逆向思維在初中數(shù)學教學中的應用

朱鳳文

任何事物都是在矛盾中不斷發(fā)展和變化的，在一定的條件下，矛盾著的雙方還可以互相轉化。數(shù)學是初中教學中的重要科目，它不僅對學生的學業(yè)發(fā)展有重大意義，而且對解決生活中的問題也大有益處。解決數(shù)學問題，一般總是從正面入手進行思考，這是解決數(shù)學問題的一種基本的常用的思想方法——綜合法.但是有時會遇到從正面考慮比較復雜甚至無從下手的情況，這時若能打破思維定勢從問題的反面去思考，或者逆用所學的數(shù)學知識，會使問題化繁為簡，化難為易，從而找到解決問題的捷徑，收到事半功倍的效果.這就是解決數(shù)學問題的另一種思想方法——逆向思維。

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維。逆向思維，也叫求異思維，這種解決問題的思維方法是通過打破傳統(tǒng)的思維方式，對司空見慣的方法或原理進行逆向思考，從數(shù)學方面來講，逆向思維就是在學習數(shù)學原理、公式以及推理的過程中，通過結論推導出已知條件的思維方法。就是把問題倒過來或從問題的反面思考或逆用某些數(shù)學公式、法則、運算律解決問題。逆向思維方法既可以用在代數(shù)中，也可以用在幾何中，“反證法”就是逆向思維在幾何中的重要應用之一。加強逆向思維的訓練，可以培養(yǎng)學生思維的靈活性和發(fā)散性，使學生掌握的數(shù)學知識得到有效的遷移，經常運用逆向思維解題，有利于鞏固數(shù)學知識，提高解題能力和發(fā)展智力。

一、在概念教學中滲透逆向思維

在概念中滲透逆向思維，既能培養(yǎng)學生雙向思維的習慣，又能加深對概念的認識和理解。例如，在學了數(shù)的平方和絕對值后，學生熟悉了（±3）?=9，

二、在定理教學中滲透逆向思維

對于定理而言，并不是所有的逆命題都成立.但是在教學中應重視引導學生對定理的逆命題是否成立的探討與交流，以訓練學生的逆向思維。

例2，一個零件的形狀如下圖所示，工人師傅量得這個零件各邊尺寸如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且∠DAB=90°，你能求出這個零件的面積嗎？

分析：此題若從正面思考，可能無從下手，因為它不是一個特殊的四邊形，要求面積，十分困難，所以若從另一個角度思考，連接BD，將四邊形轉化為兩個三角形，由題中條件應用勾股定理及其逆定理即可。

三、在習題教學中滲透逆向思維

習題教學是數(shù)學教學中的重要環(huán)節(jié)，很多數(shù)學題在求解過程中如果運用逆向思維的技巧，就會得心應手。

1.從問題的反面入手

例3，若方程X?-mX+m+3=0至多有一個負根，試求m的取值范圍。

分析：一元二次方程至多有一個負根，那么它的反面就是兩個根都為負數(shù)，從這個角度入手，此題便可很快求得結果。

2.從逆常規(guī)思路入手

例4，解方程（Y?）?+Y?-4Y?-Y+1=0

分析：解分式方程的基本思路就是把分母去掉轉化為整式方程，然而本題卻要將整式方程還原到分式方程來解。

3.逆用公式、法則解題

例5，計算：⑴（-0.125）?*（8?）?

分析：如果正面思考，按乘方的意義，就要先算乘方，再把結果相乘，這樣既繁瑣又容易出錯，而0.125與8互為倒數(shù)，故逆用“同底數(shù)冪的乘法法則”和“積的乘方法則”，就可以順利解決。

⑵（X+2）?·（X-2）?

分析：如果按順序計算，就應先算乘方，再算乘法，但是這樣就十分復雜，若逆用“積的乘方公式”，則會使問題變得非常簡單。

⑶（+5）?—（-5）?

分析：如果順序計算，就要先用完全平方公式展開然后再作差，這樣做也很麻煩，若逆用“平方差公式”，不僅計算量小，而且很簡單。

分析：仔細觀察可知，逆用二次根式乘法法則和除法法則，就能簡便算出。

4.逆序思考解題

有的數(shù)學問題，關系比較復雜，直接從已知條件入手去解，有時會在中途迷失方向.在這樣的情況下，如果從問題的結論出發(fā)一步一步往上倒推，往往可以找到有效的解題線索。

例9，搶“數(shù)”游戲：搶2009，甲、乙兩人每次搶1，2或3個數(shù)，誰先搶到2009，誰就獲勝.現(xiàn)在由甲先搶，問哪個人先獲勝？他該怎樣去搶？

分析：如果按問題原來的程序考慮，甲第一次搶“數(shù)”就有三種情況，問題變得十分復雜，若逆向反過來思考，先從甲最后一次搶“數(shù)”的情況去分析甲的成敗。容易看出，如果還剩1，2或3（記A），甲必獲勝.再往前一步，輪到甲時，還剩5，6或7時，甲一定能制造出情況A。

由以上分析可知，輪到甲搶“數(shù)”時，若搶的“數(shù)”是4m+1，4m+2或4m+3，則甲一定勝，原因是對4m+1，4m+2或4m+3，甲搶1，2或3，剩下4m，由乙去搶;輪到甲搶時“數(shù)”總不是4的倍數(shù)，而甲搶后，輪到乙去搶時，剩下數(shù)總是4的倍數(shù)。

由于2009=4*502+1，甲第一次搶1，以后每次按上述關系來搶，則甲一定獲勝。

從以上幾例可以看出，應用逆向思維巧解數(shù)學題，方法獨特，構思新穎。因此，在數(shù)學教學中，應加強學生逆向思維的訓練，幫助學生從正向思維逐步過渡到正、逆雙向思維，有利于培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學思維能力，豐富學生的解題經驗，提高學生解題的靈活性，大大地激發(fā)他們的學習興趣和學習熱情。