高溫作業(yè)的熱傳導(dǎo)與有限差分求解

楊云霞

山西工程技術(shù)學(xué)院， 山西 陽泉 045000

1 高溫作業(yè)專業(yè)服裝設(shè)計(jì)問題

高溫作用專用服裝一般由三層織物材料構(gòu)成，分別記為第I、II、III層，第I層與外界環(huán)境接觸，第III層與皮膚之間有一定空隙，該空隙記為IV層.為了設(shè)計(jì)高溫作用專用服裝，現(xiàn)將37 ℃(保持不變)的假人放置在高溫實(shí)驗(yàn)室中，測(cè)量假人皮膚外側(cè)的溫度.下面我們利用數(shù)學(xué)模型[1，2]來確定假人皮膚外側(cè)的溫度變化情況，并解決下面兩個(gè)問題：

(1)給出專用服裝材料的一些參數(shù)值(表1)，設(shè)環(huán)境溫度為75 ℃、第II層和第IV層厚度分別為6 mm和5 mm，工作時(shí)間為90 min.通過實(shí)驗(yàn)，測(cè)量得到了假人皮膚外側(cè)的溫度.建立數(shù)學(xué)模型[3，4]，計(jì)算溫度分布.

表1 專用服裝材料的參數(shù)值Tab.1 The parameter value of special clothing material

(2)設(shè)環(huán)境溫度為65 ℃，第IV層的厚度為5.5 mm，確定第II層的最優(yōu)厚度，同時(shí)要保證工作60 min時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不能超過47 ℃，且超過44 ℃的時(shí)間不超過5 min.

2 問題分析

將高溫作用專業(yè)服裝設(shè)計(jì)問題化簡(jiǎn)為圖1.設(shè)織物材料I層、II層、III層、IV層的厚度分別為L(zhǎng)i(i=I、II、III、IV)，則上述兩個(gè)問題可簡(jiǎn)化成下面的數(shù)學(xué)問題[5]：

(1)已知T(x<0,t)=75 ℃，LII=6 mm和LIV=5.5 mm；根據(jù)假人皮膚外側(cè)的溫度可知T(x=x4,t),其中，0 min

(2)已知T(x<0,t)=65 ℃，LIV=5.5 mm.求T(x4,t<60 min)≤47 ℃ 且T(x4,t<55 min)≤44 ℃的L2最小值.

圖1 一維平面內(nèi)熱傳導(dǎo)示意圖，其中 dummy(假人)層表示假人皮膚到體內(nèi)的厚度
Fig.1 Heat conduction in a one-dimensional plane,The dummy layer is the thickness of the dummy skin to the body

3 模型建立

3.1 一維熱傳導(dǎo)問題與有限差分求解

高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計(jì)的問題實(shí)質(zhì)為一維的熱傳導(dǎo)問題，一維無熱源熱傳導(dǎo)方程[6]是

(1)

其中，t表示時(shí)間，ρ表示密度，cp為比熱，k為熱傳導(dǎo)率，x表示一維空間坐標(biāo).在一維空間中，密度、比熱和熱傳導(dǎo)率在時(shí)間上都是常數(shù)，則(1)式可化簡(jiǎn)為

(2)

α稱為熱擴(kuò)散系數(shù).

為了解決空間溫度隨時(shí)間的變化T(x,t)，我們用有限差分法求解T(x,t).因此我們先對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行離散化，再求解離散點(diǎn)上的溫度，下圖2為離散后的節(jié)點(diǎn)示意圖.

(3)

圖2 有限差分的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)示意圖
Fig.2 Schematic diagram of finite difference space and time nodes

(4)

則(1)式可化為

(5)

由(5)式可得n時(shí)間步和n+1時(shí)間步溫度場(chǎng)的關(guān)系.由此關(guān)系，如果知道n時(shí)間步的溫度場(chǎng)，則可求得n+1時(shí)間步的溫度場(chǎng).

3.2 熱阻

熱阻[7]是指在有溫度差的情形下，物體抵抗傳熱的能力.導(dǎo)熱率越好的物體，熱阻通常會(huì)比較低.熱阻可定義為

(6)

其中,q表示熱流，R表示熱阻.熱傳導(dǎo)率與熱阻的關(guān)系可表示為

(7)

I、 II、III、IV四層總熱阻為

(8)

流過任意截面的熱流相等，因此可求得

(9)

4 問題的求解

4.1 問題1的求解

首先根據(jù)表1的數(shù)據(jù)定義相關(guān)參數(shù).

rho=[300,862,74.2,1.18];% [kg/m3] 密度cp=[1377,2100,1726,1005];% [J/kg/K] 比 熱k=[0.082, 0.370, 0.045, 0.028];%[W/m/K] 熱傳導(dǎo)率L=[0.6,6.0,3.6,5.0];%[mm]厚度xL=cumsum(L)[x1, x2, x3, x4]%[mm]材料層接面位置,即圖1中的 [x1, x2, x3, x4]mm2m =1e-3;% 將 mm 轉(zhuǎn)為 m 的系數(shù)

再定義有限差分的空間和時(shí)間的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)信息.

dx=0.3;%[mm]空間網(wǎng)格尺寸xmax = sum(L);%[mm]模擬區(qū)域尺寸x=0:dx:xmax;% [mm]網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)nx=length(x);% 節(jié)點(diǎn)數(shù)目ind=round(cumsum(L)/dx);% 不同材料層間的交接點(diǎn)序號(hào)dt=4e-4;%[s]時(shí)間步長(zhǎng)tmax = 90?60;%[s]最大仿真時(shí)間t=0:dt:tmax;%[s]時(shí)間節(jié)點(diǎn)nt=length(t);%時(shí)間節(jié)點(diǎn)數(shù)

cfl=dt/(dx?mm2m)2./rho./cp; % 注意這里 dx?mm2m 是dx轉(zhuǎn)為以 m 為單位的長(zhǎng)度[～,～,id]=histcounts(x,cumsum([0,L]));% 找出每個(gè)節(jié)點(diǎn)所屬的層kx=k(id);%[m2/s]每個(gè)節(jié)點(diǎn)所屬層的熱傳導(dǎo)率cflx=cfl(id);%每個(gè)節(jié)點(diǎn)所屬層的 cfl

利用有限差分法解決一維平面的熱傳導(dǎo)問題，MATLAB[8]編程可獲得穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度分布數(shù)值解(圖3)和不同時(shí)刻的溫度分布(圖4).

圖3 有限差分得到的穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度分布數(shù)值解
Fig.3 The numerical solution of steady-state temperature distribution obtained by finite difference method

4.2 問題2的求解

問題2實(shí)際所求為假人皮膚表面的溫度，即T(xIV,t).假人體內(nèi)溫度控制在37 ℃，由此可得邊界條件為：

T(x=0,t)=65 ℃T(x=xd,t)=37 ℃

(10)

問題中沒有給出假人的皮厚Ld(即皮膚外側(cè)到體內(nèi)的距離)、密度、比熱和導(dǎo)熱系數(shù)等信息.如果這些信息是已知的，那么在第一問中，若將右側(cè)邊界設(shè)置為T(x=xd,t)=37 ℃，則可以通過有限差分計(jì)算得到不同時(shí)刻假人皮膚表面的溫度T(x=xIV,t),我們可以根據(jù)該條件猜測(cè)假人的一些關(guān)鍵信息.

假設(shè)假人是由均勻統(tǒng)一的材，因此我們可以求出假人的熱阻.在問題1最終穩(wěn)態(tài)下，T(x=xIV)=48.08,而T(x=xd)=37.由熱阻定義可知：

(11)

由(9)通過MATLAB編程可求出q，Rd的解.解得Rd=0.116 1.

我們假設(shè)假人的皮厚L4=2 mm，該假設(shè)對(duì)結(jié)果沒有什么影響，如果假人皮厚，熱傳導(dǎo)率就小，反之，熱傳導(dǎo)率就大，但最終隔熱效果是一樣的.為了計(jì)算需指定一個(gè)厚度，然后便可求得熱傳導(dǎo)率.由此可得熱傳導(dǎo)率

圖4 不同時(shí)刻的空間溫度分布(動(dòng)態(tài)圖)Fig.4 Spatial temperature distribution at different times (dynamic diagram)

kd=0.086 1

從而可以繪制出假人的最終溫度分布圖(圖5).

圖5 由熱阻理論得到的穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度分布理論解
Fig.5 The theoretical solution of steady-state temperature distribution obtained from thermal resistance theory

由于假人的比熱cpd和密度ρd均未知，但在計(jì)算中，我們只需知道兩者的乘積，這里不妨假設(shè)假人的密度是ρd=1 000 kg/m3(同真人密度接近).接下來根據(jù)問題1來確定假人的比熱cpd，我們采用二分法求假人的比熱cpd.實(shí)質(zhì)上就是不斷的猜想，直到猜出的cpd能夠獲得假人皮膚表面溫度的數(shù)據(jù).具體步驟如下：

1.初始設(shè)置cpdmax=3000,cpdmin=1000；

2.cpd=(cpdmax+cpdmin)/2，如果計(jì)算得到的T(xIV,t)總體小于假人皮膚表面溫度的數(shù)據(jù)，那么cpdmax<-cpd，反之cpdmin<-cpd；

3.若cpdmax-cpdmin>1，則跳到2，否則停止，并返回cpd=(cpdmax+cpdmin)/2 .

MATLAB編程求得cpd=1 415.

根據(jù)假人的相關(guān)信息，下面我們可以求解最優(yōu)厚度，由表1可知，0.6

1.假設(shè)Liimin=0.6,Liimax=25；

2.Lii=(Liimin+Liimax)/2，如果計(jì)算得到的T(x=xIV,t=60)>47或T(x=xIV,t=55)>44，說明我們求得的厚度比較小，則Liimin<-Lii，否則Liimax<- Lii；

3.如果Liimax-Liimin>0.1，則跳到2，否則停止，同時(shí)返回Lii=Liimax、，此時(shí)的Lii為第II層的最優(yōu)厚度.

MATLAB編程求得第II層的最優(yōu)厚度12.23 mm.

5 結(jié)束語

文章是在給定的一些假設(shè)和條件下，將實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB編程，解決了高溫作用專業(yè)服裝設(shè)計(jì)的問題，其結(jié)果可以供服裝設(shè)計(jì)者參考，使設(shè)計(jì)高溫作業(yè)服裝降低研發(fā)成本，縮短研發(fā)周期.我們?cè)谡麄€(gè)求解過程中只考慮了熱傳導(dǎo)，事實(shí)上熱傳遞還有兩種：熱輻射和空氣對(duì)流.由于第Ⅳ層的厚度很小，對(duì)于后面兩種的影響幾乎可以忽略不計(jì)，但是，既然存在，多少都會(huì)對(duì)結(jié)果有一些影響.另外，也有一些影響因素沒有考慮到，導(dǎo)致計(jì)算的結(jié)果可能會(huì)與事實(shí)產(chǎn)生了一定的偏差.