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    中線定理及重心性質(zhì)的統(tǒng)一形式

    2019-10-16 08:47:22
    關(guān)鍵詞:維空間四面體中線

    滕 旭

    (云南大學(xué) 旅游文化學(xué)院,云南 麗江 674100)

    1 三角形的中線定理及重心性質(zhì)

    1.1 證明

    為了研究中線定理的統(tǒng)一形式,本文采用統(tǒng)一的符號(hào)表示.

    如圖1所示,設(shè)ΔA1A2A3邊AiAj中點(diǎn)記為Mij(1i,j3且i≠j),三條中線交于一點(diǎn)稱為三角形的重心記為G,則有如下關(guān)系:

    圖1 三角形的中線定理與重心

    證明:用向量法證明中線定理及重心性質(zhì)[1].

    證明重心性質(zhì)如下:

    設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

    同理:G∈A2M13,G∈A3M12,因此三角形三條中線交于一點(diǎn)G且G分每條中線為2∶1的兩部分.

    證明中線定理如下:

    (1)

    (2)

    得到中線性質(zhì)定理初始形式,再根據(jù)定理注解,問題得證.

    1.2 應(yīng)用

    等邊三角形的中線即為高,利用中線定理可求邊長為a等邊三角形的高H如下:

    等邊三角形的四心重合,根據(jù)三角形的重心性質(zhì)可求邊長為a等邊三角形外接圓半徑R及內(nèi)切圓半徑r如下:

    2 四面體的中線定理及重心性質(zhì)

    2.1 證明

    如圖2所示,四面體A1A2A3A4的頂點(diǎn)A1所對(duì)的面A2A3A4內(nèi)的重心記作G1,其他四個(gè)面的重心分別記作G2,G3,G4,則稱A1G1,A2G2,A3G3,A4G4分別為四面體的四條中線. 四面體的四條中線交于一點(diǎn)稱四面體的重心記為G,則有如下關(guān)系:

    圖2 四面體中線定理及重心性質(zhì)證明示意圖

    證明:用向量法證明中線定理及重心性質(zhì)[2-3].

    證明重心性質(zhì)如下:

    設(shè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(x1,y1,z1),A2(x2,y2,z2),A3(x3,y3,z3),A4(x4,y4,z4)

    則證明重心性質(zhì)如下:

    同理:G∈A2G2,G∈A3G3,G∈A4G4因此四面體四條中線交于一點(diǎn)G且G分每條中線為3∶1的兩部分.

    證明中線定理如下:

    如圖1所示,

    (3)

    (4)

    (5)

    ?3AlGl2=AlAi2+AlAj2+AlAk2-(GlAi2+GlAj2+GlAk2)

    得到中線定理的初始形式.

    再由三角形的中線定理及重心性質(zhì),

    GlAi2+GlAj2+GlAk2=

    2.2 應(yīng)用

    正四面體的重心,外心,內(nèi)心重合,根據(jù)四面體的重心性質(zhì)可求棱長為a正四面體的外接球R及內(nèi)切球半徑r如下:

    3 中線定理及重心的統(tǒng)一形式

    取n維空間上的n+1個(gè)點(diǎn)Ai(1in+1)構(gòu)成n+1面體[6-7].

    證明重心性質(zhì)如下:

    同理:G∈A2G2,G∈A3G3,…,G∈An+1Gn+1因此n+1四面體n+1條中線交于一點(diǎn)G且G分每條中線為n∶1的兩部分.

    顯然,三角形及四面體的重心性質(zhì)都可統(tǒng)一于上述形式,n=2時(shí)就為三角形的重心性質(zhì),n=3時(shí)就為四面體的重心性質(zhì).

    證明中線定理如下:

    顯然,三角形及四面體的中線定理初始形式都可統(tǒng)一于上述形式,n=2時(shí)就為三角形的中線定理的初始形式,n=3時(shí)就為四面體的中線定理初始形式.

    三角形及四面體的中線定理都可統(tǒng)一于n+1面體的中線定理

    n=2時(shí)就為三角形的中線定理,n=3時(shí)就為四面體的中線定理.

    下面證明若n維空間上的n+1面體的中線定理成立,則對(duì)n+1維空間上的n+2面體亦成立,從而可對(duì)任意的n∈N+均成立. 記:

    M={m|1mn+2,m∈Z},M-i-j={m|1mn+2且m≠i且m≠j,m∈Z}

    4 總結(jié)

    中線定理及重心性質(zhì)為三角形的基本性質(zhì),向量作為幾何研究的手段具有很大的優(yōu)越性,本文利用向量的方法將三角形的中線定理及重心性質(zhì)推廣到四面體,并指出三角形及四面體具有的此種性質(zhì)實(shí)際上還可進(jìn)一步推廣至n維空間上的n+1面體中,從而給出一種統(tǒng)一形式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

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