基于帶通濾波的軌道不平順敏感波長計(jì)權(quán)評價(jià)方法

楊翠平， 從建力， 王 源， 王 平， 徐金輝

(1.西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031； 2.華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013)

軌道不平順是引起機(jī)車車輛與軌道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)(的主要激勵(lì)源[1]，對列車運(yùn)行的安全、平穩(wěn)、舒適性以及軌道結(jié)構(gòu)的使用壽命有著重要影響。軌道不平順過大會(huì)引起車輛劇烈振動(dòng)，甚至影響行車安全。因此研究合理的軌道狀態(tài)評估方法，對科學(xué)評價(jià)軌道質(zhì)量狀態(tài)具有十分重要的意義。

目前，對軌道平順狀態(tài)的評估主要通過幅值和頻率域開展，前者未考慮軌道不平順波長等影響因素，后者缺乏定位功能，在實(shí)際的養(yǎng)護(hù)維修中很難得到具體的應(yīng)用[2-3]。因此，為了科學(xué)地管理軌道平順狀態(tài)，軌道不平順的幅值、波長和里程三方面信息缺一不可。許多學(xué)者基于車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論對敏感波長做出了探索性研究，文獻(xiàn)[4-6]探討軌道幾何不平順敏感波長問題，研究了不同因素對敏感波長分布特征的影響規(guī)律，并提出相應(yīng)的敏感波長取值范圍；文獻(xiàn)[7] 采用拉依達(dá)準(zhǔn)則、軌道不平順變化率法、EMD(Empirical Mode Decomposition)高通濾波法和灰色關(guān)聯(lián)度法對檢測數(shù)據(jù)偏差進(jìn)行處理,并給出每種方法適用范圍。文獻(xiàn)[8]基于小波理論實(shí)現(xiàn)敏感波長加權(quán)，但小波分解僅能以倍頻方式計(jì)權(quán)，計(jì)權(quán)曲線分辨率過低；文獻(xiàn)[9]通過經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，得到對應(yīng)波長頻段的不平順I(yè)MF的能量，利用能量系數(shù)求得考慮波長因素的TQEI，但由于EMD分解與重構(gòu)過程效率低，并且存在端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生誤差，極大地限值了該方法的應(yīng)用。

本文在綜合現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，利用文獻(xiàn)[10]中數(shù)字濾波器精度高、穩(wěn)定靈活等優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于帶通濾波的軌道不平順敏感波長計(jì)權(quán)評價(jià)的方法，即F-TWQI(Track Weighed Quality Index)，對目前主要計(jì)權(quán)方法的缺陷進(jìn)行優(yōu)化。利用數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)不平順不同頻程范圍波形的有效分離，避免了EMD分解的端點(diǎn)效應(yīng)，并極大提升了頻率計(jì)權(quán)過程的計(jì)算效率和計(jì)算精度，利用1/3倍頻程的頻帶劃分方法，克服了小波分解計(jì)權(quán)過程中分辨率過低的問題。本文通過理論與實(shí)測驗(yàn)證了新的優(yōu)化方法在軌道質(zhì)量管理方面的實(shí)用性。

1 基于軌道動(dòng)力學(xué)高低不平順權(quán)重曲線的確定

軌道不平順是隨里程變化的隨機(jī)過程，其波長分布很廣，在眾多波長成分中，只有某些波長成分的軌道不平順對車輛運(yùn)行品質(zhì)的影響較大，將能夠引起車輛-軌道系統(tǒng)產(chǎn)生較大振動(dòng)的波長成分稱為敏感波長。本文以高低不平順為例，根據(jù)車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論，采用頻率分析方法計(jì)算軌道高低不平順與車輛-軌道耦合系統(tǒng)之間的傳遞函數(shù)，根據(jù)車輛-軌道耦合系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞特性分析軌道高低不平順的敏感波長分布特征，為軌道高低不平順的波長權(quán)重曲線提供依據(jù)。計(jì)算中取車速為250 km/h，分析波長范圍取為0.05～200 m,則對應(yīng)的頻率范圍為0.35～1 736.11 Hz；軌道不平順的波長大于1 m時(shí)采用德國低干擾譜，波長小于1 m時(shí)采用短波譜，車輛采用CRH2。

1.1 車輛-軌道耦合系統(tǒng)的頻域算法

車輛-軌道耦合振動(dòng)也可分為車輛振動(dòng)子系統(tǒng)和軌道振動(dòng)子系統(tǒng)，并通過輪軌相互作用關(guān)系進(jìn)行連接。本文車輛系統(tǒng)模型、軌道系統(tǒng)模型及計(jì)算參數(shù)均源自文獻(xiàn)[11]。以頻率分析法為基礎(chǔ)，計(jì)算空間耦合系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

(1) 車輛系統(tǒng)振動(dòng)方程為

(1)

(2) 軌道運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

(3) 耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中：{K}為耦合系統(tǒng)的剛度矩陣；{Kf}為激勵(lì)轉(zhuǎn)換矩陣；{IR}為輸入的激勵(lì)。

若系統(tǒng)激勵(lì)為eiωt，則系統(tǒng)響應(yīng)為H(ω)eiωt，H(ω)為系統(tǒng)的頻響函數(shù)，構(gòu)造高低不平順虛擬激勵(lì)

(4)

1.2 軌道高低不平順權(quán)重曲線的確定

基于“1.1”節(jié)中的車輛-軌道耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析模型，計(jì)算耦合系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，分析軌道不平順與耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)之間的幅頻特性曲線以及軌道不平順敏感波長的分布特征，得到高低不平順的權(quán)重曲線。計(jì)算高低不平順權(quán)重曲線是將車輛運(yùn)行的平穩(wěn)舒適性指標(biāo)、車輛運(yùn)行的安全性指標(biāo)(輪軌力)、輪軌結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)(鋼軌振動(dòng)加速度)三類動(dòng)力學(xué)指標(biāo)權(quán)重系數(shù)按不同的重要度程度進(jìn)行組合，得到多種組合工況，最終綜合考慮各因素，引入在文獻(xiàn)[11]研究基礎(chǔ)上所提出的高低不平順權(quán)重曲線，后文的權(quán)重系數(shù)根據(jù)此權(quán)重曲線確定，本文不對權(quán)重系數(shù)求解過程做詳細(xì)說明。圖1為軌道高低不平順權(quán)重曲線，其中為表示方便，權(quán)重曲線的橫坐標(biāo)以不平順波長單位m的倒數(shù)，即空間頻率1/m為單位。

2 軌道加權(quán)質(zhì)量指數(shù)計(jì)算模型

軌道加權(quán)質(zhì)量指數(shù)(TWQI)的計(jì)算方法是根據(jù)確定的權(quán)重系數(shù)對軌道不平順進(jìn)行加權(quán)，由加權(quán)軌道不平順評價(jià)軌道的平順狀態(tài)。參照我國現(xiàn)行規(guī)范的軌道質(zhì)量指數(shù)(Track Quality Index,TQI)，本文仍以200 m作為軌道單元區(qū)段長度，單項(xiàng)加權(quán)軌道不平順的標(biāo)準(zhǔn)差作為軌道加權(quán)質(zhì)量指數(shù)(TWQI)的單項(xiàng)指標(biāo)，設(shè)計(jì)兩種不同算法進(jìn)行計(jì)權(quán)，將根據(jù)EMD分解所得計(jì)算結(jié)果稱為E-TWQI，基于帶通濾波計(jì)算結(jié)果稱為F-TWQI。

圖1 軌道高低不平順權(quán)重曲線

2.1 基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解計(jì)算E-TWQI

采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)將軌道不平順信號分解為頻率從高到低排列的多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function,IMF)和一個(gè)殘余信號，再根據(jù)IMF的瞬時(shí)頻率引入波長權(quán)重系數(shù)，重構(gòu)出引入波長權(quán)重的軌道不平順，最后求出E-TWQI。具體流程如圖2所示。

圖2 E-TWQI計(jì)算流程圖

信號分解結(jié)果由下式表示

(5)

式中:x(t)為原始信號，imfi(t)為本征模態(tài)函數(shù)，rn(t)為殘余信號。

經(jīng)三次樣條插值運(yùn)算，可得到IMF的頻率曲線f(t),根據(jù)IMF的頻率曲線和軌道不平順的波長權(quán)重曲線，對加權(quán)后的IMF進(jìn)行重構(gòu)可得到加權(quán)軌道不平順。此文不對EMD分解過程詳細(xì)闡述，具體算法過程引自文獻(xiàn)[11]，設(shè)軌道不平順的序列為{x(n)},加權(quán)重構(gòu)后軌道不平順的序列為{ωx(n)}，則E-TWQI的計(jì)算公式如下

(6)

(7)

式中:σi為單項(xiàng)指數(shù);即各單項(xiàng)加權(quán)軌道不平順的標(biāo)準(zhǔn)差,本文稱為E-TWQI；Wxi為單元區(qū)段中各加權(quán)軌道不平順采樣點(diǎn)的平均值；n為單元區(qū)段中采用點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

2.2 基于帶通濾波計(jì)算F-TWQI

將軌道不平順波長頻域范圍按1/3倍頻程劃分為N個(gè)頻帶，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的時(shí)域?yàn)V波器，通過數(shù)字濾波得到各個(gè)頻帶的軌道不平順波形分量，求得標(biāo)準(zhǔn)差再根據(jù)中心頻率賦予對應(yīng)波長賦予權(quán)重系數(shù)，在研究不關(guān)注分解過程中的不平順幅值時(shí)，采用對標(biāo)準(zhǔn)差賦權(quán)的方法只需根據(jù)中心頻率賦權(quán)即可，可以顯著提升本算法的計(jì)算速率且節(jié)約計(jì)算空間，最后通過求和計(jì)算得到F-TWQI。具體流程如圖3所示。

圖3 F-TWQI計(jì)算流程圖

設(shè)第i個(gè)(i=1,2,…,N)1/3倍頻程軌道不平順的序列為{x(n)},不平順波長權(quán)重系數(shù)為ω(k)，各頻帶軌道不平順加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為ωΔi，則F-TWQI計(jì)算公式如下

(8)

(9)

(10)

3 數(shù)字濾波器的構(gòu)造及應(yīng)用

數(shù)字濾波器與傳統(tǒng)模擬濾波器在實(shí)現(xiàn)方式上存在很大差異，傳統(tǒng)的模擬濾波器主要是硬件實(shí)現(xiàn)，而數(shù)字濾波器可以通過軟件即編程實(shí)現(xiàn)。按照數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)時(shí)頻域特性將濾波器分為兩種[12]：有限脈沖響應(yīng)濾波器FIR(Finite Impulse Response)和無限脈沖響應(yīng)濾波器IIR(Infinite Impulse Response)。FIR濾波器與IIR濾波器相比[13]：前者具有穩(wěn)定好、精度高、易于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等優(yōu)點(diǎn)；IIR 數(shù)字濾波器具有結(jié)構(gòu)簡單、效率高、與模擬濾波器有對應(yīng)關(guān)系、易于解析控制及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等優(yōu)點(diǎn); IIR濾波器其傳遞函數(shù)包括零點(diǎn)和極點(diǎn)兩組可調(diào)因素，對極點(diǎn)的唯一限制是在單位圓內(nèi)，因此可選擇較低的設(shè)計(jì)階次獲得較高的選擇性，所用的存儲(chǔ)單元少，計(jì)算量小從而經(jīng)濟(jì)效率高。

本文旨在更加精確快速地獲得不同1/3倍頻范圍的不平順幅頻特性曲線，求得標(biāo)準(zhǔn)差并賦權(quán)，由于本文劃分的1/3頻帶都是小范圍，所以要求所設(shè)計(jì)濾波器的有良好的衰減特性，觀察同等指標(biāo)條件小范圍頻帶下IIR濾波器和FIR濾波器二者的幅頻特性曲線，前者在截止頻率附近的衰減特性更加滿足要求，而FIR濾波器若要改善吉布斯現(xiàn)象，需要選擇更高的濾波階數(shù)。為了保證此方法的準(zhǔn)確性和效率優(yōu)勢，由非線性濾波器造成的信號延時(shí)對每200 m區(qū)段最終的評價(jià)指標(biāo)的影響可以忽略不計(jì)，綜合考慮本文的主要目的，切比雪夫Ⅱ型濾波器在阻帶中具有等波紋響應(yīng)，為了獲取更好的濾波速度及濾波精度，因此最終確定選擇切比雪夫Ⅱ型濾波器為模擬原型低通濾波器，通過頻率轉(zhuǎn)換成滿足具體指標(biāo)的帶通濾波器，根據(jù)脈沖響應(yīng)不變法映射成期望的數(shù)字帶通濾波器實(shí)現(xiàn)1/3倍頻濾波。

切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅度平方特性為

(11)

式中：ε為波紋系數(shù)，由通帶內(nèi)的允許波紋確定；ωc為通帶截止頻率；TN(x)是N階切比雪夫多項(xiàng)式，即

(12)

其遞推計(jì)算公式為

(13)

模擬原型低通濾波器ωc=1 rad/s，通過頻率-頻率變換規(guī)則映射到最終的模擬帶通濾波器上，變換規(guī)則為

s←(s2+ωHωL)/s(ωH-ωL)

(14)

根據(jù)所需設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)好模擬帶通濾波器Ha(s)，u(t)是單位階躍函數(shù)，模擬濾波器的脈沖響應(yīng)為

(15)

對此脈沖響應(yīng)進(jìn)行采樣，并乘以周期T，得到等價(jià)的脈沖響應(yīng)序列

(16)

對he(n)求Z變換，得到等價(jià)的數(shù)字鐘濾波器的傳遞函數(shù)He(z)為

(17)

經(jīng)傅里葉變換，可得等價(jià)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系為

(18)

根據(jù)以上數(shù)字濾波器構(gòu)造原理，基于MATLAB設(shè)計(jì)滿足每個(gè)1/3倍頻程濾波要求的IIR帶通濾波器，將濾波器應(yīng)用于F-TWQI計(jì)算過程中各個(gè)1/3倍頻的分解，各頻帶標(biāo)準(zhǔn)差根據(jù)中心頻率按圖1確定權(quán)重系數(shù)，求和得出賦權(quán)后的F-TWQI。表1為濾波器設(shè)計(jì)中各1/3倍頻劃分的頻帶信息。圖4為設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特征，其設(shè)計(jì)指標(biāo)為通帶截止頻率范圍0.111 4～0.140 3 Hz(對應(yīng)波長范圍7～9 m),阻帶截止頻率下限為0.01 Hz(對應(yīng)波長為100 m)，截止頻率上限為0.2 Hz(對應(yīng)波長為5 m),通帶邊衰減設(shè)為0.1 dB，阻帶邊衰減設(shè)為30 dB,采樣頻率為4 Hz。圖5為軌檢車實(shí)測不平順幅值數(shù)據(jù)，按上述設(shè)計(jì)帶通濾波器濾波前后對比結(jié)果對比。圖6為在該數(shù)據(jù)下按1/3倍頻濾波后各頻帶標(biāo)準(zhǔn)差對應(yīng)權(quán)重系數(shù)大小。

表1 濾波器設(shè)計(jì)中各1/3倍頻劃分

圖4 幅值特征

圖5 濾波前后結(jié)果對比

圖6 頻帶標(biāo)準(zhǔn)差及權(quán)重

4 實(shí)例分析

軌道不平順數(shù)據(jù)樣本選取某高速線路K793+850—K860+019區(qū)段2015-04-09 GJ型軌道檢查車檢測數(shù)據(jù)。由于軌道不平順數(shù)據(jù)較多，本文僅列出了左、右高低原始不平順幅值數(shù)據(jù)，如圖7所示。

圖7 左、右高低不平順幅值

圖8、圖9分別為該區(qū)段軌道左、右高低不平順的單項(xiàng)指標(biāo)TQI、單項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差F-TWQI、單項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差E-TWQI以及軌道不平順激勵(lì)下的UIC513舒適性指標(biāo)。為了便于描述，圖中對每200 m軌道單元區(qū)段進(jìn)行編號，將區(qū)段的軌道不平順分為60個(gè)單元區(qū)段。

圖8 左高低的軌道不平順加權(quán)質(zhì)量指數(shù)

圖9 右高低的軌道不平順加權(quán)質(zhì)量指數(shù)

由圖8、圖9可知，F(xiàn)-TWQI與TQI的變化和趨勢基本相同，但前者幅值有一定程度的增大，比較兩者的波形可知，F(xiàn)-TWQI的波形變化較TQI的波形變化更劇烈，這說明在軌道幾何形位幅值相同的情況下，不平順波長同樣對軌道質(zhì)量有著很大的影響，TQI從幅值角度來評判軌道不平順狀態(tài)，并不能反映車輛運(yùn)行的狀態(tài)。加權(quán)軌道不平順放大了對車輛運(yùn)行舒適性影響較大的波長成分，減小了對車輛運(yùn)行舒適性影響較小的波長成分。采用F-TWQI指標(biāo)可以更有效地對區(qū)段不平順不同波長進(jìn)行評價(jià)，從而解決實(shí)際養(yǎng)護(hù)維修中欠維修和過維修的問題。比較可得，相較于TQI， F-TWQI、E-TWQI兩者的波形圖變化特征與UIC513舒適性指標(biāo)波形圖變化特征具有較好的一致性，且F-TWQI一致性高于E-TWQI。結(jié)果表明，基于帶通濾波器1/3倍頻程濾波的方法與EMD分解相比，前者更能準(zhǔn)確地反映軌道實(shí)際的平順狀態(tài)。為了更為直觀，表2列出了該區(qū)段的左、右高低不平順的TQI、F-TWQI、E-TWQI與UIC513舒適度指標(biāo)之間波形圖變換特征的相關(guān)系數(shù)。

表2 TQI、F-TWQI、E-TWQI 單項(xiàng)指標(biāo)與UIC513舒適性指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)

由表2可知，TQI處于0.60～0.70，F(xiàn)-TWQI、E-TWQI與UIC-513之間的相關(guān)系數(shù)均大于0.70，說明軌道加權(quán)質(zhì)量指數(shù)能更好的反映車輛運(yùn)行的舒適性。E-TWQI處于0.70～0.75，F(xiàn)-TWQI處于0.80～0.85,表明F-TWQI具有更好的相關(guān)性，說明濾波器濾波能有效避免EMD分解算法的端點(diǎn)效應(yīng)，更精確地完成不同波長的分離。

5 結(jié) 論

本文在結(jié)合現(xiàn)有軌道不平順評估方法的研究基礎(chǔ)上，提出一種基于帶通濾波的軌道不平順敏感波長計(jì)權(quán)評價(jià)方法。利用帶通濾波器按1/3倍頻濾波得到不同頻程范圍的不平順幅值數(shù)據(jù)分量，按中心頻率賦權(quán)得到計(jì)權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差，最后求和得出軌道加權(quán)質(zhì)量指數(shù)(F-TWQI)。比較F-TWQI、E-TWQI、TQI與UIC-513舒適性指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)，可以得到如下結(jié)論：

(1) TQI、F-TWQI、E-TWQI與UIC-513舒適性指標(biāo)間相關(guān)系數(shù)分別位于0.60～0.70、0.70～0.75、0.80～0.85，加權(quán)質(zhì)量指數(shù)具有更高的相關(guān)系數(shù)，即說明軌道加權(quán)質(zhì)量指數(shù)在考慮了波長因素的情況下，能更好地反映實(shí)際的軌道狀態(tài)。

(2) E-TWQI與F-TWQI兩種算法相比，由賦權(quán)算法流程圖可知，前者賦權(quán)過程明顯滯后于后者，F(xiàn)-TWQI計(jì)算效率具有明顯的時(shí)效優(yōu)勢；F-TWQI與E-TWQI相比，兩者波形圖變化特征與UIC-513舒適性指標(biāo)變化特征的相關(guān)系數(shù)分別位于0.80～0.85、0.70～0.75，F(xiàn)-TWQI具有更高的計(jì)算精度。

綜上，利用實(shí)測軌道不平順數(shù)據(jù)對比分析發(fā)現(xiàn)，引入權(quán)重的軌道加權(quán)質(zhì)量指數(shù)，將波長因素納入考慮范圍可以更科學(xué)地評估軌道狀態(tài)；將數(shù)字濾波器的優(yōu)勢合理用于不平順不同頻帶范圍波形分量的分離，可以更快速、準(zhǔn)確地完成不同波長成分的分解，解決當(dāng)前主要計(jì)權(quán)方法存在缺陷的問題，如基于濾波器濾波能避免EMD分解的端點(diǎn)效應(yīng)、小波分解計(jì)權(quán)曲線分辨率過低等問題；該方法對敏感波長的管理提供一種新思路，對快速、準(zhǔn)確分析鐵路工務(wù)的潛在安全隱患并做到防患于未然具有重要意義。