含多條裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng)

馬一江， 李園園， 陳國(guó)平， 趙穎杰

(1. 江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院， 鎮(zhèn)江 212003; 2. 南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院， 南京 210016； 3. 濟(jì)南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 濟(jì)南 250022)

在工程實(shí)際中，像航空航天工業(yè)、船舶工業(yè)以及建筑橋梁等，梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)用變得越來(lái)越廣泛，包括等截面梁、變截面梁等。隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，變截面梁的設(shè)計(jì)與加工工藝更加成熟，為變截面梁的廣泛應(yīng)用提供了可能。與等截面梁相比，變截面梁具有更好地承力性能和振動(dòng)特性。在梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性分析中，等截面梁的自由振動(dòng)問題較為簡(jiǎn)單，而變截面梁的控制方程為四階變系數(shù)偏微分方程，通常情況下很難得到解析解[1-3]。

關(guān)于變截面梁模態(tài)分析的早期研究中，通常將整個(gè)變截面梁分段離散成多段變截面梁，并將每段變截面梁等效簡(jiǎn)化為等截面梁。階梯梁是變截面梁中最簡(jiǎn)單的一種，也是最早應(yīng)用離散方法進(jìn)行模態(tài)分析的變截面梁[4-6]。對(duì)于普通的變截面梁結(jié)構(gòu)，為了提高計(jì)算精度，通常將變截面梁離散的非常多，使得模態(tài)分析的計(jì)算量成倍增加。在每段變截面梁簡(jiǎn)化為等截面的過程中，學(xué)者們提出了很多等效方法來(lái)提高計(jì)算精度[7-8]。同時(shí)學(xué)者們也提出了許多其他方法來(lái)研究變截面梁的模態(tài)變化。 Gupta[9]采用有限元方法求解變截面梁結(jié)構(gòu)的各階固有頻率。Alshorbagy等[10]通過數(shù)值有限元方法研究了功能梯度變截面梁的動(dòng)力學(xué)特性。Huang等[11]將軸向梯度非均勻梁的振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程，提出了一種研究軸向梯度非均勻梁自由振動(dòng)的分析方法。Ahmad等[12]基于微分變換法提出了一種微分變換單元法來(lái)研究錐形變截面梁的自由振動(dòng)和穩(wěn)定性。Mehmet等[13]通過理論方法研究了截面寬度沿指數(shù)變化的矩形變截面梁的振動(dòng)特性。Laura等[14]采用近似數(shù)值方法研究寬度不變-厚度雙線性變化的變截面梁固有頻率和固有模態(tài)的變化。Caruntu[15]研究了寬度不變-厚度拋物線變化變截面梁的非線性振動(dòng)問題。上述文獻(xiàn)研究了不同形式變截面梁的模態(tài)變化，為變截面梁的工程應(yīng)用提供了理論依據(jù)，但是忽略了結(jié)構(gòu)損傷對(duì)變截面梁的影響。

由于加工和裝配等原因，服役中的梁結(jié)構(gòu)多多少少會(huì)存在初始結(jié)構(gòu)損傷。梁結(jié)構(gòu)上的結(jié)構(gòu)損傷通常以裂紋的形式出現(xiàn)，裂紋的存在會(huì)嚴(yán)重影響梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，并且顯著降低梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞壽命。因此，對(duì)含裂紋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析具有非常高的工程應(yīng)用價(jià)值。Ostachowicz等[16-17]將橫向裂紋等效為梁結(jié)構(gòu)的斷點(diǎn)，研究含多條橫向裂紋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)，并通過模態(tài)的變化探測(cè)結(jié)構(gòu)損傷的位置和尺寸。Shifrin等[18]提出一種傳遞矩陣方法來(lái)求解含多條裂紋等截面梁的固有頻率，這種傳遞矩陣方法使得含裂紋梁結(jié)構(gòu)傳遞矩陣的階數(shù)始終為4，顯著降低了含多條裂紋梁模態(tài)分析的計(jì)算量，提高了計(jì)算效率。但是這些研究?jī)H限于等截面梁結(jié)構(gòu)，并沒有考慮梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)的影響。隨著變截面梁的廣泛應(yīng)用，含裂紋變截面梁的模態(tài)分析成為工程中亟待解決的問題。

本文提出一種計(jì)算含多條橫向裂紋變截面矩形梁固有頻率的新方法。針對(duì)高度不變-厚度指數(shù)變化的一類變截面梁，將每個(gè)橫向裂紋看作是變截面梁的斷點(diǎn)，則整段變截面梁離散為多段變截面梁?；趥鬟f矩陣法和Euler-Bernoulli梁理論，推導(dǎo)出每段變截面梁的傳遞矩陣；根據(jù)裂紋左右兩面的連續(xù)性條件，推導(dǎo)出每條裂紋的傳遞矩陣；從而得到含多條橫向裂紋變截面梁的傳遞矩陣。結(jié)合簡(jiǎn)支梁的邊界條件，求解含多條裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的固有頻率。

1 模型建立

如圖1所示，本文的研究對(duì)象是一個(gè)含n條橫向裂紋的矩形變截面梁結(jié)構(gòu)，梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，每個(gè)橫截面(沿著x軸方向)的厚度和高度分別為b(x)、h(x)。每條橫向裂紋的位置分別為X1,X2,…,Xn，每條橫向裂紋的深度為a1,a2,…,an。

圖1 含多條裂紋變截面梁的模型

根據(jù)Dimaronas等[19]提出的裂紋局部柔度模型，每條橫向裂紋在變截面梁上引起的局部柔度變化可以表示為

(1)

式中：裂紋的編號(hào)i=1,2,…,n；αi為第i條橫向裂紋引起的變截面梁局部柔度；h(x)為第i條橫向裂紋所在的變截面梁橫截面高度；I(x)為第i條橫向裂紋所在的變截面梁橫截面慣性矩；ri=ai/h(x)為第i條橫向裂紋的相對(duì)深度；f(ri)為第i條橫向裂紋的無(wú)量綱局部柔度函數(shù)，可以通過應(yīng)變能密度函數(shù)來(lái)求解

(2)

式中：ri≤0.6。

將每段橫向裂紋看作是整個(gè)變截面梁的斷點(diǎn)，則整段變截面梁被n條橫向裂紋分為n+1段完整的變截面梁，并且每段變截面梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)i(i=1,2,…,n+1)。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，每段變截面梁的振動(dòng)微分方程可以表示為

(3)

式中：E為變截面梁結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；A(x)和I(x)為每段變截面梁橫截面的面積和慣性矩；ρ為變截面梁結(jié)構(gòu)材料的密度。

根據(jù)Mehmet等給出的無(wú)量綱方法，在圖2所示的坐標(biāo)系中，定義如下的無(wú)量綱化變量

(4)

(5)

根據(jù)模態(tài)分析方法，式(5)為四階變系數(shù)線性齊次微分方程，可以通過分離變量法求解。假設(shè)每段完整變截面梁具有如下的橫向振動(dòng)形式

圖2 每段變截面梁的模型

wi(xi,t)=Ui(xi)qi(t)

(6)

將式(6)代入式(5)，可以推導(dǎo)出以下方程組

(7)

(8)

式中：ω為無(wú)量綱固有頻率，且ω2=Ω2ρL4/EI1,0;Ω為固有頻率。

經(jīng)過推導(dǎo)，式(8)的解為

qi(t)=Ci1cos(ωt)+Ci2sin(ωt)

(9)

在變截面梁振型函數(shù)的求解過程中，需要變截面梁的變截面參數(shù)。以高度不變-厚度按指數(shù)形式變化的矩形變截面梁為例，即h(x)=h。根據(jù)圖2所示的坐標(biāo)系，假設(shè)該變截面梁每段變截面梁橫截面的面積為Ai(xi)=eδxi+κi、慣性矩為Ii(xi)=eδxi+κi。其中，δ為矩形變截面梁的變截面參數(shù)；κi為該矩形變截面梁的厚度參數(shù)，且κi=δ(L1+L2++Li-1)/L。

對(duì)于橫截面高度不變-厚度按指數(shù)變化的一類變截面梁結(jié)構(gòu)，式(7)可以簡(jiǎn)化為

(10)

則式(10)的解可以表示為

(11)

2 傳遞矩陣推導(dǎo)

根據(jù)材料力學(xué)的理論，梁結(jié)構(gòu)橫截面連續(xù)性參數(shù)如下：撓度U、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M以及剪力Q，每個(gè)連續(xù)參數(shù)的求解公式為

(12)

在每段變截面梁的左端橫截面，4個(gè)連續(xù)性參數(shù)可以表示為

Ui(0)=Bi1+Bi3

將以上方程組轉(zhuǎn)化為矩陣形式為

(13)

式中：

在每段變截面梁的右端橫截面，4個(gè)連續(xù)性參數(shù)可以表示為

將以上方程組轉(zhuǎn)化為矩陣形式

(14)

將式(13)代入式(14)，可以得到每段變截面梁結(jié)構(gòu)左右端橫截面連續(xù)性參數(shù)的關(guān)系式

(15)

在每個(gè)橫向裂紋位置，根據(jù)裂紋左右表面的連續(xù)性條件，可以得到裂紋左右表面的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩以及剪力的關(guān)系式

(16)

對(duì)于含有n條橫向裂紋的矩形變截面梁結(jié)構(gòu)，左右兩端撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的關(guān)系式如下

(17)

根據(jù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件，簡(jiǎn)支梁左右兩端橫截面的撓度和彎矩為零

(18)

detHSS=0

(19)

式(19)可以求解含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的各階固有頻率，且每階固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型可以通過式(11)推導(dǎo)出來(lái)。

3 結(jié)果與討論

如圖1所示，假設(shè)該含多條橫向裂紋矩形變截面簡(jiǎn)支梁的幾何尺寸為：L=1 m，h=0.06 m，b(x)=0.06eδxm。該變截面梁結(jié)構(gòu)材料為低碳合金鋼AISI 1050，且材料力學(xué)參數(shù)為：E=210 GPa，ρ=7 860 kg/m3。

定義ωi為梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)δ對(duì)應(yīng)的變截面梁第i階固有頻率；當(dāng)梁結(jié)構(gòu)的變截面參數(shù)δ=0時(shí)，定義ωi0為變截面梁的第i階固有頻率；定義變截面梁固有頻率比Γi=ωi/ωi0。假設(shè)該變截面簡(jiǎn)支梁不含有橫向裂紋，隨著變截面參數(shù)的變化該變截面簡(jiǎn)支梁各階固有頻率比的變化規(guī)律，如圖3所示。

由圖3可知，變截面簡(jiǎn)支梁的各階固有頻率比受變截面參數(shù)δ的影響非常大，并且圖3與參考文獻(xiàn)[13]幾乎一樣，因此本文提出的傳遞矩陣方法是正確的。隨著梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)|δ|的逐漸增大，變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率比逐漸減小，并且減小的速度逐漸增大。當(dāng)變截面參數(shù)δ=0時(shí)，變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率最大。隨著梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)|δ|的逐漸增大，其他四階固有頻率比均逐漸增大，并且增大的速度也逐漸增大。當(dāng)變截面參數(shù)δ=0時(shí)，變截面簡(jiǎn)支梁其他四階固有頻率均最小。

圖3 變截面參數(shù)不同時(shí)各階固有頻率比的變化規(guī)律

Fig.3 Each order natural frequency variation of the variable cross-section beam with different variable parameter

假設(shè)該變截面簡(jiǎn)支梁上僅含有一條橫向裂紋，且變截面參數(shù)δ=-1；裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)1/L∈[0.11,0.89]，裂紋的相對(duì)深度為a1/h∈[0,0.6]。隨著橫向裂紋相對(duì)位置和相對(duì)深度的變化，該含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 裂紋位置和深度不同時(shí)變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的變化規(guī)律

Fig.4 First order natural frequency variation of the variable cross-section beam with different depths and positions of the cracks

從圖4可知，裂紋相對(duì)位置和相對(duì)深度對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的影響非常大。隨著裂紋相對(duì)深度的逐漸增大，變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率逐漸減小，并且減小的速度逐漸增大。當(dāng)橫向裂紋處于變截面簡(jiǎn)支梁左右兩端截面時(shí)，裂紋對(duì)第一階固有頻率的影響可以忽略不計(jì)；隨著橫向裂紋逐漸靠近簡(jiǎn)支梁的中間橫截面，變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率也逐漸減小。

假設(shè)該變截面簡(jiǎn)支梁含有以下4種裂紋情況：

(1) 該變截面簡(jiǎn)支梁不含有橫向裂紋。

(2) 該變截面簡(jiǎn)支梁含有一條橫向裂紋，并且該橫向裂紋的幾何尺寸如下：X1=0.11 m，a1/h=0.1。

(3) 該變截面簡(jiǎn)支梁含有兩條橫向裂紋，并且橫向裂紋的幾何尺寸如下：X1=0.11 m，a1/h=0.1；X2=0.3 m，a2/h=0.1。

(4) 該變截面簡(jiǎn)支梁含有三條橫向裂紋，并且橫向裂紋的幾何尺寸如下：X1=0.11 m，a1/h=0.1；X2=0.3 m，a2/h=0.1；X3=0.5 m，a3/h=0.1。

若該變截面簡(jiǎn)支梁的變截面參數(shù)δ=0.5，則不同的裂紋情況對(duì)應(yīng)的含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁前五階固有頻率，如表1所示。

表1 裂紋條數(shù)不同時(shí)變截面簡(jiǎn)支梁的前五階固有頻率

Tab.1 First five orders natural frequencies of the variable cross-section beam with different number of cracks

rad/s

從表1可知，結(jié)構(gòu)裂紋的存在對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁前五階固有頻率的影響都很大，因此結(jié)構(gòu)裂紋對(duì)變截面梁結(jié)構(gòu)的破壞是不能忽略的。隨著裂紋條數(shù)的逐漸增多，變截面簡(jiǎn)支梁的每一階固有頻率均逐漸減小。

如果僅考慮變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率變化，假設(shè)變截面簡(jiǎn)支梁存在以下三種裂紋情況：

若該變截面簡(jiǎn)支梁的變截面參數(shù)δ=0.5，則不同的裂紋情況對(duì)應(yīng)的含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率，如表2所示。

表2 不同裂紋情況變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率

Tab.2 First order natural frequency of the variable cross-section beam with different cracks

rad/s

從表2可知，第一條橫向裂紋的相對(duì)深度對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的影響很大。隨著第一條橫向裂紋的相對(duì)深度逐漸增大，含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率逐漸減??；隨著橫向裂紋條數(shù)的逐漸增多，含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率也逐漸減小。

4 結(jié) 論

(1) 提出了一種求解含多條裂紋變截面簡(jiǎn)支梁固有頻率的理論方法。根據(jù)橫向裂紋條數(shù)，將變截面梁結(jié)構(gòu)離散成多段完整的變截面梁。

(2) 基于傳遞矩陣方法，分別推導(dǎo)出每段完整變截面梁和每段橫向裂紋左右表面的傳遞矩陣，得到含裂紋條數(shù)、裂紋幾何參數(shù)以及變截面參數(shù)的整段變截面梁的傳遞矩陣；根據(jù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件，推導(dǎo)出變截面簡(jiǎn)支梁的特征傳遞矩陣，并計(jì)算出含多條橫向裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的各階固有頻率。

(3) 針對(duì)高度不變-厚度按指數(shù)變化的一類變截面梁結(jié)構(gòu)，本文提出的理論方法能夠準(zhǔn)確、有效地求解含任意條數(shù)橫向裂紋變截面的固有頻率，并且本文的方法還適用于懸臂梁、雙邊固支梁等一系列不同的邊界條件，同時(shí)不需要推導(dǎo)出固有頻率的解析解，大大提高了計(jì)算效率。