兩種不同井網(wǎng)稠油的滲流壓力場分布

焦 煥，代玉杰，王學(xué)慧，鞠啟明

（1.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院，遼寧撫順 113001；2.遼寧石油化工大學(xué)石油天然氣工程學(xué)院，遼寧撫順 113001）

稠油富含膠質(zhì)和瀝青質(zhì)，膠質(zhì)和瀝青質(zhì)屬于高分子化合物，具有極性大、表面活性強(qiáng)的特點，因此稠油在儲層中流動時，會有明顯的固-液界面之間相互作用，這種作用使稠油的流動性變差[1]，滲流阻力增大[2]，增加了稠油的有效開發(fā)難度，導(dǎo)致生產(chǎn)效率降低，開發(fā)成本增高[3]。

稠油開采包括兩個主要過程，即外界對稠油的加熱和稠油在儲層中的滲流。稠油在被加熱的同時，還會在地層和外界的壓力作用下流向生產(chǎn)井，這就是稠油的滲流過程。稠油的滲流是稠油開采中非常重要的環(huán)節(jié)，全面認(rèn)識稠油的流變性質(zhì)，精確定量描述稠油的滲流機(jī)理和特征，對提高稠油的采收率及稠油油藏開發(fā)方案的編制與實施具有重要意義。

稠油滲流是一個非常復(fù)雜的過程，此過程由儲層性質(zhì)、稠油的自身特性和流動狀況等因素共同決定。目前對稠油滲流規(guī)律的研究主要包括室內(nèi)實驗和數(shù)值模擬兩種方法。室內(nèi)實驗方面，Zhao 等應(yīng)用三軸滲流裝置模擬裂縫滲流，給出了巖石裂隙滲流和孔隙壓力的本構(gòu)方程[4]。李曉平等研究了河南油田的稠油，得出儲層溫度和原油黏度之間的關(guān)系[5]。Xu 等利用物理化學(xué)滲流儀，模擬了不同溫度時的巖石裂隙的稠油滲流，給出了壓差和溫度的二元定量方程[6]。劉冬青等利用蒸汽驅(qū)物理模擬裝置，得出了稠油溫度和相對滲透率的關(guān)系[7]。張代燕等利用高溫相對滲透率實驗裝置，模擬了稠油在儲層中的滲流情況，但對稠油滲流機(jī)理未做深入研究[8]。實驗方法得到的結(jié)果接近實際情況，但實驗存在局限性，并且成本較高，在某些方面制約了自身的發(fā)展。

數(shù)值模擬方法具有成本低、計算周期短等優(yōu)勢，彌補(bǔ)了實驗方法的不足。常用的求解稠油滲流規(guī)律的數(shù)值方法主要有差分法、有限元法和邊界元法等[9]。例如，Sun 等用有限元方法分析了軸對稱瞬態(tài)滲流問題，該方法只需對截面進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，每個時間步長的自由曲面無需迭代，即可計算得到結(jié)果，大大減少了計算量[10]。但當(dāng)油藏狀況比較復(fù)雜時，不規(guī)則的油田邊界形狀和邊界壓力變化會給數(shù)值計算帶來較大的困難和明顯的誤差，傳統(tǒng)的數(shù)值模擬方法在處理這類問題時存在一定的困難，有限差分法和有限元法對求解問題的適應(yīng)性變差，此時邊界元方法求解復(fù)雜邊界形狀和邊界條件滲流問題的優(yōu)勢便顯現(xiàn)出來了。

邊界元法是求解偏微分方程的一種數(shù)值方法，求解時，首先應(yīng)用格林公式將待求解區(qū)域內(nèi)的微分方程轉(zhuǎn)換為邊界積分方程，這一過程被稱為問題的邊界化。邊界化過程完成后，即可對邊界進(jìn)行剖分，將邊界分割為有限的邊界單元，當(dāng)給定具體的邊界條件和初始條件后，即可進(jìn)行數(shù)值模擬。離散過程中，剖分只在邊界上進(jìn)行，因此計算誤差只來源于邊界，區(qū)域內(nèi)部是用格林公式精確計算的，因此，與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比，邊界元方法具有更高的計算精度[11]，受到學(xué)者們的青睞，成為數(shù)值模擬油藏滲流規(guī)律方法的首選。同時，邊界元方法對無限大區(qū)域問題和任意邊界形狀問題均有較好的適應(yīng)性[12，13]，對油藏中存在不滲透區(qū)域的滲流問題，也能很好地解決[14]。鑒于邊界元方法的上述優(yōu)勢，本文擬采用邊界元方法，對稠油滲流壓力場進(jìn)行數(shù)值研究。

1 邊界元方法簡介

邊界元方法是繼有限差分法和有限元法之后，近年發(fā)展起來的一種新的計算方法，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是積分方程理論，此方法是工程數(shù)值分析的有效工具。邊界元處理一個具體的工程問題有兩個關(guān)鍵步驟，第一步是將區(qū)域的定解問題轉(zhuǎn)化為只考慮邊界條件的問題，即問題的邊界化，這一步可以使待求解的問題降低一個維度，因此計算的精度和效率都優(yōu)于其他數(shù)值方法。另一步是邊界的離散化，其主要目的是將邊界積分方程離散為代數(shù)方程，然后對求解的問題進(jìn)行數(shù)值模擬。

研究滲流問題的主要任務(wù)是求解Darcy 方程[15-17]，Darcy 方程的矢量形式可寫為[18]：

式（1）中V 和K 分別表示達(dá)西流速和滲透系數(shù)，其標(biāo)量形式分別為vx、vy、vz和kx、ky、kz。u 是勢函數(shù)，在本文中，勢函數(shù)表示壓力。結(jié)合連續(xù)性方程和控制方程，對（1）式進(jìn)行推導(dǎo)，可得二維滲流的定解問題。

式（2）中的Q 表示區(qū)域Ω 內(nèi)的源或匯，Г1和Г2表示部分邊界，是邊界Г1和Г2上的已知量。用加權(quán)殘量法對方程（2）進(jìn)行推導(dǎo)，可得邊界積分方程，詳細(xì)推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)[19]：

得到方程（3）所示的邊界積分方程以后，問題的邊界化就完成了，下一步就是對邊界進(jìn)行離散處理。

本文采用常單元，對邊界積分方程進(jìn)行離散，離散時邊界曲線用直線段近似代替，將區(qū)域Ω 剖分為m 個單元Ω1，Ω2，…，Ωm，將邊界剖分為（n-m）個邊界單元Гm+1，Гm+2，…，Гn。由此，邊界積分方程的離散化形式可寫為：

為了表述方便，本文引入含有n 個未知量的向量X，則式（4）可化簡為：

式（5）中的系數(shù)矩陣A 和向量F 都是已知的或可求解的，通過求解方程（5），即可求得所有的未知量。對邊界積分方程進(jìn)行離散之后，即可用FORTRAN 語言編寫程序，求解稠油滲流場的壓力分布。由于篇幅限制，推導(dǎo)和離散過程詳見參考文獻(xiàn)[19]，本文不再贅述。

2 物理模型和數(shù)值模擬結(jié)果

在本文的數(shù)值模擬過程中，式（1）中達(dá)西方程的滲透系數(shù)由方程（6）給出[20]，本文考慮各向同性二維滲流問題，滲透系數(shù)滿足kx=ky=k。

式中：b 是裂縫寬度，即兩壁面之間的法向相對距離，且此裂縫被顆粒直徑為d 的細(xì)小顆粒填充，稠油儲層由無數(shù)條裂縫構(gòu)成。g 是重力加速度，n 是孔隙率，μ是黏度[21]：

其中：API 為油品的重度，本文取API=20，T 是稠油溫度，fw是稠油含水率，f1為稠油膠質(zhì)及瀝青含量，q為油品重度和溫度的函數(shù)且滿足q=2.169 24-0.025 25×API-0.688 75lgT。

為了使模型更接近工程生產(chǎn)，本文考慮了九點布井和二十五點布井兩種模型。九點法布井的示意圖（見圖1），在無量綱邊長為10 的正方形油藏區(qū)域內(nèi)，共有九口井，其中一口注入井位于正方形油藏的中心，其余八口生產(chǎn)井對稱分布于注入井的周圍。

用邊界元方法求解稠油滲流壓力場分布時，需要對內(nèi)邊界（注入井和生產(chǎn)井的邊界）和外邊界（油藏邊界）進(jìn)行離散，圖1 中的實心圓點表示內(nèi)邊界和外邊界的離散點，數(shù)值模擬時，每一個離散點對應(yīng)一個計算節(jié)點。一般來說，一些邊界上的值是以邊界條件的形式給定的，另外一些邊界值則是計算得到的，求出邊界上的值后，即可將邊界上的值作為已知量，進(jìn)一步求解油田內(nèi)部的滲流壓力場分布。

圖1 九點布井示意圖

圖2 九點布井滲流場三維壓力分布圖

在稠油生產(chǎn)過程中，經(jīng)常在注入井中注入高溫高壓蒸汽，以期達(dá)到增加地層壓力，降低稠油黏度，提高稠油流動性和采收率的目的。注入井無量綱壓力為1，油藏邊界無量綱壓力為0.8，八口生產(chǎn)井邊界的無量綱壓力均為0.5 時，稠油滲流壓力分布圖（見圖2）。由圖2 可知，最大壓力位于油藏中心，且最大壓力值為1，油藏邊界壓力和生產(chǎn)井邊界壓力均與給定的邊界條件相符。八口生產(chǎn)井周圍的壓力分布具有良好的對稱性，這種對稱性是由井位分布的對稱性和給定邊界條件的對稱性決定的。壓力場的對稱分布反映了程序代碼的正確性。由于注入井的壓力大于生產(chǎn)井的壓力，因此從注入井到生產(chǎn)井的滲流壓力場分布呈現(xiàn)遞減趨勢；油藏邊界的壓力也大于生產(chǎn)井的壓力，從油藏邊界到生產(chǎn)井的滲流壓力場分布也呈現(xiàn)遞減趨勢，此壓力變化趨勢與文獻(xiàn)[22]中的結(jié)果吻合，滲流壓力場變化的趨勢驗證了物理模型的正確性。

圖2 中給出的三維壓力雖然比較直觀，但一些壓力數(shù)據(jù)不能完全顯示。為了更全面、清晰地顯示壓力分布，九點布井時，稠油滲流場的二維無量綱壓力等值線分布（見圖3）。圖3 清晰顯示，壓力的最大值位于坐標(biāo)（5，5）的位置，即油田的中心，這是因為在計算時，注入井的邊界條件給定為1，從注入井到生產(chǎn)井，稠油滲流壓力值逐漸減?。涣硗?，由于生產(chǎn)井的邊界壓力為0.5，給定的油田邊界壓力為0.8，由生產(chǎn)井向外邊界的壓力逐漸增大，這一變化規(guī)律與給定的邊界條件相符，也符合滲流的規(guī)律。圖3 中稠油滲流的壓力變化規(guī)律與文獻(xiàn)[23]中的規(guī)律一致。

數(shù)值模擬時，圖2 和圖3 給定的邊界壓力條件是對稱的，因此壓力圖也完全對稱，這是一種理想化的模型。在稠油的實際礦場生產(chǎn)中，生產(chǎn)井邊界壓力和油田邊界壓力經(jīng)常發(fā)生變化，為了使數(shù)值模擬結(jié)果更接近實際生產(chǎn)過程，假設(shè)坐標(biāo)為（7，5）的生產(chǎn)井邊界壓力由0.5 變?yōu)?.2，注入井和其余七口生產(chǎn)井的邊界壓力不變。坐標(biāo)為（7，5）的生產(chǎn)井邊界壓力變化前和變化后，稠油滲流壓力等值線變化情況，實線和虛線分別對應(yīng)于邊界壓力等于0.5 和0.2 的情形（見圖4）。由圖4 可知，左側(cè)的實線和虛線是重合的，這是因為左側(cè)給定的邊界壓力條件未發(fā)生變化；圖形右側(cè)的實線和虛線明顯分開，由此可見，雖然只是坐標(biāo)為（7，5）的一口生產(chǎn)井的邊界壓力發(fā)生很小的變化，但由于多口井的壓力耦合效應(yīng)，整個油藏的滲流壓力場分布發(fā)生了明顯的變化，這說明稠油滲流場的壓力分布對邊界壓力條件非常敏感。

圖3 九點布井對稱壓力等值線

圖4 不同邊界壓力九點布井壓力等值線

圖5 稠油黏溫關(guān)系曲線

圖6 稠油滲透系數(shù)與溫度關(guān)系曲線

溫度是影響稠油黏度的重要因素，地層溫度升高，會使稠油的黏度降低，滲透系數(shù)增加，使稠油更易于滲入生產(chǎn)井中。當(dāng)稠油中膠質(zhì)和瀝青含量為50 %，含水量為2 %時，應(yīng)用公式（7）計算得到的稠油黏度與溫度之間的定量關(guān)系（見圖5）。當(dāng)溫度小于70 ℃時，稠油黏度隨溫度的變化率較大；當(dāng)溫度升高到一定程度時，稠油黏度對溫度的變化不敏感。將公式（7）求出的稠油黏度代入到公式（6）中，即可求出對應(yīng)的滲透系數(shù)。裂縫寬度為0.1 cm，孔隙率為0.43，顆粒直徑為0.053 cm時，稠油滲透系數(shù)與溫度的關(guān)系曲線（見圖6）。當(dāng)溫度小于70 ℃時，滲透系數(shù)與溫度的關(guān)系曲線斜率有一定的變化；但當(dāng)溫度高于70 ℃時，曲線斜率的變化越來越小。這一結(jié)論與圖5 的黏溫曲線是對應(yīng)的。

圖5 和圖6 的關(guān)系曲線表明，溫度小于70 ℃時，稠油黏度和滲透系數(shù)受溫度的影響比較明顯，為了定量說明溫度對稠油滲流場的影響，10 ℃（實線）和70 ℃（虛線）時，稠油的滲流壓力場分布（見圖7）。以無量綱壓力0.78 所在的壓力等值線為例，可以清晰看出，實線和虛線在空間上有了一定的距離，這是因為溫度升高，導(dǎo)致稠油黏度降低和滲透系數(shù)增大，進(jìn)而使稠油在儲層中滲流時受到的阻力減小，能耗降低。

在礦場生產(chǎn)過程中，一個區(qū)塊有幾十口注采井，有時甚至達(dá)到數(shù)百口，為了使模型更具有一般性，本文給出了二十五點布井的物理模型（見圖8），此井網(wǎng)共有二十五口注采井，其中九口井是注入井，其坐標(biāo)分別為（1，1），（5，1），（9，1），（1，5），（5，5），（9，5），（1，9），（5，9），（9，9），其余十六口井是生產(chǎn)井。圖9（a）給出了當(dāng)所有注入井、生產(chǎn)井和油藏外邊界的無量綱壓力分別為1、0.5 和0.8 時，與圖8 對應(yīng)的稠油滲流壓力等值線。由于注采井的分布和邊界條件均具有良好的對稱性，所以稠油滲流壓力分布也是對稱的，從注入井到生產(chǎn)井，壓力值逐漸減??；從生產(chǎn)井到油藏邊界，壓力逐漸增大。這一規(guī)律與九點布井的規(guī)律類似，不同的是，由于此時注入井和生產(chǎn)井的井?dāng)?shù)增多，各井之間的壓力耦合效應(yīng)更加明顯，稠油滲流場的壓力分布更加復(fù)雜。圖9（a）中的壓力數(shù)據(jù)不夠連續(xù)和直觀，部分壓力場的數(shù)據(jù)不能完全顯示，圖9（b）通過圖形顏色的變化，對稠油滲流場的壓力變化給出了全面直觀的展示。

圖7 不同溫度稠油滲流壓力等值線

圖8 二十五點布井示意圖

圖9

為了進(jìn)一步模擬邊界壓力條件對稠油滲流壓力和注采井之間壓力耦合效應(yīng)的影響，將圖9（b）中坐標(biāo)為（1，7）和（3，5）的生產(chǎn)井的邊界壓力設(shè)定為1，其余注采井和油藏的邊界壓力條件均不變，從圖10 的壓力場分布明顯看出，壓力邊界條件的變化對稠油壓力場的分布有非常顯著的影響。通過比較圖4 和圖10 可以看出，當(dāng)邊界壓力條件發(fā)生變化時，二十五點井網(wǎng)滲流場的變化更明顯，也就是說，注采井的密度越高，稠油滲流場的壓力分布對邊界條件的變化越敏感。

圖10 二十五點布井非對稱壓力等值線

本文數(shù)值模擬過程中，為了考核程序的正確性，便于分析數(shù)值模擬結(jié)果，井網(wǎng)和邊界壓力條件的選擇趨于理想化，但這并不影響邊界元方法求解復(fù)雜邊界多連通域稠油滲流問題的普遍適用性，這一普遍適用性已在文獻(xiàn)[19]中有詳細(xì)的論述，本文不再贅述。

3 結(jié)論

本文應(yīng)用邊界元方法（BEM），以儲層介質(zhì)和稠油油藏單元作為研究對象，首先建立多連通域低滲透油藏滲流的物理模型和數(shù)學(xué)模型，再將滲流力學(xué)基本理論和邊界元方法結(jié)合起來，對求解的問題進(jìn)行邊界化和離散化處理，然后編寫求解稠油滲流的通用FORTRAN 計算代碼，應(yīng)用此代碼求解變系數(shù)達(dá)西方程，對九點布井和二十五點布井的稠油滲流壓力場進(jìn)行數(shù)值模擬，對不同邊界壓力條件時的稠油滲流場進(jìn)行研究，分析了注采井之間的壓力耦合效應(yīng)，得到了如下結(jié)論：

（1）壓力邊界條件對稠油油藏的滲流場壓力分布有明顯的影響，在施工工程中，可以根據(jù)這一結(jié)論，通過壓力分布情況判斷儲層的滲透情況。

（2）注入井與生產(chǎn)井之間的壓力耦合效應(yīng)與注采井的密度相關(guān)，注采井密度越高，耦合效應(yīng)越明顯。滲流場壓力分布可為井位部署提供依據(jù)。

（3）當(dāng)?shù)貙訙囟壬邥r（由10 ℃升至70 ℃），稠油黏度降低，滲透系數(shù)增大，稠油在儲層中滲流時受到的阻力減小，能耗降低，此時的滲流壓力場發(fā)生了明顯的變化。

（4）數(shù)值模擬稠油滲流壓力場時，雖然分析的區(qū)域很大，但用邊界元法計算只需幾秒鐘，并且計算精度很高，這表明邊界元方法處理稠油滲流問題的有效性和簡捷性。