豎直單U型地埋管換熱器埋管間負熱阻現(xiàn)象的參數(shù)化研究與分析

摘 要：基于Mutipole方法對豎直單U型地埋管換熱器鉆孔內(nèi)外的耦合傳熱過程進行求解，在鉆孔內(nèi)三熱阻和四熱阻簡化傳熱模型基礎(chǔ)上，詳細地分析鉆孔內(nèi)的復雜穩(wěn)態(tài)傳熱過程，參數(shù)化研究埋管布置結(jié)構(gòu)、回填料與巖土熱物性等因素對鉆孔內(nèi)埋管間直接傳熱熱阻的影響規(guī)律，揭示導致鉆孔內(nèi)埋管間負熱阻現(xiàn)象的本質(zhì)原因，對鉆孔內(nèi)熱阻傳熱模型的工程實踐應用給出參考意見。

關(guān)鍵詞：地源熱泵；換熱器；熱阻；負熱阻現(xiàn)象；Multipole法

中圖分類號：TK521" " " " " " " " " "文獻標志碼：A

0 引 言

在地源熱泵系統(tǒng)中，地埋管換熱器用于實現(xiàn)地下巖土與循環(huán)載流體間的熱量交換。作為地源熱泵系統(tǒng)的核心關(guān)鍵換熱部件，地埋管換熱器的傳熱性能對地源熱泵系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性、經(jīng)濟性和可靠性起到?jīng)Q定性作用［1-2］。在不考慮地下水滲流的地埋管換熱器中，由于鉆孔外幾何結(jié)構(gòu)非常規(guī)整，可方便地將鉆孔外區(qū)域的地下巖土傳熱過程處理為同心圓桶壁的導熱過程；然而，由于鉆孔內(nèi)的幾何結(jié)構(gòu)復雜，為分析載流體、地埋管、回填料和地下巖土間復雜的傳熱過程，通常用熱阻網(wǎng)絡模型［3-6］來簡化鉆孔內(nèi)的傳熱過程。由于地埋管換熱器在豎直方向上的結(jié)構(gòu)布置完全相同，因此可將水平方向上包括鉆孔內(nèi)外的二維熱阻網(wǎng)絡模型在豎直方向上進行疊加，從而獲得地埋管換熱器的三維傳熱分析模型，可方便地應用于地源熱泵系統(tǒng)的工程實踐中。

在地埋管換熱器鉆孔內(nèi)傳熱過程的二維簡化模型中，主要有三熱阻傳熱模型和四熱阻傳熱模型［4-5］，其區(qū)別在于：在分析鉆孔內(nèi)傳熱過程中，是否考慮鉆孔內(nèi)壁面沿周向溫度分布的不均勻性。在三熱阻傳熱模型［7］中，將鉆孔內(nèi)壁面處理為均勻溫度，因此埋管內(nèi)載流體間只能通過鉆孔內(nèi)的回填料進行熱量交換，無法通過鉆孔外的巖土進行熱量傳輸；在四熱阻傳熱模型［8］中，為考慮鉆孔內(nèi)壁面溫度分布的不均勻性，將鉆孔內(nèi)壁面溫度沿對稱面一分為二，并在此溫度間設(shè)置一熱阻，通過這種方式將埋管間經(jīng)鉆孔外巖土進行熱量交換的傳熱途徑考慮其中。由此可見，在四熱阻傳熱模型中，埋管內(nèi)載流體間既可通過回填料直接進行熱量交換，也可通過鉆孔外巖土的導熱來實現(xiàn)熱量傳輸。在文獻［5-6， 9-11］中，不管對鉆孔內(nèi)傳熱過程采用三熱阻還是四熱阻模型進行簡化，鉆孔內(nèi)當埋管位置越靠近鉆孔壁或回填料與巖土熱物性參數(shù)在特定組合時，均發(fā)現(xiàn)鉆孔內(nèi)埋管間的直接導熱熱阻計算值小于零，出現(xiàn)違背熱力學第二定律的所謂“負熱阻現(xiàn)象”。

為了深入分析地埋管換熱器鉆孔內(nèi)埋管間負熱阻產(chǎn)生的原因，研究負熱阻對鉆孔內(nèi)傳熱過程的影響，明確鉆孔內(nèi)不同熱阻傳熱模型的適用范圍，本文基于Mutipole方法［3，12-13］對包含鉆孔內(nèi)外傳熱過程的二維穩(wěn)態(tài)耦合傳熱模型進行求解。在不同埋管布置結(jié)構(gòu)、回填料與巖土熱物性參數(shù)組合等條件下，獲得包含埋管、回填料以及鉆孔外巖土間的穩(wěn)態(tài)傳熱溫度場分布結(jié)果，并按照鉆孔內(nèi)三熱阻和四熱阻傳熱模型分別對計算結(jié)果進行整理，得到鉆孔內(nèi)不同傳熱模型條件下的埋管間直接傳熱熱阻值，系統(tǒng)研究鉆孔內(nèi)埋管布置結(jié)構(gòu)、回填料與巖土熱物性等參數(shù)對該熱阻的影響規(guī)律，詳細分析導致埋管間熱阻值為負的根本原因，從源上解釋鉆孔內(nèi)埋管間的負熱阻現(xiàn)象，以期為工程實踐中鉆孔內(nèi)熱阻傳熱模型的選擇及應用提供參考意見。

1 鉆孔內(nèi)二維熱阻網(wǎng)絡模型

對于典型的單U型地埋管換熱器，其埋管豎直、對稱地分布在鉆孔中，在埋管外壁面與鉆孔內(nèi)壁面間填充回填料。埋管內(nèi)的載流體通過管壁和回填料與鉆孔外的巖土進行熱量交換。圖1給出了豎直單U型地埋管換熱器的幾何結(jié)構(gòu)示意圖。

在不考慮地下水滲流的地埋管換熱器中，其三維傳熱模型可通過將水平方向上包含鉆孔內(nèi)外的二維熱阻網(wǎng)絡模型在豎直方向上進行疊加、構(gòu)建獲得。在水平方向上，由于鉆孔外的幾何結(jié)構(gòu)非常規(guī)整，可方便地將鉆孔外地下巖土傳熱過程處理為同心圓桶壁的導熱過程，因此地埋管換熱器水平方向上的二維熱阻網(wǎng)絡模型的構(gòu)建主要集中在如何處理具有復雜幾何結(jié)構(gòu)的鉆孔內(nèi)導熱過程。根據(jù)是否考慮鉆孔內(nèi)壁面溫度分布的非均勻性，鉆孔內(nèi)二維傳熱過程可簡化為三熱阻傳熱模型和四熱阻傳熱模型。

圖2給出了文獻中常用的兩種鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型（模型A和模型B），其區(qū)別主要在是否將地埋管管壁的導熱熱阻和載流體在管內(nèi)壁的對流換熱熱阻（即模型B中的[Rp]）單獨考慮在熱阻網(wǎng)絡模型中。由于三熱阻傳熱模型的模型A與模型B都是將鉆孔內(nèi)壁面假設(shè)為均勻溫度，從傳熱路徑而言是相同的，因此本文僅以單獨考慮埋管壁導熱熱阻和載流體對流換熱熱阻的模型B為例，詳細分析該條件下鉆孔內(nèi)的復雜傳熱過程。

在三熱阻傳熱模型B中，根據(jù)能量守恒定律可得：

[q1=Tf1-Tp1Rp=Tp1-TbRp1-b+Tp1-Tp2Rp1-p2] （1）

[q2=Tf2-Tp2Rp=Tp2-TbRp2-b+Tp2-Tp1Rp1-p2] （2）

[Rp=1πDpihpi+lnDpoDpi2πkp] （3）

式中：[q1]和[q2]——進入兩根埋管的熱流量；[Tf1]和[Tf2]——下降、上升埋管中載流體的溫度，K；[Tp1]和[Tp2]——埋管外壁面溫度，K；[Rp]——埋管管壁導熱熱阻與載流體在埋管內(nèi)壁面上對流換熱熱阻之和，m·K/W；[Tb]——鉆孔內(nèi)壁面平均溫度，K；[Rp1-b]和[Rp2-b]——埋管外壁面與鉆孔內(nèi)壁面間的熱阻，m·K/W；[Rp1-p2]——兩埋管外壁面間直接導熱熱阻，m·K/W；[Dpi]和[Dpo]——地埋管的內(nèi)徑和外徑，m；[hpi]——載流體在管內(nèi)壁面的對流換熱系數(shù)，W/（m2·K）；[kp]——地埋管管壁的導熱系數(shù)，W/（m·K）。

在均勻熱物性參數(shù)和鉆孔內(nèi)幾何結(jié)構(gòu)對稱布置條件下，聯(lián)立式（1）和式（2）可求解獲得[Rp1-b]、[Rp2-b]和[Rp1-p2]的熱阻計算公式：

[Rp1-b=Rp2-b=Tp1+Tp2-2Tbq1+q2] （4）

[Rp1-p2=2Tp1-Tp2q1-q2-Tp1-Tp2/Rp1-b] （5）

圖3給出了鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型示意圖。相對于鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型B而言，由于四熱阻模型將鉆孔內(nèi)壁面一分為二，因此在該模型中鉆孔壁的溫度有[Tb1]和[Tb2]（分別與兩埋管外壁面[Tp1]和[Tp2]對應），通過鉆孔壁與鉆孔外巖土間的換熱量也分別對應為[qb1]和[qb2]。根據(jù)能量守恒定律，結(jié)合鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型，可得：

[q1=Tf1-Tp1Rp=Tp1-Tb1Rp1-b1+Tp1-Tp2R*p1-p2] （6）

[q2=Tf2-Tp2Rp=Tp2-Tb2Rp2-b2+Tp2-Tp2R*p1-p2] （7）

式中：[Rp1-b1]和[Rp2-b2]——埋管外壁面與鉆孔內(nèi)壁面間的熱阻，m·K/W。

此外，為了與三熱阻模型進行區(qū)別，在四熱阻模型中兩埋管外壁面間的直接導熱熱阻定義為[R*p1-p2]，m·K/W。聯(lián)立式（6）和式（7），在地埋管換熱器均勻熱物性參數(shù)和鉆孔內(nèi)幾何結(jié)構(gòu)對稱布置條件下，可獲得鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型中[Rp1-b1、Rp2-b2]和[R*p1-p2]的熱阻計算公式：

[Rp1-b1=Rp2-b2=Tp1+Tp2-Tb1+Tb2q1+q2] （8）

[R*p1-p2=2Tp1-Tp2q1-q2-Tp1-Tp2-Tb1-Tb2/Rp1-b1] （9）

對比鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型和四熱阻傳熱模型中埋管間直接導熱熱阻[Rp1-p2]和[R*p1-p2]的計算公式（式（5）、式（9））可知，當忽略鉆孔內(nèi)壁面溫度分布的不均勻性（即[Tb1=Tb2]）時，四熱阻傳熱模型中的[R*p1-p2]的計算公式（式（9））直接退化為三熱阻傳熱模型中[Rp1-p2]的計算公式（式（5）），因此鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型是對鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型的改進與優(yōu)化。

在獲得鉆孔內(nèi)埋管間直接導熱熱阻的計算公式后，對給定幾何結(jié)構(gòu)和物性參數(shù)條件下的地埋管換熱器二維穩(wěn)態(tài)耦合傳熱過程進行求解，并根據(jù)鉆孔內(nèi)不同傳熱模型的需要，統(tǒng)計計算各溫度（[Tb、Tb1、Tb2、Tp1]和[Tp2]等）和換熱量（[q1]和[q2]）參數(shù)的值，再將這些參數(shù)代入式（5）和式（9），最終可獲得在該條件下鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型和四熱阻傳熱模型中埋管間的直接導熱熱阻[Rp1-p2]和[R*p1-p2]。

2 埋管間直接導熱熱阻的參數(shù)化研究

為了定量化分析鉆孔內(nèi)幾何結(jié)構(gòu)和回填料、巖土等物性參數(shù)對埋管間直接導熱熱阻[Rp1-p2]或[R*p1-p2]的影響，引入如下無量綱參數(shù)［8］：

[θ1=SDb;" θ2=DbDpo;" θ3=DpoS;" σ=kg-kskg+ks] （10）

式中：[θ1]、[θ2]、[θ3]——埋管間間距的無量綱參數(shù)；[S]——地埋管間的距離，m；[Db]——鉆孔內(nèi)徑，m；[σ]——回填料與巖土導熱系數(shù)的無量綱參數(shù)；[kg]和[ks]——回填料和鉆孔外巖土的導熱系數(shù)，W/（m·K），如圖1b所示。

在給定幾何結(jié)構(gòu)和物性參數(shù)條件下，本文采用Multipole方法［6］對包含有埋管、回填料和巖土的二維穩(wěn)態(tài)耦合傳熱過程進行求解。由于Multipole方法較為成熟，本文不再對此方法進行介紹，詳細的計算實施過程見文獻［3］。當獲得鉆孔內(nèi)外的穩(wěn)態(tài)溫度場分布數(shù)據(jù)后，將計算結(jié)果按照式（5）和式（9）進行整理，可分別獲得鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型和四熱阻傳熱模型的埋管間直接導熱熱阻值，即[Rp1-p2]和[R*p1-p2]。在地埋管換熱器二維穩(wěn)態(tài)耦合傳熱分析中，上升管和下降管中載流體的溫度分別為30和35 ℃，埋管內(nèi)的對流換熱系數(shù)均為3000.0 W/（m2·K），巖土外邊界給定溫度為20 ℃。為減少巖土定溫邊界對計算結(jié)果的影響，在二維穩(wěn)態(tài)耦合傳熱分析中將巖土直徑設(shè)定為16 m，遠大于鉆孔內(nèi)徑[Db]值。模型的其他參數(shù)如表1所示。

圖4給出了鉆孔內(nèi)埋管間直接導熱熱阻隨埋管間距無量綱參數(shù)[θ1]的變化情況。根據(jù)圖1b可知，在給定的物性參數(shù)和[θ1]參數(shù)條件下，埋管間直接導熱熱阻[Rp1-p2]或[R*p1-p2]均應隨埋管間距[θ1]的增大而增大。然而，從圖4可知，三熱阻傳熱模型中[Rp1-p2]先隨[θ1]的增大而迅速增大至無窮，然后隨著[θ1]的進一步增大再從負無窮逐漸增大，但熱阻值始終小于零，出現(xiàn)“負熱阻現(xiàn)象”，且該負熱阻出現(xiàn)的位置隨[σ]的減小而逐漸向[θ1]增大的方向移動。類似的現(xiàn)象也出現(xiàn)在四熱阻傳熱模型中，只不過僅當[θ2]取較大值時，在四熱阻模型中[R*p1-p2]才會出現(xiàn)與三熱阻模型中[Rp1-p2]一致的變化趨勢，導致埋管間直接導熱熱阻為負。

圖5給出了鉆孔內(nèi)埋管間直接導熱熱阻隨無量綱物性參數(shù)[σ]的變化情況。根據(jù)式（10）中無量綱物性參數(shù)[σ]的定義可知，該參數(shù)表示回填料與鉆孔外巖土導熱系數(shù)間的相對關(guān)系，在鉆孔外巖土導熱系數(shù)不變的情況下，無量綱參數(shù)[σ]隨回填料導熱系數(shù)增大而增大。由圖1b可知，在鉆孔內(nèi)埋管幾何結(jié)構(gòu)確定的情況下，埋管間的直接導熱熱阻隨回填料導熱系數(shù)的增大將逐漸減少。由圖5可知，當埋管管間距[θ1]較小時，鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型中[Rp1-p2]先隨[σ]的增大而快速增大，當[Rp1-p2]經(jīng)過正無窮值后，突然變化到負無窮值，再隨[σ]的增大而逐漸增大，但其數(shù)值均小于零；當埋管管間距[θ1]較大時，此時埋管更靠近鉆孔內(nèi)壁面，在無量綱參數(shù)[σ]的增大過程中，鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型中[Rp1-p2]隨參數(shù)[σ]的增加而單調(diào)增加，但其數(shù)值均小于零。另一方面，由圖5可知，對鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型而言，埋管間直接導熱熱阻[R*p1-p2]隨量綱物性參數(shù)[σ]的增大而逐漸減小，僅在[θ2]較大且埋管更靠近鉆孔內(nèi)壁面時，[R*p1-p2]隨參數(shù)[σ]的變化與三熱阻模型中的[Rp1-p2]類似，出現(xiàn)了所謂的埋管間“負熱阻現(xiàn)象”。

3 埋管間負熱阻現(xiàn)象的分析

對于一個給定幾何結(jié)構(gòu)和物性參數(shù)的地埋管換熱器而言，鉆孔內(nèi)載流體與鉆孔壁間的熱阻[Rb]和埋管間的總熱阻[Ra]是確定的，不隨鉆孔內(nèi)簡化傳熱模型的不同而改變。在圖2所示的鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型（模型B）中，根據(jù)鉆孔內(nèi)熱阻[Rb]和埋管間總熱阻[Ra]的物理含義，可得：

[Rb=Rp+Rp1-bRp+Rp2-b" " =12Rp+Rp1-b=12Rp+Tp1+Tp2-2Tbq1+q2] （11）

[Ra=2Rp+Rp1-p2Rp1-b+Rp2-b" " "=2Rp+Rp1-p2·4Rb-2RpRp1-p2+4Rb-2Rp] （12）

整理式（12），可得以[Rb]、[Ra]和[Rp]為參數(shù)來計算鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型時埋管間直接導熱熱阻[Rp1-p2]的公式：

[Rp1-p2=2Ra-2Rp2Rb-Rp4Rb-Ra] （13）

同理，將鉆孔內(nèi)熱阻[Rb]和埋管間總熱阻[Ra]的物理含義應用于圖3所示的鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型，可得：

[Rb=Rp+Rp1-b1Rp+Rp2-b2" " "=12Rp+Rp1-b1] （14）

[Ra=2Rp+R*p1-p2Rp1-b1+Rb1-b2+Rp2-b2" " "=2Rp+R*p1-p2·2Rp1-b1+Rb1-b2R*p1-p2+2Rp1-b1+Rb1-b2] （15）

整理式（15），可得以[Rb、Ra、Rp]和[Rb1-b2]為參數(shù)來計算鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型時埋管間直接導熱熱阻[R*p1-p2]的公式：

[R*p1-p2=Ra-2Rp·4Rb-2Rp+Rb1-b24Rb-Ra+Rb1-b2] （16）

式中：[Rb1-b2]——四熱阻模型中將鉆孔內(nèi)壁面一分為二后鉆孔壁面間的傳熱熱阻，m·K/W。

[R*p1-p2]的計算公式可在鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型基礎(chǔ)上應用能量守恒定律獲得以溫度和換熱量表達的公式：

[Rb1-b2=2Tb2-Tb1qb1-qb2-Tp1-Tp2-Tb2-Tb1Rp1-b1] （17）

對比三熱阻傳熱模型中[Rp1-p2]的計算公式（式（13））和四熱阻傳熱模型中[R*p1-p2]的計算公式（式（16））可發(fā)現(xiàn)，不同熱阻傳熱模型中埋管間直接導熱熱阻的最大差異僅僅在于鉆孔壁面間的傳熱熱阻[Rb1-b2]。根據(jù)鉆孔內(nèi)熱阻[Rb]和埋管間總熱阻[Ra]的定義式（式（11）、式（12）和式（14）、式（15））可知，式（13）和式（16）中分子部分均為正，即：

[Ra-2Rp2Rb-Rpgt;0] （18）

[Ra-2Rp4Rb-2Rp+Rb1-b2gt;0] （19）

因此，[Rp1-p2]的計算公式（式（13））和[R*p1-p2]的計算公式（式（16））的正負取決于分母的數(shù)值。為了方便分析，將埋管間直接導熱熱阻（式（13）和式（16））中的分母定義為：

[Rn=4Rb-Ra] （20）

[R*n=4Rb-Ra+Rb1-b2] （21）

圖6給出了三熱阻模型和四熱阻模型中鉆孔內(nèi)埋管間直接導熱熱阻計算公式（式（13）和式（16））中的分母[Rn]和[R*n]隨參數(shù)[θ1]和[σ]的變化關(guān)系。從圖6可見，當[σ=0.25]和[θ2=7.2]時，[Rn]和[R*n]均隨[θ1]增大而單調(diào)減小，其數(shù)值從最開始大于零逐漸穿過零軸到最后小于零，由于式（13）和式（16）分子均大于零，因此熱阻[Rp1-p2]和[R*p1-p2]隨[θ1]的增大呈現(xiàn)出圖4c中的變化趨勢，當[Rn]和[R*n]穿零軸時導致[Rp1-p2]和[R*p1-p2]從正無窮大到負無窮大跳躍。在圖6a中，由于四熱阻模型中的[R*n]負值區(qū)域遠少于三熱阻模型中[Rn]的負值區(qū)域，因此在相同條件下四熱阻模型埋管間導熱熱阻的負值區(qū)域遠小于三熱阻模型。當[θ1=0.8069]和[θ2=7.2]時，由于[Rn]的數(shù)值均小于零，而[R*n]的數(shù)值僅僅當參數(shù)[σ]大于某一數(shù)值時才小于零，因此在該條件下三熱阻模型中的[Rp1-p2]全部為負值，四熱阻模型中的[R*p1-p2]存在從正無窮到負無窮的跳躍，如圖5d所示。

4 結(jié) 論

通過對鉆孔內(nèi)不同傳熱簡化模型中埋管間負熱阻現(xiàn)象的參數(shù)化研究和分析，可得：

1）地埋管換熱器埋管間負熱阻的出現(xiàn)是由于三熱阻傳熱模型和四熱阻傳熱模型對鉆孔內(nèi)真實換熱過程的簡化，因此負熱阻并非客觀存在。由鉆孔內(nèi)的傳熱模型可知，負熱阻的出現(xiàn)不僅未違背熱力學第二定律，反而是能量守恒定律在鉆孔內(nèi)簡化傳熱模型中的體現(xiàn)。

2）通過鉆孔內(nèi)埋管間直接導熱熱阻的參數(shù)化分析可知，鉆孔內(nèi)幾何結(jié)構(gòu)和熱物性參數(shù)的不同組合，均可能導致埋管間的直接導熱熱阻為負。在相同條件下，鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型的負熱阻區(qū)域遠遠小于采用三熱阻傳熱模型時的負熱阻區(qū)域。

3）相對于鉆孔內(nèi)三熱阻傳熱模型而言，考慮了鉆孔內(nèi)壁面溫度不均勻的四熱阻傳熱模型能更好地體現(xiàn)鉆孔內(nèi)幾何結(jié)構(gòu)、回填料和巖土熱物性參數(shù)等對各熱阻的影響。由于埋管間直接導熱熱阻為負可能導致鉆孔內(nèi)簡化傳熱模型計算失效，因此在工程實踐中，建議采用具有很小負熱阻區(qū)域的鉆孔內(nèi)四熱阻傳熱模型對鉆孔內(nèi)傳熱過程進行簡化分析。

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PARAMETRIC ANALYSIS OF NEGATIVE THERMAL RESISTANCE BETWEEN PIPES OF VERTICAL SINGLE U-TUBE

GROUND HEAT EXCHANGER

Li Luxi1，Liao Quan1，Liu Xianyan2，Peng Qingyuan2

（1. College of Energy and Power Engineering， Chongqing University， Chongqing 400044， China；

2. Nanjiang Hydrogeological Engineering Geological Team of Chongqing Geological Exploration Bureau， Chongqing 401121， China）

Abstract：This paper solves the coupled heat transfer process inside and outside the borehole wall of a vertical single U-tube ground heat exchanger by using the Mutipole method， analyses the steady-state heat transfer process within the borehole based on the simplified three and four thermal resistance models， parametrically investigates the influence of the pipe layout， thermal properties of grout/soil and other factors on the direct thermal resistance between pipes in the borehole， reveals the mechanism of the negative thermal resistance phenomenon between pipes in the borehole， and some constructive suggestions have been proposed for the industrial application of the simplified thermal resistance model within borehole.

Keywords：ground source heat pumps； heat exchanger； thermal resistance； negative thermal resistance phenomenon； Multipole method