一題多解所涉及的物理思想

譚敏

摘 要：力學(xué)涉及諸多的定理、定律，譬如動(dòng)能定理、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理、能量守恒定律等等。這些定理、定律是我們分析解決物理問(wèn)題時(shí)非常重要的思想、方法和工具。現(xiàn)通過(guò)一道例題的兩種不同解答方法來(lái)分析其背后所蘊(yùn)藏的物理思想、方法。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能;力做功;能量守恒;物理思想

俗話說(shuō)：條條大路通羅馬，這同樣適用于物理問(wèn)題的解答。一道物理題有時(shí)往往會(huì)有多種解答方法，對(duì)各種解答方法進(jìn)行分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)這些解答方法其實(shí)是從不同的角度分析、解答問(wèn)題。再繼續(xù)分析，又會(huì)發(fā)現(xiàn)這些看似不同的分析問(wèn)題的角度其實(shí)內(nèi)在之間有有著這種或那種內(nèi)在關(guān)聯(lián)。下面，從一道物理習(xí)題的一題多解，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，來(lái)分析其背后所蘊(yùn)藏的物理思想和原理。

例：一輕繩繞于半徑 ? 的飛輪邊緣?，F(xiàn)以恒力

拉繩的一端，使飛輪由靜止開(kāi)始加速轉(zhuǎn)動(dòng)。已知飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ? ? ?，飛輪與軸承之間的摩擦不計(jì)，求：（1）當(dāng)繩子下拉 ? 時(shí)，飛輪獲得的動(dòng)能;（2）如果將重量 ? 的重物掛在繩端，當(dāng)繩子下降 ? 時(shí)，飛輪獲得的動(dòng)能是多少？該動(dòng)能和重力對(duì)物體所做的功是否相等？為什么？

（1） 解題思路一：根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定義直接計(jì)算

解： ? ? ? ? ? ? ? （1）

（2）

聯(lián)立可得： ? ? ? ? ? ? ?（3）

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知 ? ? ? ? ? （4）

故： ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

當(dāng)繩子下拉 ? 時(shí)，飛輪的角位移：

（6）

將（6）式代入（5）可得： ? ? ? （7）

代入數(shù)據(jù)，即可知當(dāng)繩子下拉 ? 時(shí)，飛輪獲得的動(dòng)能為 ?。

解題思路二：從能量的角度分析，當(dāng)繩子下拉 ? 時(shí)，施加于繩上的恒力會(huì)做功，由于飛輪與軸承之間的摩擦不計(jì)，故恒力做功應(yīng)該全部轉(zhuǎn)化為飛輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。

解：恒力做功： ? ? ? ? ? （8）

根據(jù)能量守恒定律： ? ? ? ? ?（9）

代入數(shù)據(jù)，即可知當(dāng)繩子下拉 ? 時(shí)，飛輪獲得的動(dòng)能為 ?。

至此，我們從兩個(gè)不同的角度對(duì)問(wèn)題（1）進(jìn)行了分析，從解題過(guò)程來(lái)看，方法二更便捷。那么，這個(gè)看似不同的分析問(wèn)題的方法之間有沒(méi)有內(nèi)在關(guān)系呢？

我們看到（5）式，等式右邊 ? ，其物理意義其實(shí)就是力矩的功。

當(dāng)力矩 為恒力矩時(shí)， ? ? ? ?（10）

而該題中，飛輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受的和力矩即為恒力 對(duì)飛輪轉(zhuǎn)軸的力矩，是恒力矩。再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，力矩做功對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，即：

（11）

由于該題中，飛輪是由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，故初始時(shí)刻飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為零，故整理可得到（5）式。

由問(wèn)題（1）中得到的結(jié)論：飛輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)獲得的動(dòng)能等于作用在飛輪上繩的拉力所做的功。問(wèn)題（2）中，當(dāng)將重量 ? 的重物掛在繩端時(shí)，飛輪受到的繩的拉力還是98N ? ? ?嗎？肯定不是！那如何求解呢？

解：先受力分析： 對(duì)于重物：重力P，方向豎直向下;繩的張力T ：方向沿繩向上。對(duì)于飛輪：繩的張力T '，方向沿繩向下，與T互為作用力與反作用力。

列方程： ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

（13）

（14）

聯(lián)立求解得： ? ? ? ? ? ?（15）

將該式代入（14）式，得繩的拉力：

因此，飛輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能： ? ? ? ? ，代入數(shù)據(jù)得： ? ? 。

該過(guò)程中，重力對(duì)物體所做的功： ? ?，代入數(shù)據(jù)得： ? ?。很顯然，在問(wèn)題（2）中，飛輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能和重力對(duì)物體所做功是不相等的。為什么不相等呢？

在問(wèn)題（2）中，重物與飛輪構(gòu)成了一個(gè)物體系統(tǒng)，當(dāng)重物下落的過(guò)程中，飛輪在做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，獲得轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，同時(shí)重物自身也獲得了動(dòng)能。也就是說(shuō)，在這個(gè)過(guò)程中重物所做的功會(huì)使得其自身的重力勢(shì)能減少，同時(shí)使得重物獲得動(dòng)能，飛輪獲得轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，且重物獲得的動(dòng)能與飛輪獲得的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和應(yīng)該剛好等于重力對(duì)物體所做的功。

通過(guò)這個(gè)例題的分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)看似相同的條件，實(shí)際所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)效果是不一樣的，從而得到的結(jié)論也不相同。因此，我們?cè)诜治鰡?wèn)題的時(shí)候，一定要從條件出發(fā)，分析物體的運(yùn)動(dòng)形式，根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)形式選擇適合的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程求解。另外，看似不一樣的解題思路和角度，其實(shí)它們背后是有著深層次的聯(lián)系，這也體現(xiàn)了物理學(xué)中的自洽性。最后，力做功一定會(huì)跟能量有聯(lián)系。譬如保守力做功，會(huì)使得勢(shì)能發(fā)生改變;作用在質(zhì)點(diǎn)的合外力做功，會(huì)使得質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能發(fā)生變化。當(dāng)直接計(jì)算力做功時(shí)，我們可以考慮從能量的角度找切入點(diǎn)?？傊?，分析問(wèn)題的角度和方法是多種多樣的，我們可以嘗試采用不同的原理進(jìn)行分析，但最終答案都會(huì)是自洽的。

參考文獻(xiàn)：

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