談數(shù)學建模之“相近類比建構(gòu)”

摘 要：“數(shù)學模型”是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學語言概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。在課堂教學中，數(shù)學模型的構(gòu)建是提高教學效益的重要途徑之一，在教學過程中重視對學習材料進行必要的抽象，注重數(shù)學思想方法的有效提煉，可以突顯模型的本質(zhì)。文章作者對數(shù)學建模中的“相近類比建構(gòu)”進行了探析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學模型;“相近程式類比”;“相近式圖類比”;“命題否定類比”

中圖分類號：G623.5 ? ? ??文章編號：2095-624X（2019）18-0014-03

一、引言

數(shù)學是一門十分靈動的科學，縱觀數(shù)學的發(fā)生與發(fā)展，人們可以發(fā)現(xiàn)，人類思維方式和方法的不斷進步推動著數(shù)學發(fā)展的進程，例如，直觀思維催化原始計數(shù)方法的發(fā)展;形象思維催化函數(shù)、幾何等的演化;抽象思維催化數(shù)學概念的產(chǎn)生;靈感思維催化類比、猜想、歸納等數(shù)學方法的發(fā)現(xiàn)。各種思維方式又幾乎都建立在“建構(gòu)”基礎(chǔ)之上?！敖！笔菙?shù)學學科核心素養(yǎng)之一，是用數(shù)學語言表達實際問題、用數(shù)學知識與方法通過構(gòu)建模型解決實際問題的過程?！敖！钡闹饕緩桨ǎ簭臄?shù)學的視角在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建數(shù)學模型、解答問題、得出結(jié)論、驗證結(jié)論;或在上一次“建模不恰當”的基礎(chǔ)上，修改或再建模，再解答，得出結(jié)論，驗證結(jié)論，最終解決實際問題。數(shù)學模型是構(gòu)建主義思想的具體應(yīng)用，是數(shù)學與實際問題的橋梁，是應(yīng)用數(shù)學知識（或方法）解決實際問題的基本手段，是在直覺思維的基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造過程。

學習是構(gòu)建與整合的過程，數(shù)學有“訓練思維之體操”之說。目前，高中數(shù)學思維訓練的主要方式是解題，而構(gòu)建恰當?shù)臄?shù)學模型又是解決數(shù)學問題的重要方法之一，也是高考的必然考點。分析近年來的高考數(shù)學試題，每年都有考“建模”問題，其中“相近類比建構(gòu)”又較為常見。所謂“相近類比建構(gòu)”是將問題與之相近的數(shù)、式、圖等聯(lián)系起來，通過“近親”構(gòu)建數(shù)學模型來解決實際問題。在這里，我談?wù)剶?shù)學模型構(gòu)建中的“相近類比構(gòu)建”途徑與方法。

二、基于“相近程式類比”建構(gòu)

數(shù)學領(lǐng)域里的很多知識是相通的，互相關(guān)聯(lián)的，往往一個問題可以“借力”于另一與之“相近”的問題來解決。例如，利用“程式”之間的相近關(guān)聯(lián)構(gòu)建數(shù)學模型解決數(shù)學問題。

例1.已知 a，b，c∈R+，且滿足條件：a+b+c= 2，a2+b2+c2=2，

求證：a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2

分析：如果我們用函數(shù)的思想去分析待證式子，不難發(fā)現(xiàn)，它與“函數(shù)f（x）=x（1-x）2”相近，要證明： a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2 成立，就只要證明f（a）=f（b）=f（c）即可。

證明：由題設(shè)可知2（ab+bc+ac）=（a+b+c）2-（a2+b2+c2）=2

由于（x-a）（y-b）（z-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc=x3-2x2+x-abc=x（1-x）2-abc，所以令f（x）=x（1-x）2= （x-a）（y-b）（z-c）+abc，不妨令x=a，b，c，可以得到f（a）=f（b）=f（c）=abc。故有a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2成立。

例2.若x，y，z∈R，且arctgx+argy+arctgz=—，

求證：（1）xy+yz-zx=1，（2）x+y+z

分析：arctgx，argy，arctgz相近與三個復數(shù)1+xi，1+yi，1+zi的輻角主值，則（1+xi）·（ 1+yi）· （1+zi）=（1-xy-yz-zx）+（x+y+z-xyz）i ，考慮到 arctgx+argy+ arctgz=—，顯然有1-xy-yz-zx=0和x+y+z-xyz<0，即有xy+yz-zx=1，和x+y+z

三、基于“相近式圖類比”建構(gòu)

某些代數(shù)式子的結(jié)構(gòu)與“圖形”相近，我們可以將問題中的條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)關(guān)系賦予幾何意義，然后構(gòu)建新的數(shù)學模型，再應(yīng)用我們比較熟悉的幾何知識去解決待求問題。

例3.求證sin220°+sin210°+√3sin20°cos80°=—

分析：待證式子的左邊可變?yōu)閟in220°+sin210°+ √3sin20°sin10°，在解此題時我們回避常規(guī)的三角變形法，我們從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)去構(gòu)建模型。不妨構(gòu)建 △ABC，令A(yù)=10°，B=20°，C=150°，由正弦定理可以得到：—=—=—=2R

又由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC

所以 （2Rsin150°）2=（2Rsin10°）2=（2Rsin20°）2-2× 4R2sin10°sin20°cos150°

即有sin220°+sin210°+√3sin20°sin10°=—成立。

例4.若a，b，c∈R+，求證√a2-ab+b2+

√b2-bc+c2≥√a2+ac+c2恒成立，當且僅當—=—+—時，等號成立。

分析：觀察待證式子中的三個根式，容易發(fā)現(xiàn)：

√a2-ab+b2=√a2+b2-2abcos60°可以表示為以a，b為邊，夾角為60°的三角形的第三邊長;

√b2-bc+c2=√b2+c2-2bccos60°可以表示為以b，c為邊，夾角為60°的三角形的第三邊長;

√a2+ac+c2=√a2+c2-2accos120°可以表示為以a，c為邊，夾角為120°的三角形的第三邊長;根據(jù)上述分析我們構(gòu)建在三角形ABC中，令A(yù)B=c， AC=a，AD=b，∠CAD=∠BAD=60°，如 圖 1。

由余弦定理可知CD=√a2-ab+b2=√a2+b2-2abcos60°

AB=√b2-bc+c2=√b2+c2-2bccos60°，

CB=√a2+ac+c2=√a2+c2-2accos120°，

在△CDB中，CD+DB>CB是恒成立的。

所以√a2-ab+b2+√b2-bc+c2≥√a2+ac+c2成立。

當B、C、D三點共線時，一定有√a2-ab+b2+

√b2-bc+c2=√a2+ac+c2成立，且S△ACD+S△ADB=S△ACB，即—absin60°+—bcsin60°=—acsin120°，即ab+bc=ac所以有

—=—+—成立。

例2、例3分別把一個純?nèi)呛瘮?shù)問題、不等式問題轉(zhuǎn)化成了對三角形的邊和角的分析。這兩道題的解法都是通過構(gòu)建幾何模型來解決代數(shù)問題，從一個全新的角度去審視原題，突破了問題原來的界限，展現(xiàn)出了獨特新穎的解題方法與技巧。這種解題方法的實質(zhì)是通過分析問題的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想與之相似的有著明顯幾何意義的式子，從而構(gòu)建數(shù)學模型達到解決問題的目的。中學數(shù)學中，有著明顯幾何意義的式子較多，例如：

（1）|x-a|表示數(shù)軸上任意點x與a的距離。

（2）（x-a）2+（x-b）2表示平面上任意點P（x，y）與 A（a，b）的距離的平方。

（3）—表示平面上任意點P（x，y）與 A（a，b）連線的斜率。

（4）—表示平面上任意點P（x，y）到直線ax+by+c=0的距離。

（5）常見的圓、橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線方程。

四 、基于“相近意境類比”建構(gòu)

某些問題的結(jié)構(gòu)與特定的數(shù)學或?qū)嶋H意境相關(guān)，可以將問題重構(gòu)新的問題意境。常見的方法包括實例數(shù)學化、面體展開、面體割補、面體對稱與旋轉(zhuǎn)等。

例5.在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC=1，∠ASB=∠ASC=∠BSC=30°，一只螞蟻從點A出發(fā)沿三棱錐的表面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬過的最短路程為多少？如圖2左圖所示。

分析：從“立體圖形聯(lián)想”相近“平面圖形”，將錐側(cè)面展開，很容易發(fā)現(xiàn)展開圖形為直角三角形，如圖2右圖所示。且最短路程為√2。

例6.如圖3左圖所示。四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD= 1，求面ASD與面BSC所成二面角的大小。

分析：考慮到 SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，可以把四棱錐補形為長方體 ，如圖3右圖所示。 面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角，又因為∠AA1B 為所求二面角的平面角，即面ASD與面BSC所成的二面角為45°。

例7.一個球的半徑為a，放在墻角與兩個墻角及地面都相切，那么球心與墻角頂點的距離是多少？

分析：我們從數(shù)學的視角審視容易發(fā)現(xiàn)此球心到三面的距離構(gòu)成邊長為a的正方體，則球心與墻角頂點的距離為√3a。

在構(gòu)建數(shù)學模型時，要克服思維定式的干擾，當用常法解決問題比較困難時，要及時調(diào)整思考角度，敢于構(gòu)想新的問題意境，尋求新的解題契機，其中尋求“相近意境”是重要的方法之一。

五、基于“命題否定類比”建構(gòu)

從問題的反面出發(fā)，構(gòu)想與問題完全相反的模型，然后通過推理，達到否定假設(shè)肯定結(jié)論的效果。其過程是：先假設(shè)“結(jié)論”不成立，然后把“結(jié)論”的反面當作已知條件，進而運用數(shù)學知識進行正確的邏輯推理，得出與題設(shè)或已知的公理、定義、定理相矛盾的結(jié)論，從而說明假設(shè)不成立，即原“結(jié)論”成立。這種方法的實質(zhì)是：先駁倒“結(jié)論”反面，而后肯定“結(jié)論”。

例8.已知：四邊形ABCD中，對角線AC=BD=m。

求證：四邊形中至少有一條邊不小于—m。

證明：假設(shè)四邊形的邊都小于—m，（如圖4 ）

由于四邊形中至少有一個角小于或等于90°，不妨設(shè)∠A≤∠90°，

由余弦定理，得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA，

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤√AD2+AB2<√（—m）2+（—m）2=m。

這與已知BD=m相矛盾。所以，“四邊形中至少有一條邊不小于—m”成立。

六、基于“逆否命題”建構(gòu)

考慮到“互為逆否命題等價”，可以將問題的研究轉(zhuǎn)化為對逆否命題的研究。

例9.求證：若a，b∈R，a2-b2+2a-4b-3≠0，則a-b≠1

分析：要證明“若a，b∈R，a2-b2+2a-4b-3≠0，則a-b≠1”成立，我們可以證明其逆否命題成立即可。即證“若a，b∈R ，a-b=1，則a2-b2+2a-4b-3=0”成立。

證明：因為a-b=1，所以a=b+1，所以a2-b2+2a-4b-3=（a2+2a+1）-（b2+4b+4）=（a+1）2-（b+2）2=（b+2）2-（b+2）2=0。

七、基于“相近客觀實例 ”建構(gòu)

例10.“如果一個二面角的兩個半平面分別和另外一個二面角的兩個半平面垂直，則這兩個二面角相等或互補”是否成立？

解答：將第一本書打開，得到一個二面角模型，將第二本書打開得到另一個二面角模型。將第二本書脊與第一本書打開的兩面垂直，此時第二本書開合成任意角時都是符合題意的。所以“一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，這兩個二面角不一定相等或互補”。

八、結(jié)語

“相似類比構(gòu)建”是數(shù)學模型構(gòu)建的重要方法或途徑，是從“相似”的視角構(gòu)建數(shù)學模型解決數(shù)學問題。模型構(gòu)建是數(shù)學發(fā)展的價值所在，是推動數(shù)學發(fā)展的動力所在，也是“數(shù)學人”的基本素養(yǎng)之一，值得我們?nèi)プ屑氀芯亢瓦\用。

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作者簡介：楊德才，數(shù)學高級教師，廣東省中山市實驗中學教師。