高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧

陳富貴

【摘 要】 現(xiàn)如今，許多高中數(shù)學(xué)教師受教育體制改革的影響，在課堂教學(xué)的過程中不僅尊重學(xué)生的主體地位，根據(jù)學(xué)生的實際情況和個體差異性傳授有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，還將自身的教學(xué)方法進行改變和創(chuàng)新。尤其是在講授數(shù)列試題時，教師運用有效的教學(xué)方式和解題技巧，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，使其更好地進行相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在為學(xué)生營造良好學(xué)習(xí)氛圍的同時，還能夠提高課堂的教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。因此，本文根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，對其中數(shù)列教學(xué)的解題方法與技巧進行深入的研究和分析。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué) ?數(shù)列試題 ?解題方法與技巧

引言：

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于高中階段的學(xué)生來講是十分重要的，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅能夠為學(xué)生日后的高考打下良好的基礎(chǔ)，還能夠促進學(xué)生物化生的學(xué)習(xí)，從而有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。數(shù)列在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位，有效的數(shù)列教學(xué)方式和解題技巧，在提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的同時，還能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到有效的提升，使其更好地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。本文根據(jù)高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)列的知識，介紹了與數(shù)列有關(guān)的重點知識和解題技巧，以供教師參考。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列的基本含義

通過教師以往的教學(xué)經(jīng)驗和教材的有關(guān)內(nèi)容可知，所謂的數(shù)列以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。其中在數(shù)列中每一個數(shù)被稱為數(shù)列的項，排在第一位的是第1項，排在第二位的是第2項，排在第n位的則是第n項，用an表示。根據(jù)數(shù)列的含義將其分為三類，它們分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列。雖然數(shù)列是比較綜合的知識點，具有重要性，且數(shù)列知識體系中的每一個知識點都具有密切的關(guān)系，在眾多習(xí)題中考核到的內(nèi)容包括等差數(shù)列、等比數(shù)列以及等和數(shù)列的相關(guān)知識點，并且都是學(xué)生所要學(xué)習(xí)和掌握的重點知識。因此，數(shù)列學(xué)習(xí)的好壞，對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要的意義。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧

（一）根據(jù)數(shù)列本身的定義進行解題

教師在高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，一些基礎(chǔ)的數(shù)列習(xí)題可以直接利用數(shù)列本身的定義進行解題，在解題時直接將通項公式帶入，經(jīng)過運算得出結(jié)果。學(xué)生在解決這些問題時，由于解題方式較為簡單，所以不用采取較多的解題技巧，主要考查的是學(xué)生對于數(shù)列定義的掌握。例如，各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項b1=3，b1+b2+b3=21。提問：b3+b4+b5=？這一試題中，首先學(xué)生要知道是對正向數(shù)列定義和等比數(shù)列的通項公式、求和公式的考查。檢查學(xué)生對于數(shù)列基礎(chǔ)定義的掌握。其次，需要我們掌握通項公式與求和公式的應(yīng)用。公比求和q不等于1，結(jié)合學(xué)過的等比數(shù)列前項和公式進行公比方程列舉，即：3（1-q3）/（1-q）=21。針對其方程式，首先選擇運算形式;其次，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中能夠把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程計算。

（二）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)進行解題

教師根據(jù)以往的高考試題和學(xué)生平時練習(xí)的試卷不難發(fā)現(xiàn)，大部分的數(shù)列試題要求學(xué)生能夠使用變化的方法來掌握數(shù)列性質(zhì)，繼而掌握數(shù)列知識內(nèi)容。例如，已知等差數(shù)列{an}中，存在a3+a7=37，求a2+a4+a6+a8=？在學(xué)習(xí)等差和等比數(shù)列的時候，學(xué)生就清楚地知道數(shù)列含有這樣一個性質(zhì)，如果m+n=p+q，那么就可得出am+an=ap+aq（am·an=ap·aq）。根據(jù)題意就能夠得出3+4=2+5=1+6，由此便可將其應(yīng)用到題目中，這樣就可得出a2+a4+a6+a8=2（a3+a7）=2×37=74。這一類題目，主要考查學(xué)生對數(shù)列問題的綜合理解與掌握。但是在教學(xué)活動開展的過程中，教師應(yīng)重視對知識的推理，加深學(xué)生對性質(zhì)的了解和掌握。

（三）根據(jù)數(shù)列的通用公式進行解題

1. 分組求和法

在數(shù)列解題的過程中，有時會出現(xiàn)一些特殊的數(shù)列，并且數(shù)列與數(shù)列之間還存在著一定的聯(lián)系。遇到這種數(shù)列時，僅靠數(shù)列的本身公式和性質(zhì)是無法解決的，這時就需要運用一種較為常用的解題方式為分組求和法，在解題時進行合理的分拆，并且進行求和，最終實現(xiàn)合并，達到解題效果。

2. 合并求和法

并不是所有特殊的數(shù)列都可以利用分組求和的方法得出答案，學(xué)生在解決數(shù)列問題時，要根據(jù)其特點選用合理的解題方法。例如，學(xué)生在解決“cos1°+cos2°+cos3°+……+cos178°+cos179°值，或是數(shù)列{an}：a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an+1-an，求S2002。”時，就可以運用合并求和法，在解題中可以充分地對數(shù)列的特殊性進行挖掘，找出其中的組合項，首先將特殊項進行結(jié)合，進而整體求和，最后實現(xiàn)化難為易。

3. 錯位相減法

學(xué)生在遇到等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和的求和時，可以運用錯位相減法進行解題。例如，已知{Xn}為等差數(shù)列，前n項和為Sn，{yn}為等比數(shù)列，x1=y2=2，x4+y4=27，s4-y4=10。問題1：求出{xn}和{yn}的通項公式。問題2：Tn=xny1+xn-1y2+……+x1yn，n∈N證明Tn+12=-2xn+10yn，n∈N。問題1解答：xn=3n-1，yn=2n。問題2，Tn=2xn+22xn=+23xn-2+……+2nx1，2Tn=22xn+23xn+……+2nx2+2n+1x1。通過計算得出：Tn=2（3n-1）+3×22+3×23+……+3×2n+2n+1=12（1-2n+1）/（1-2n+2n+2-6n+2）=10×2n-6n-10-2an+10bn-12=-2（3n-1）+10×2n=10×2n-6n-10。因此，Tn+12=-2xn+10yn，n∈N。通過錯位相減法多應(yīng)用在an=bn-cn，也就是等差數(shù)列、等比數(shù)列中。在數(shù)列求和計算中，其解題技巧在于：列出等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n的和，即Sn。隨后，把Sn兩端同時乘等比數(shù)列的公比q，得出qSn。最后，錯一位，把兩端公式進行相減。

三、結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教師要想有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使其更好地掌握數(shù)列相關(guān)的知識，就要對傳統(tǒng)的教學(xué)模式進行改變，根據(jù)教材中的內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況制定合理的教學(xué)計劃，為學(xué)生傳授有效的解題技巧，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其積極地參與到數(shù)列學(xué)習(xí)中。不僅能夠為學(xué)生營造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，還能夠提高課堂的教學(xué)質(zhì)量和效率，從而為學(xué)生日后解決此類數(shù)列難題提供切實的保障，為學(xué)生全方面地掌握數(shù)學(xué)知識奠定良好的基礎(chǔ)。

參考文獻

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