隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)解的存在唯一性

馬海云,呂 文

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺(tái) 264005)

微分方程作為描述物體的隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型已被廣泛應(yīng)用于化學(xué)、物理、生物工程和金融等多個(gè)領(lǐng)域. 例如, 通過(guò)建立標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程, 以此為特征來(lái)描述隨機(jī)環(huán)境波動(dòng)的影響. 基于動(dòng)態(tài)建模的發(fā)展, 并將環(huán)境波動(dòng)方面納入微分方程所描述的數(shù)學(xué)模型中, 將經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模方法與隨機(jī)模型相結(jié)合, 已被用于股票價(jià)格的隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型. 而且隨著科學(xué)的發(fā)展, 我們對(duì)隨機(jī)分?jǐn)?shù)階微分方程有了越來(lái)越深的認(rèn)識(shí). 分?jǐn)?shù)階微分方程非常適合于刻畫(huà)具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過(guò)程, 在電極電介質(zhì)極化[1]、 電路[2]、電磁波[3]等領(lǐng)域中有很重要的應(yīng)用. 在此背景下, 文獻(xiàn)[4]通過(guò)引入在線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)間尺度下運(yùn)行的動(dòng)態(tài)過(guò)程的概念, 用隨機(jī)微分方程組描述了動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型, 研究了形如

dx=f(t,x)dt+g1(x,t)dB(t)+

(1)

的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性問(wèn)題, 并提出了求解多時(shí)間尺度下線(xiàn)性和非線(xiàn)性標(biāo)量隨機(jī)微分方程的閉式解的方法, 最后將結(jié)果應(yīng)用于多時(shí)間尺度下種群生態(tài)和流行病過(guò)程的研究.

另一方面由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程被廣泛用于描述具有隨機(jī)擾動(dòng)的系統(tǒng). 但在對(duì)工程的實(shí)際應(yīng)用中, 存在著某些局限性. 例如, 在具有功率噪聲濾波器的電路系統(tǒng)中, 用靜止過(guò)程來(lái)描述隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)其他電元素的最終影響比用白噪聲來(lái)描述更加合理. 在此背景下, 文獻(xiàn)[5]研究了形如

dx=f(x,t)dt+g(x,t)ξ(t)dt,x(t0)=x0(2)

的隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng), 其中ξ(t)是一個(gè)二階矩過(guò)程. 在系數(shù)分別滿(mǎn)足Lipschitz條件和局部Lipschitz條件下給出了系統(tǒng)解的存在唯一性定理, 同時(shí)給出了噪聲到狀態(tài)p階矩穩(wěn)定性和噪聲到狀態(tài)依概率穩(wěn)定性的概念, 并研究了系統(tǒng)的漸進(jìn)增益特性. 此外, 文獻(xiàn)[6]研究了形如

dx(t)=fσ(x(t),t)dt+

gσ(x(t),t)ξ(t)dt,x(t0)=x0

(3)

的隨機(jī)切換系統(tǒng), 給出了噪聲到狀態(tài)的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[7]則利用Lynapunov函數(shù)給出了隨機(jī)切換系統(tǒng)全局解的存在性和噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性的判據(jù).

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā), 本文研究形如

dx=f(x,t)dt+g1(x,t)ξ(t)dt+

g2(x,t)(dt)α,x(t0)=x0

(4)

的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng), 在Lipschitz條件和線(xiàn)性增長(zhǎng)條件下, 給出了系統(tǒng)解的存在唯一性定理.

本文第1節(jié)中引入隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)的若干基本概念. 第2節(jié)中, 將在對(duì)過(guò)程ξ(t)的兩類(lèi)假設(shè)下分別給出二階矩過(guò)程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)解的存在唯一性定理.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

首先給出分?jǐn)?shù)階積、微分運(yùn)算的一些基本概念, 詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)文獻(xiàn)[8-9].

定義1(Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分) 設(shè)0<α<1 且f∈L1[a,b], 其中L1[a,b]=L1[[a,b],n]={y|y:[a,b]→n且y是勒貝格可積的}.則對(duì)所有t∈(a,b), Riemann-Liouville 左、右α階分?jǐn)?shù)階積分分別定義為

定義2(Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)) 設(shè)0<α<1,f是定義在區(qū)間[a,b] 上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù), 則對(duì)所有t∈(a,b), Riemann-Liouville 左、右α階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別定義為

定義3(多時(shí)間尺度積分) 對(duì)于p∈,p>1, 設(shè){T1,T2,…,Tp}是一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的時(shí)間尺度. 設(shè)f:[a,b)×p-1→n是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 定義f(t) 為f(t)=f(T1(t),T2(t),…,Tp(t)),復(fù)合函數(shù)f在區(qū)間 [t0,t]?(a,b) 上的多時(shí)間尺度積分定義為p積分與時(shí)間尺度T1,T2,…,Tp的總和, 用If表示, 即

定義4(多時(shí)間尺度微分) 設(shè)f是多時(shí)間尺度積分中定義的函數(shù), 復(fù)合函數(shù)f的多時(shí)間尺度微分定義為f相對(duì)于時(shí)間尺度T1(t),T2(t),…,Tp(t)的偏微分的和, 用df表示, 即

其中(djf)(t)=f(T1(t),…,Tj-1(t),Tj(t+Δt),Tj+1(t),…,Tp(t))-f(T1(t),…,Tj-1(t),Tj(t),Tj+1(t),…,Tp(t)),j=1,2,…,p.對(duì)于小的Δt, Δt≈dt, 且(djf)(t)對(duì)應(yīng)于定義3中積分中的(Ijf)(t).

引理1[10]設(shè)f(t) 是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 則分?jǐn)?shù)階微分方程:

dx=f(t)(dt)α,t≥0,x(0)=x0,0<α≤1

的解為

給定一個(gè)完備的概率空間(Ω,F,Ft,P), 信息族Ft滿(mǎn)足通常條件, 即, 它是遞增和右連續(xù)的, 并且F0包含所有P-零集.對(duì)任意給定的T>t0≥0, 考慮由以下方程描述的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)

dx=f(x,t)dt+g1(x,t)ξ(t)dt+

g2(x,t)(dt)α,x(t0)=x0,

(5)

(A1): |f(x,t)-f(y,t)|+|g1(x,t)-g1(y,t)|+|g2(x,t)-g2(y,t)|≤ L|x-y|.

(A2): |f(x,t)|2+|g1(x,t)|2+|g2(x,t)|2≤ K(1+|x|2).

由引理1知, 方程(5)可以寫(xiě)成以下等價(jià)形式

(6)

定義5 稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程x(t) 是系統(tǒng)(6)的一個(gè)解, 如果x(t) 滿(mǎn)足:

(1)對(duì)所有的t∈ [t0,T], x(t) 是連續(xù)的;

(2)x(t) 為 Ft-適應(yīng)的;

(3)對(duì)所有 t∈[t0,T], 方程(6)成立.

2 解的存在唯一性

在本節(jié)中, 將在對(duì)過(guò)程ξ(t)的兩類(lèi)假設(shè)下分別給出系統(tǒng)(6)的解的存在唯一性. 首先給出以下假設(shè).

(A3): 過(guò)程ξ(t) 是Ft-適應(yīng)且分段連續(xù)的, 存在參數(shù)c0,d0>0, 使得對(duì)?t≥ t0, 有

E|ξ(t)|2≤d0ec0t.

定理1 若假設(shè)(A1)、(A2)和(A3)成立, 則系統(tǒng)(6)在[t0,T] 上存在唯一解x(t).

證明存在性.設(shè)x(0)(t)=x0, 令

由初等不等式(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)和施瓦茲不等式得

E|x(1)(t)-x(0)(t)|2=

(7)

進(jìn)一步地, 令

由施瓦茲不等式及(A1), 得

E|x(k+1)(t)-x(k)(t)|2≤

g2(x(k-1)(s),s))(t-s)α-1ds|2≤

f(x(k-1)(s),s)|2ds+

g1(x(k-1)(s),s)|2ds+

g2(x(k-1)(s),s)|2ds≤

(8)

由式(7)得

E|x(2)(t)-x(1)(t)|2≤

由歸納法, 得

E|x(k+1)(t)-x(k)(t)|2≤

由式(8)的證明, 不難看出

從而

即{x(k)(t)} 在[t0,T]上是均方收斂序列.另一方面

由Borel-Cantelli引理和切比雪夫不等式得, 存在x(t), 使得

從而有

存在性得證.

由施瓦茲不等式, 得

令u(t)=E|xt-yt|2, 則由上面不等式得函數(shù)u滿(mǎn)足

其中,

u(0)=E|x0-y0|2,

由Gronwall不等式, 得

u(t)≤u0eht.

若x0=y0, 則u0=0 且對(duì)于所有t≥t0, 有u(t)=0. 從而P{|xt-yt|=0,t∈Q∩[t0,T]}=1.

由xt,yt的連續(xù)性得

P{|xt-yt|=0,t∈ [t0,T]}=1.

證畢.

接下來(lái), 考慮當(dāng)ξ(t)滿(mǎn)足一個(gè)比(A3)更一般的條件時(shí)系統(tǒng)(6)解的存在唯一性.

(A3′): 過(guò)程ξ(t) 是Ft-適應(yīng)且分段連續(xù)的, 滿(mǎn)足

定理2 若假設(shè)(A1)、(A2)和(A3′)成立,則系統(tǒng)(6)在[t0,T] 上有唯一解x(t).

證明存在性. 設(shè)x(0)(t)=x0, 對(duì)k≥0, 令

由(A2)知, 存在一個(gè)常數(shù)d>0, 使得|f(0,t)|+|g1(0,t)|+|g2(0,t)|

|x(1)(t)-x0|=

|x(k+1)(t)-x(k)(t)|≤

由于x(t) 在t∈[t0,T] 上是連續(xù)的,ξ(t) 是 Ft-適應(yīng)的, 則 x(0)(t) 和x(1)(t) 是Ft-適應(yīng)的.由遞歸過(guò)程知x(k)(t) 是Ft-適應(yīng)的, 因此x(t)也是Ft-適應(yīng)的. 存在性得證.

這里ε是任意正數(shù).由Gronwall不等式, 得

證畢.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮了由二階矩過(guò)程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng), 在Lipschitz條件和線(xiàn)性增長(zhǎng)條件下, 證明了二階矩過(guò)程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)解的存在唯一性問(wèn)題. 在接下來(lái)的研究中, 將考慮由二階矩過(guò)程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)解的穩(wěn)定性問(wèn)題.