibonacci數(shù)及Lucas數(shù)的恒等式。Ma等[11]利用xn所定義的Chebyshev 多項式的表達式給出了Fibonacci數(shù)和Lucas數(shù)的相關(guān)恒等式。Wang等[12]探討了Fibonacci多項式及Lucas多形式的冪和,獲得了不少有趣的等式,并用所得結(jié)果對Melham所提出猜想[13]的驗證做了進一步推進。其他關(guān)于Fibonacci的研究結(jié)果參見文獻[14-16]。Chen[17],LYU[18-19]，Wang[20]及Song[21]等關(guān)于Chebyshev多項式及其應(yīng)用也給出了眾多結(jié)果。

這就是著名的Fibonacci數(shù)列及Lucas數(shù)列。

Xn=Ln(x)=αn(x)+βn(x)

分別為Fibonacci多項式及Lucas多項式。

本文主要討論對和式

(1)

的計算問題, 其中k∈N+,n∈N,求和號表示對所有滿足方程a1+a2+…+ak=n的非負整數(shù)組 (a1,a2,…,ak)求和。

關(guān)于式(1)的求和問題,尚未見到研究,主要原因可能在于這類數(shù)列的生成函數(shù)中沒有階乘,因而只考慮不帶階乘的其他形式。事實上如果A=B=1, 那么這類數(shù)列的生成函數(shù)形式非常簡單,即

然而,隨著Xn取值的變化,式(1)包含一系列不同形式的數(shù)列或多項式。從而，可以獲得許多數(shù)列或多項式的新的恒等式。因此，式(1)的計算問題是有意義的。

1 主要結(jié)果

利用初等方法以及指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開的唯一性研究了式(1)的計算問題,并給出具體的計算公式。為方便闡述,假定在Xn表達式中取A=B=1，則有如下的結(jié)果：

定理1設(shè)n∈N+,對任意正奇整數(shù)k, 有恒等式

定理2設(shè)n∈N+,對任意偶數(shù)2h, 有恒等式

可以推出關(guān)于Lucas數(shù)的恒等式：

推論1設(shè)n∈N+,對任意正奇整數(shù)k及m∈N+, 有恒等式

推論2設(shè)n∈N+,對任意正偶數(shù)k及m∈N+, 有恒等式

推論3設(shè)n∈N+,對任意正奇整數(shù)k及m∈N+, 有恒等式

推論4設(shè)n∈N+,對任意正偶數(shù)k=2h及m∈N+, 有恒等式

特別當k=3,m=1時,注意到L1=1及T1(x)=2x, 有如下推論:

推論5?n∈N+,有恒等式

推論6?n∈N+,有恒等式

當h=2,m=1時,注意到L1=1及T1(x)=2x, 得到下述推論:

推論7?n∈N+,有恒等式

推論8?n∈N+,有恒等式

2 定理的證明

2.1定理1的證明

由二項式定理可知,當k為奇數(shù)時，有

(2)

(3)

另一方面,注意到恒等式

則有

(4)

應(yīng)用式(3)及式(4)并比較冪級數(shù)的系數(shù)可得

于是定理1得證。

2.2 定理2的證明

如果k是偶數(shù),不妨設(shè)k=2h, 那么由二項式定理有恒等式

(5)

應(yīng)用式(5)以及定理1的證明方法，易推出恒等式

于是定理2得證。