雨滴沖擊荷載對斜拉橋拉索風(fēng)雨激振影響的初步分析

李錦華，毛坤海，余維光，管海平，陳水生

(1.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院,南昌 330013；2.南昌鐵路天河建設(shè)有限公司,南昌 330026)

風(fēng)雨激振是指在特定風(fēng)雨環(huán)境下，斜拉橋拉索發(fā)生的大幅振動，這非常容易造成斜拉索的疲勞破壞。Hikami等[1]對風(fēng)雨激振現(xiàn)象進(jìn)行了研究，并總結(jié)了許多關(guān)于風(fēng)雨激振的基本特性；隨后，大量研究如泉噴涌，主要為大量的現(xiàn)場實(shí)測[2]和風(fēng)洞試驗(yàn)[3-4]探討基本特性，然后通過力學(xué)分析建立理論方程進(jìn)行分析。

風(fēng)雨激振是由氣體、液體和固體的三相耦合作用而產(chǎn)生，現(xiàn)象復(fù)雜，研究困難。目前主要的關(guān)注點(diǎn)有：Gu等[5]針對三維剛性節(jié)段模型進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)，擬合得到拉索氣動力系數(shù)和水線氣動力系數(shù)，并在水線運(yùn)動方程中考慮了庫倫阻尼力和黏滯阻尼力；張琪昌等[6]聚焦于風(fēng)雨激振運(yùn)動方程的求解方法，并運(yùn)用混沌理論分析風(fēng)雨激振的非線性特性，開拓了非線性方程的求解新思路；李暾等[7]討論了連續(xù)拉索面內(nèi)面外振動，在此基礎(chǔ)上分析了多模態(tài)的耦合作用，并改進(jìn)了庫倫阻尼力的作用方式，認(rèn)為其方向應(yīng)該與水線的運(yùn)動方向有關(guān)，使得水線運(yùn)動方程更加完善；Wang等[8-9]的不同之處在于對水線運(yùn)動方程的推導(dǎo)，他們運(yùn)用滑移理論推導(dǎo)水線方程?？偨Y(jié)之前的研究，主要在于水線運(yùn)動方程的討論及方程的求解，缺乏雨滴沖擊對拉索振動影響的研究?？紤]風(fēng)雨激振的產(chǎn)生條件，雨滴沖擊應(yīng)該存在，但其影響則很難確定，因此其討論顯得非常必要。

雨滴沖擊荷載作為外荷載而存在，若探討它的作用，必須考慮風(fēng)雨激振運(yùn)動方程的形式?？偟膩碚f，風(fēng)雨激振的運(yùn)動方程有節(jié)段模型[10-11]和連續(xù)模型[12-13]兩類。但本文的目的不是討論運(yùn)動方程，而是關(guān)注雨滴的沖擊作用。為分析方便，采用節(jié)段模型進(jìn)行分析。關(guān)于準(zhǔn)運(yùn)動水線單自由度節(jié)段模型，主要問題集中于對相對風(fēng)速和相對風(fēng)攻角進(jìn)行處理。Wang等[14-15]忽略了相對風(fēng)攻角式中分母項(xiàng)的水線項(xiàng)，并對相對風(fēng)攻角在原點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，對相對風(fēng)速未做處理；Wilde等[16]的討論選擇忽略相對風(fēng)攻角分母中水線項(xiàng)和相對風(fēng)速中水線項(xiàng)，并在風(fēng)攻角處進(jìn)行泰勒展開；何向東等[17]則忽略相對風(fēng)攻角和相對風(fēng)速中所有的水線項(xiàng)。在這里所有的簡化過程，最后的目的都是將相對風(fēng)攻角和相對風(fēng)速中包含的水線項(xiàng)及拉索振動項(xiàng)顯式化，方便求解；然而這樣處理卻又導(dǎo)致了另外一個問題，使原本簡潔的運(yùn)動方程變得非常繁雜；為此相對風(fēng)速和相對風(fēng)攻角的處理方式就變得舉足輕重。

由此，本文針對準(zhǔn)運(yùn)動水線單自由度節(jié)段拉索進(jìn)行了雨荷載沖擊的初步分析，并將分析過程分成三個部分進(jìn)行討論，分別為運(yùn)動方程推導(dǎo)、處理方法比較及參數(shù)分析。由于雨滴沖擊對拉索的作用，拉索運(yùn)動方程將會有所不同，這部分將對這點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)討論；盡管每位學(xué)者處理方法不同，但差別大小卻不知道，故在第二部分將會對這個問題仔細(xì)分析；下面先討論拉索運(yùn)動方程。

1 考慮雨滴沖擊荷載的拉索運(yùn)動方程推導(dǎo)

傳統(tǒng)在分析拉索風(fēng)雨激振的時(shí)候，大多數(shù)學(xué)者往往將視角集中在水線形成后，拉索與水線耦合作用導(dǎo)致拉索的大幅振動，并分別對水線運(yùn)動方程及拉索運(yùn)動方程進(jìn)行討論；然而關(guān)于水線的形成條件及雨滴對拉索沖擊力的影響則基本沒有分析?；诖耍竟?jié)的視角放在在整個風(fēng)雨激振過程雨滴不斷沖擊作用，水線的形成條件需要大量實(shí)驗(yàn)取得統(tǒng)計(jì)結(jié)論，本文不做過多討論?，F(xiàn)實(shí)中，雨滴不斷地撞擊拉索，然后在拉索表面形成水線，并且這一過程與風(fēng)速，雨滴質(zhì)量及拉索表面材料等因素有關(guān)。于是就存在這樣的兩種可能：①雨滴均能黏附于拉索表面運(yùn)動形成水線；②在特殊情況下雨滴均很難在拉索表面形成水線。為了考慮各種可能存在的情況，下面將分別基于這兩種狀態(tài)建立受雨滴沖擊荷載作用的拉索運(yùn)動方程。

1.1 無水線形成拉索運(yùn)動方程

在降雨環(huán)境中，考慮拉索表面可能在特定強(qiáng)風(fēng)速下難以形成水線。因此，在這一小節(jié)中，將討論拉索表面不會形成水線，但有雨滴沖擊時(shí)，拉索的運(yùn)動微分方程。拉索實(shí)際振動情況非常復(fù)雜，在自然狀態(tài)下很難精確地通過數(shù)學(xué)方程來表達(dá)。為此，進(jìn)行基本假設(shè)：①不考慮拉索的面外振動，僅對面內(nèi)振動分析；②節(jié)段拉索端部假定為鉸接形式；③在計(jì)算微分方程時(shí)考慮拉索的靜力構(gòu)形作為計(jì)算初始條件；④由于拉索表面難以形成水線，因此認(rèn)為雨滴與拉索之間的碰撞為完全彈性碰撞；⑤雨滴質(zhì)量與拉索質(zhì)量相比很小，可以忽略不計(jì)。

單位長度質(zhì)量為mc，直徑為的拉索Dc，其空間布置如圖1所示。無水線拉索橫截面模型如圖2所示。斜拉索的大幅振動，主要是風(fēng)和雨共同作用造成的。因此，在分析過程中，對風(fēng)荷載及雨滴沖擊荷載分別考慮。首先考慮風(fēng)荷載的影響，當(dāng)來流風(fēng)速為U0，風(fēng)向角為β，拉索傾角為α?xí)r，由于拉索只在動平面內(nèi)振動，此時(shí)按照平行四邊形法則將U0分解到與拉索動平面正交的平面內(nèi)(后面稱為正交平面)，在該平面內(nèi)風(fēng)速大小用U表示，風(fēng)速與水平方向的夾角(風(fēng)攻角)用γ表示，即

(1)

(2)

進(jìn)一步考慮由于拉索本身振動對實(shí)際情況的影響。建立正交平面內(nèi)風(fēng)速與拉索振動速度矢量運(yùn)算圖(見圖2)，可以得到相對風(fēng)速Urel和相對風(fēng)攻角φrel的表達(dá)式

(3)

(4)

圖1 拉索節(jié)段模型Fig.1 Segment model of a cable

圖2 無水線拉索橫截面模型Fig.2 Cross section model of no rivulets

Fa為豎向作用在拉索上的氣動力，即在拉索上的氣動升力和氣動阻力在豎向的合力。說明：拉索在風(fēng)雨共同激勵時(shí)，盡管表面沒有形成水線，但卻處在降雨環(huán)境中，如果運(yùn)動方程中的氣動力系數(shù)采用無雨環(huán)境的風(fēng)振氣動力系數(shù)似乎不容易接受。因此，對于雨滴難以形成水線時(shí)考慮雨滴沖擊荷載作用下的拉索風(fēng)雨激勵振動，運(yùn)動方程采用降雨環(huán)境下的拉索氣動力系數(shù)。

(5)

(6)

(7)

式中：CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，其中系數(shù)Ai和Bi的取值：A0=-0.390 9，A1=0.250 7，A2=1.762 5，A3=1.008 1，B0=1.555 5，B1=-0.538 2，B2=-0.885，B3=0.083 1；ρa(bǔ)為空氣密度；φefc為有效風(fēng)攻角，由于沒有形成水線，故φefc=φrel。

接下來分析雨滴沖擊荷載。根據(jù)風(fēng)驅(qū)雨的研究可知，在水平方向上雨滴的運(yùn)動速度最終會與風(fēng)速無限接近，由此在雨滴降落時(shí)間足夠長時(shí)，可以認(rèn)為水平方向上風(fēng)速即為雨滴運(yùn)動速度。然后將風(fēng)速分解到動平面內(nèi)，如圖1所示；由于拉索質(zhì)量與雨滴相比非常大，考慮雨滴與拉索的碰撞為完全彈性碰撞，則應(yīng)用沖量定理可得單個雨滴的沖擊力，如下所示

(8)

Frs=4mr(U0sinαsinβ)2/Dr=2πρrDr2(U0sinαsinβ)2/3

(9)

式中：τ為作用時(shí)間；取Dr/(2U0sinαsinβ)；mr為雨滴質(zhì)量；Dr為雨滴的有效直徑；ρr為雨滴密度。

通過考慮M-P雨滴譜將單個雨滴的沖擊力轉(zhuǎn)化成大量雨滴的沖擊力[18]，表達(dá)式如下所示

Fr=αDcFrsU0sinαsinβΔt/Ar=
2N0πρrDc(U0sinαsinβ)3Δt/(3λ4)

(10)

式中：α為雨滴在空氣中的占有率；α=πDr3N(Dr)/6；N(Dr)為M-P雨滴譜，其形式為N(Dr)=N0exp(-λDr)，其中N0=8 000；λ為斜率因子，λ=4.1I-0.21，I為降雨強(qiáng)度。

拉索運(yùn)動方程的建立。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可知拉索運(yùn)動方程如下所示

(11)

將式(5)和式(10)代入式(11)，得拉索運(yùn)動微分方程如下

CD(φefc)sinφrel]/(2mc)-2N0πρrDc(U0sinαsinβ)3/(3λ4mc)

(12)

1.2 考慮水線拉索運(yùn)動方程

在降雨環(huán)境中，考慮拉索表面形成水線。因此，在這一小節(jié)中，將討論有水線形成，且有雨滴沖擊時(shí)拉索的運(yùn)動方程。首先進(jìn)行如下假設(shè)：①不考慮拉索的面外振動；②上水線的振動頻率與拉索相同；③上水線的初始位置是風(fēng)速的函數(shù)，且水線運(yùn)動形式為諧振動；④水線的質(zhì)量很小，可以忽略不計(jì)；⑤認(rèn)為下水線對拉索振動無影響，只考慮上水線的影響；⑥不考慮軸向流的作用；⑦在計(jì)算微分方程時(shí)考慮拉索的靜力構(gòu)形作為計(jì)算初始條件；⑧節(jié)段拉索端部假定為鉸接形式；⑨由于水線的存在，認(rèn)為雨滴與拉索之間的碰撞為完全非彈性碰撞；⑩忽略水線對拉索的壓力；忽略水線與拉索之間的相互作用力。

拉索空間布置如圖1所示，有水線拉索橫截面模型如圖3所示。首先考慮風(fēng)荷載的影響，此時(shí)按照平行四邊形法則將U0分解到正交平面內(nèi)，在正交平面內(nèi)風(fēng)速大小用U表示，風(fēng)速與水平方向的夾角(即風(fēng)攻角)用γ表示，即

(13)

(14)

式中：ε為上水線對來流駐點(diǎn)影響的修正系數(shù)，本文修正系數(shù)取0.4。

圖3 有水線拉索橫截面模型Fig.3 Cross section model of rivulets

進(jìn)一步考慮相對風(fēng)速和相對風(fēng)攻角，建立矢量運(yùn)算圖(見圖3)，可以得到相對風(fēng)速Urel和相對風(fēng)攻角Urel的表達(dá)式分別為

(15)

(16)

參考Wilde等假定水線的振動為諧振動，水線的振動幅值是風(fēng)速的函數(shù)。本文假設(shè)水線運(yùn)動滿足該方程，即

(17)

式中：A為水線運(yùn)動振幅；ω為水線振動頻率(等于拉索固有頻率)；Umax為當(dāng)拉索產(chǎn)生最大振幅時(shí)的平均風(fēng)速，采用試算法進(jìn)行確定，系數(shù)a1和a2分別考慮為a1=0.448，a2=1.584 2。

上水線初始位置為平均風(fēng)速的函數(shù)如下所示

(18)

則氣動力如下所示

(19)

式中：φefc為有效風(fēng)攻角，如下所示

φefc=φrel-θ-θi

(20)

下面分析雨滴沖擊荷載。雨滴黏附于拉索表面運(yùn)動，故考慮雨滴與拉索的碰撞為完全非彈性碰撞，根據(jù)圖3，應(yīng)用沖量定理可得單個雨滴的沖擊力，如下所示

(21)

Fre=2mr(U0sinαsinβ)2/Dr=πρrDr2(U0sinαsinβ)2/3

(22)

式中：mr為雨滴質(zhì)量；Dr為雨滴的有效直徑；ρr為雨滴密度。

通過考慮M-P雨滴譜將單個雨滴的沖擊力轉(zhuǎn)化成大量雨滴的沖擊力，表達(dá)式如下所示

Fr=αDcFrs/Ar=N0πρrDc(U0sinαsinβ)2/(3λ4)

(23)

式中：α為雨滴在空氣中的占有率，α=πDr3N(Dr)/6，N(Dr)為M-P雨滴譜，其形式為N(Dr)=N0exp(-λDr)，其中N0=8 000，λ為斜率因子，λ=4.1I-0.21，I為降雨強(qiáng)度。

根據(jù)D′Alembert原理推導(dǎo)出拉索單自由度振動微分方程為

(24)

將式(19)和式 (23)代入式(25)，整理后可得拉索運(yùn)動微分方程

(25)

通過比較式(10)和式(23)，發(fā)現(xiàn)在雨滴沖擊荷載公式中并不包含拉索振動項(xiàng)，故可以明確這樣一個問題，雨滴沖擊荷載是可以獨(dú)立出來的，與拉索的振動無關(guān)，因此在分析雨荷載的沖擊時(shí)可以單獨(dú)考慮；此外可以知道，兩種情況下的雨滴沖擊荷載是兩倍關(guān)系，然而實(shí)際情況是介于這兩者之間，于是針對沖擊荷載引入沖擊系數(shù)μ，如下所示

Fr=(1+μ)N0πρrDc(U0sinαsinβ)3/(3λ4)

(26)

式中：μ的取值范圍為0～1，且當(dāng)取值為1時(shí)應(yīng)運(yùn)用式 (12)進(jìn)行計(jì)算。

則有沖擊荷載的拉索風(fēng)雨激振運(yùn)動方程如下所示

(27)

2 風(fēng)雨激振運(yùn)動方程不同簡化方式比較分析

通過前面的討論，建立了有雨滴沖擊荷載的拉索振動微分方程；而且可以知道雨滴沖擊荷載是獨(dú)立的，與拉索本身的振動無關(guān)，因此在分析方程其他問題時(shí)可以將雨滴沖擊荷載暫時(shí)忽略。在準(zhǔn)運(yùn)動水線風(fēng)雨激振方程中，水線與拉索的耦合導(dǎo)致運(yùn)動方程非常復(fù)雜。為方便求解，許多學(xué)者針對該運(yùn)動方程提出了不同的簡化方法，而這些簡化對最后結(jié)果的影響目前并沒有被詳細(xì)討論。然而隨著計(jì)算工具的不斷發(fā)展，現(xiàn)在可以直接求解拉索風(fēng)雨激振方程，不需要簡化。故本節(jié)討論的問題是，未施加沖擊荷載時(shí)，簡化方程與未簡化方程求解拉索運(yùn)動方程的差別。

以單位長度質(zhì)量為10.2 kg，阻尼比為0.007，直徑為0.14 m的節(jié)段拉索為例進(jìn)行討論。對拉索施加平均風(fēng)速，得到在不同風(fēng)速情況下拉索振動時(shí)程曲線。取固有頻率為1 Hz的拉索，繪制時(shí)程曲線如圖4～圖7所示，其中圖4為Wilde等模型1的簡化形式，圖5為Xu等的簡化形式，圖6為何向東等的簡化形式，圖7為未進(jìn)行簡化時(shí)拉索振動時(shí)程曲線，風(fēng)速分別為9 m/s，11.6 m/s，15 m/s時(shí)拉索振動曲線。首先比較時(shí)程曲線，可以看到圖4和圖7比較接近，圖5和圖6差距較大，這說明Wilde等的簡化方式所計(jì)算的結(jié)果更加接近未簡化方程的數(shù)值解。其次繪制風(fēng)速-振幅曲線，如圖8所示，頻率分別為1 Hz，2 Hz，3 Hz時(shí)拉索振動曲線。從總體上來看基本都符合風(fēng)雨激振的基本特性，皆隨風(fēng)速先增大后減小，而Wilde等的簡化方式中數(shù)值更加接近未簡化的值。

圖4 Wilde等模型1的拉索振動曲線Fig.4 The cable oscillation curve of wind induced vibration of Wilde,et al model 1

圖6 何等的拉索振動曲線Fig.6 The cable oscillation curve of rain-wind-induced vibration of He,et al

圖7 未簡化的拉索振動曲線Fig.7 The cable oscillation curve of rain-wind-induced vibration of no simplification

3 風(fēng)雨激振不同情況分析

通過比較簡化與未簡化之間的差別，可以知道簡化方法非常重要，未處理好對結(jié)果影響非常大，甚至改變振動特點(diǎn)；此外，在簡化過程會形成復(fù)雜的公式，容易疏忽，將公式弄錯，這也會造成不小的問題?；谶@個考慮，在可以求解的情況下，本文認(rèn)為運(yùn)用原始方程討論更加合理。從兩個方面進(jìn)行討論：①形成水線的條件下，施加沖擊荷載與不施加沖擊荷載時(shí)拉索振動的差別，同時(shí)對沖擊系數(shù)μ及降雨強(qiáng)度進(jìn)行討論；②未形成水線的條件下，施加沖擊荷載與不施加沖擊荷載時(shí)拉索振動的差別，及不同降雨強(qiáng)度的影響。

討論①：首先討論能形成水線的情形；拉索屬性同前，取沖擊系數(shù)值為0.5，可以得到固有頻率為1 Hz，2 Hz和3 Hz的拉索在不同風(fēng)速時(shí)的振幅，分別繪制成拉索的風(fēng)速-振幅曲線如圖9所示。從圖9可知，當(dāng)風(fēng)速為5～17 m/s時(shí)，施加沖擊荷載的振幅曲線幾乎與未施加沖擊荷載的振幅曲線重合，這說明在這個風(fēng)速范圍內(nèi)雨滴沖擊荷載的影響很小幾乎可以不考慮。

圖8 不同頻率拉索的風(fēng)速-振幅曲線Fig.8 The curve of wind speed-amplitude of the cable with different frequency

圖9 不同頻率拉索的風(fēng)速-振幅曲線Fig.9 The curve of wind speed-amplitude of the cable with different frequency

圖10 沖擊系數(shù)-振幅曲線Fig.10 Impact coefficient-amplitude curve

討論②：針對無水線的討論如下；拉索屬性同前，取沖擊系數(shù)值為0.5，可以得到拉索在不同風(fēng)速時(shí)的振幅，繪制成風(fēng)速-振幅曲線如圖12所示。從圖12可知，當(dāng)風(fēng)速為30～80 m/s時(shí)，施加沖擊荷載的振幅曲線遠(yuǎn)大于未施加沖擊荷載的振幅曲線，且隨著風(fēng)速的增大它們之間的差距越來越大，這說明在這個風(fēng)速范圍內(nèi)雨滴沖擊荷載的影響非常大，不能忽略。同討論①，降雨強(qiáng)度振幅曲線如圖13所示，從圖13可知，隨著降雨強(qiáng)度的增大，拉索振幅會減小，但是差距并不是很大；說明降雨強(qiáng)度會影響沖擊力大小。

圖11 降雨強(qiáng)度-振幅曲線Fig.11 Rainfall intensity-amplitude curve

圖12 無水線的風(fēng)速-振幅曲線Fig.12 Wind speed-amplitude curve of no rivulet

圖13 降雨強(qiáng)度-振幅曲線Fig.13 Rainfall intensity-amplitude curve

在本小節(jié)從兩個方面討論了沖擊荷載的作用，首先是低風(fēng)速能形成水線的情況，通過分析發(fā)現(xiàn)，在低風(fēng)速范圍內(nèi)雨滴沖擊荷載的影響很小幾乎可以不考慮；然后分析了在強(qiáng)風(fēng)環(huán)境下的雨滴沖擊作用，知道雨滴沖擊荷載的影響非常大，且隨著風(fēng)速的增大它們之間的差距越來越大。由此得出結(jié)論，在低風(fēng)速環(huán)境下雨滴沖擊荷載可以忽略，在強(qiáng)風(fēng)環(huán)境時(shí)，雨滴沖擊荷載較大，不能忽略。

4 結(jié) 論

(1)傳統(tǒng)對拉索施加雨滴沖擊荷載的討論還比較少，從風(fēng)雨環(huán)境來說，風(fēng)雨荷載肯定會同時(shí)存在，對風(fēng)雨環(huán)境下拉索承受雨滴沖擊荷載進(jìn)行了討論。由于拉索與雨滴之間的相互作用，在考慮雨滴沖擊時(shí)，必須考慮拉索本身的振動對雨滴沖擊力的影響，通過動量定理對其的分析，可以發(fā)現(xiàn)由于雨滴質(zhì)量與拉索質(zhì)量相比非常小，關(guān)于雨滴沖擊力的計(jì)算，可以忽略拉索本身振動的影響，即雨滴沖擊力可以作為單獨(dú)的部分進(jìn)行討論。

(2)關(guān)于風(fēng)雨激振準(zhǔn)運(yùn)動水線方程的求解問題一直以來都非常重要，許多學(xué)者對單自由度準(zhǔn)運(yùn)動水線進(jìn)行了處理，本文比較了幾種不同的處理辦法對最后結(jié)果的影響，Wilde等簡化處理比較接近未簡化的結(jié)果；但是在簡化的過程中很明顯會使方程變得更加復(fù)雜，在可以求解方程的情況下，顯然采用原方程將會更加簡潔明了。

(3)關(guān)于沖擊力對拉索的影響有多大，對于這個問題分別從低風(fēng)速能形成水線和高風(fēng)速不能形成水線兩個方面進(jìn)行了討論，結(jié)果表明在低風(fēng)速環(huán)境下雨滴沖擊荷載的影響很小可以忽略，而在強(qiáng)風(fēng)環(huán)境時(shí)沖擊荷載則非常大，隨風(fēng)速的增大而增大。