小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知的研究、模擬及其教學(xué)啟示

陳芳

摘 要：在素質(zhì)教育理念下，問題解決能力是小學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要受到廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視?；诖耍恼聫男W(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知的相關(guān)理論入手，以“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題為例，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知進(jìn)行模擬，并將福建省福清市融西小學(xué)的六名學(xué)生作為研究對(duì)象，將六名學(xué)生的實(shí)踐解題認(rèn)知過程與模擬過程進(jìn)行對(duì)比，得出相應(yīng)的教學(xué)啟示，以期為小學(xué)數(shù)學(xué)教師開展課堂教學(xué)提供幫助。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);“異分母分?jǐn)?shù)相加”;產(chǎn)生式

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-02-25 文章編號(hào)：1674-120X（2019）22-0065-02

認(rèn)知研究是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)問題，也是教育領(lǐng)域關(guān)注的重點(diǎn)。新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容需要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教師加深對(duì)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知流程的認(rèn)識(shí)，可以更為深入地了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從而能針對(duì)性地開展課堂教學(xué)，并且能選擇合理的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法，提升小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性。因此，教師對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知的研究是很有必要的。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知的研究綜述

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要確保教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。因此，在開展小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，教師需要注重對(duì)學(xué)生問題解決認(rèn)知能力的培養(yǎng)。在認(rèn)知研究領(lǐng)域，很多研究學(xué)者都通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行問題解決認(rèn)知過程的模擬，以此體現(xiàn)人類的問題解決認(rèn)知過程。目前常用的認(rèn)知模擬工具為卡耐基梅隆大學(xué)的心理學(xué)家安德森研發(fā)的ACT-R6.0，安德森的團(tuán)隊(duì)將海量人類心理學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)，通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行人類認(rèn)知行為的模擬。在此基礎(chǔ)上，安德森團(tuán)隊(duì)將ACT-R工具應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知領(lǐng)域，通過ACT-R工具對(duì)方程式“7x+3=38”的解題認(rèn)知過程進(jìn)行模擬，為小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知分析提供了豐富的理論基礎(chǔ)。

雖然學(xué)術(shù)界關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)問題認(rèn)知的研究較為豐富，但是仍舊存在如下不足，需要進(jìn)一步研究。第一，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題認(rèn)知模擬的過程中，是從機(jī)器的角度進(jìn)行分析，并沒有考慮小學(xué)生的實(shí)際思維發(fā)展，應(yīng)用的解題方法也可能超過小學(xué)生所掌握的知識(shí)內(nèi)容，難以給小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供指導(dǎo);第二，學(xué)術(shù)界關(guān)于認(rèn)知領(lǐng)域的研究，大都從宏觀角度入手，與小學(xué)數(shù)學(xué)的交叉不夠深入，難以為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供指導(dǎo)[1]。由此可以看出，在進(jìn)行問題解決認(rèn)知領(lǐng)域的研究時(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要以前人的理論作為基礎(chǔ)，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)內(nèi)容和小學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，有針對(duì)性地進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程的模擬，為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供有價(jià)值的參考。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知在“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題中的模擬

為了實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知的有效模擬，為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供指導(dǎo)，提升小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，本文以小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”這一課程中的“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題為例。

（一）“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題分析

“異分母分?jǐn)?shù)相加”是小學(xué)數(shù)學(xué)中代表性的程序性知識(shí)，可以將“異分母分?jǐn)?shù)相加”作為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程的模擬。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的安排，在進(jìn)行“異分母分?jǐn)?shù)相加”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)完成自然數(shù)倍數(shù)特征以及最小公倍數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。在1～100的所有自然數(shù)中，學(xué)生可以迅速找出10以內(nèi)自然數(shù)的全部倍數(shù)以及10以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，本文將“異分母分?jǐn)?shù)相加”知識(shí)點(diǎn)作為基礎(chǔ)，進(jìn)行了如下數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)。在一張長(zhǎng)方形紙張中進(jìn)行繪圖，需要將紙張的部分涂為紅色;將紙張的部分涂為黃色，兩種顏色不可以重疊。也就是說，涂紅色的地方不可以再涂黃色。要求學(xué)生計(jì)算紅色和黃色一共占據(jù)整個(gè)紙張的多少。以該數(shù)學(xué)問題作為研究對(duì)象，進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知流程的模擬。

（二）“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題解決認(rèn)知模擬

在對(duì)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知分析的過程中，需要明確數(shù)學(xué)問題的解決認(rèn)知流程。通常來說，數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知流程包括視覺模塊、產(chǎn)生式模塊、提取模塊、目標(biāo)模塊、問題狀態(tài)模塊以及輸出模塊這六個(gè)部分。對(duì)于上文中設(shè)計(jì)的問題來說，其解決認(rèn)知流程如下：①在學(xué)生觀察上述問題之后，會(huì)對(duì)題干及題意進(jìn)行分析，結(jié)合自身掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，將解題關(guān)鍵明確定為“異分母分?jǐn)?shù)相加”這一知識(shí)點(diǎn)，并將題干內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)語言，從而明確該數(shù)學(xué)問題的考查知識(shí)點(diǎn)，即問題的解決在于求“+=？”上述過程為應(yīng)用問題和計(jì)算問題的有效轉(zhuǎn)變;②在明確計(jì)算問題后，學(xué)生會(huì)形成相應(yīng)的產(chǎn)生式，即異分母分?jǐn)?shù)相加所用到的知識(shí)點(diǎn)為最小公倍數(shù)的計(jì)算，將計(jì)算問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟆?和5的最小公倍數(shù)”;③根據(jù)以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，計(jì)算出3和5的最小公倍數(shù)為15;④求出最小公倍數(shù)后，對(duì)計(jì)算問題中的數(shù)值進(jìn)行通分處理，將變?yōu)椤⒆優(yōu)?⑤按照以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，將和進(jìn)行相加，得出最終的結(jié)果。

在上述認(rèn)知過程中，觀察題干屬于視覺模塊，學(xué)生通過視覺觀察并理解題干內(nèi)容;應(yīng)用問題和計(jì)算問題的轉(zhuǎn)變屬于問題狀態(tài)模塊;“+=？”問題的明確屬于目標(biāo)模塊;異分母分?jǐn)?shù)相加轉(zhuǎn)變求最小公倍數(shù)、3和5的最小公倍數(shù)為15以及通分處理屬于產(chǎn)生式模塊;數(shù)據(jù)計(jì)算過程屬于提取模塊;獲得數(shù)據(jù)結(jié)果屬于輸出模塊[2]。通過結(jié)合不同認(rèn)知模塊，學(xué)生能夠準(zhǔn)確解答數(shù)學(xué)題目。

（三）“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題模擬和實(shí)踐的對(duì)比

為了明確數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程模擬和實(shí)踐過程的差異，筆者在福建省福清市融西小學(xué)五年級(jí)選擇六名同學(xué)作為實(shí)踐對(duì)象，在優(yōu)等、中等和差等中分別選擇排名相差兩位的學(xué)生，男生女生各三名。在開展“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題認(rèn)知實(shí)踐之前，筆者向六名學(xué)生提出了如下問題：“五年級(jí)學(xué)生開展了跳繩測(cè)驗(yàn)，某一小組的七名同學(xué)的一分鐘跳繩成績(jī)?nèi)缦拢?70、138、145、132、136、138、140，你認(rèn)為上述七個(gè)數(shù)字中，哪個(gè)更能體現(xiàn)出該小組的平均水平?！?/p>

在“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題認(rèn)知實(shí)踐過程中，筆者要求學(xué)生大聲讀題，并將自己解題的想法大聲說出來，并以“跳繩”問題為例，為學(xué)生進(jìn)行示范，使學(xué)生能夠出聲思考;然后，將學(xué)生的解題過程記錄下來，并將其整合為口語報(bào)告，明確每名學(xué)生的解題認(rèn)知過程。觀察口語報(bào)告可知，A、B、C、D、F五名學(xué)生在解決“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題時(shí)，均應(yīng)用通分處理、求最小公倍數(shù)以及同分母相加的內(nèi)容。但是在求最小公倍數(shù)這一過程，A同學(xué)指出，3和5互為質(zhì)數(shù)，兩者的最小公倍數(shù)為3×5=15;B和C同學(xué)直接指出：3和5的最小公倍數(shù)為15;F同學(xué)在解題過程中應(yīng)用的產(chǎn)生式錯(cuò)誤，使解題出現(xiàn)錯(cuò)誤[3]。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知的教學(xué)啟示

通過上述“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題的解決認(rèn)知模擬及實(shí)踐對(duì)比可知，學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程和模擬過程相差無幾，但是也存在出現(xiàn)錯(cuò)誤產(chǎn)生式的狀況。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師需要注意以下幾點(diǎn)：

第一，注重教學(xué)的差異化，根據(jù)口語報(bào)告的內(nèi)容，A、B、C三名學(xué)生在最小公倍數(shù)的求法方面存在差異。A同學(xué)指出，3和5是互質(zhì)數(shù)，兩者的最小公倍數(shù)為3×5=15，這是因?yàn)锳同學(xué)激活了長(zhǎng)時(shí)陳述性記憶中的“互質(zhì)數(shù)”概念，利用互質(zhì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行最小公倍數(shù)的計(jì)算，再激活相應(yīng)的最小公倍數(shù)的計(jì)算方法，即兩者相乘。而B和C兩名學(xué)生直接得出“最小公倍數(shù)是3×5=15”的結(jié)果，是因?yàn)樗麄冎苯蛹せ盍碎L(zhǎng)時(shí)程序性記憶。由此可以看出，不同學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用的解題方法和思路有所差異，所以數(shù)學(xué)教師需要充分認(rèn)識(shí)學(xué)生的不同認(rèn)知能力，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度解答數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

第二，簡(jiǎn)化內(nèi)部認(rèn)知流程，在上述A、B、C三名學(xué)生的對(duì)比中，A學(xué)生由于考慮了“互質(zhì)數(shù)”的概念，所以其認(rèn)知過程花費(fèi)的時(shí)間要多于B和C兩名學(xué)生。由此可以看出，在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程中，其內(nèi)部認(rèn)知流程可以簡(jiǎn)化。通過長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)問題認(rèn)知訓(xùn)練，可以將學(xué)生的內(nèi)部認(rèn)知操作融合為一個(gè)內(nèi)容，以此形成“組塊”，這有助于學(xué)生數(shù)學(xué)問題解答效率的提升。以如下產(chǎn)生式規(guī)則為例，P1：A→B、P2：B→C;P1和P2時(shí)常同時(shí)激活，所以兩者可以進(jìn)行融合，形成全新的產(chǎn)生式規(guī)則：P3：A→C。上述內(nèi)容被數(shù)學(xué)家安德森稱作“自動(dòng)化”（Speed Up）現(xiàn)象，一般來說，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生在“自動(dòng)化”知識(shí)方面的掌握程度，要優(yōu)于數(shù)學(xué)成績(jī)較差的學(xué)生。因此，在開展小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，教師需要注重學(xué)生內(nèi)部認(rèn)知流程的簡(jiǎn)化，加深學(xué)生對(duì)“自動(dòng)化”知識(shí)的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及解題效率。

第三，注重正確產(chǎn)生式的認(rèn)識(shí)。在上述“異分母分?jǐn)?shù)相加”問題實(shí)踐中，F(xiàn)學(xué)生由于錯(cuò)誤產(chǎn)生式的形成，得出了的答案，沒有正確解答問題。根據(jù)筆者的分析，F(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生式形成的原因在于F學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)存在偏差，在長(zhǎng)時(shí)陳述性記憶中對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知不正確;或者F學(xué)生對(duì)通分的認(rèn)識(shí)存在偏差，不明確通分的含義及方法，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生形成正確的產(chǎn)生式。具體而言，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師需要明確學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生式形成的過程，并對(duì)學(xué)生的產(chǎn)生式形成過程進(jìn)行干預(yù)，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的產(chǎn)生式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力。以F學(xué)生為例，其口語報(bào)告中顯示，F(xiàn)學(xué)生可以正確認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的分子和分母，其錯(cuò)誤出現(xiàn)的關(guān)鍵在于，將“異分母分?jǐn)?shù)相加”認(rèn)為是“分子相加為新分子、分母相加為新分母”，教師需要引導(dǎo)學(xué)生采用正確的流程進(jìn)行“異分母分?jǐn)?shù)相加”的計(jì)算[4]。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)解題認(rèn)知流程較為復(fù)雜，不同學(xué)生的解題認(rèn)知流程存在差異，教師需要在教學(xué)中注重學(xué)生的差異化特征。計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模擬的內(nèi)容和實(shí)踐基本相同，數(shù)學(xué)教師可以借鑒模擬數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知流程，進(jìn)行教學(xué)方案的設(shè)計(jì)，并注重學(xué)生的差異化，引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化認(rèn)知操作，逐步形成正確的產(chǎn)生式，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

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