基于修正Bertotti模型的變壓器鐵心諧波磁損耗計算與驗證

趙志剛 ，魏 樂 ，郭 瑩 ，劉 佳 ，楊 凱 ，尹賽寧

(1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，天津 300132；2. 河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室，天津 300132)

在輸電系統(tǒng)中，變壓器鐵心一般由取向電工鋼構成，因此，測量和分析取向電工鋼的磁滯特性、損耗特性等磁性能是變壓器產(chǎn)品設計及研發(fā)的基礎[1].取向電工鋼生產(chǎn)廠家所提供的材料磁性能數(shù)據(jù)通常采用標準愛波斯坦方圈測試系統(tǒng)或單片測量儀測量得到，該測量數(shù)據(jù)只能為制造商提供磁性材料的總損耗，不能獲得磁滯損耗和渦流損耗在總損耗中所占比例[2-3].由于磁滯損耗和渦流損耗機理來源和解決方法不同，準確實現(xiàn)磁損耗的分離，顯得十分必要.獲取鐵心中磁滯損耗和渦流損耗，采取相對應措施來降低磁損耗，對變壓器優(yōu)化設計具有重要的指導意義[4-5].

對于磁性材料的損耗計算模型基本上可以分為3類：第 1類是基于具有物理現(xiàn)象的磁滯模型，主要包括 Jiles-Atherton模型(簡稱 J-A模型)和 Preisach模型[6-7].其中 J-A模型是基于宏觀能量的計算，而Preisach模型是基于磁疇運動在時間和空間上的統(tǒng)計.多年來，國內(nèi)外研究學者致力于磁滯模型的研究，并通過磁性材料的磁滯特性解決鐵磁材料的損耗計算問題，但實現(xiàn)過于復雜，需要大量的磁性能數(shù)據(jù)進行擬合和辨別參數(shù)，不適合工程應用.第 2類是經(jīng)驗公式法，Steinmetz在1982年總結了關于單位體積內(nèi)磁損耗的經(jīng)驗公式[8]，形式簡單，涉及參數(shù)少，廣泛應用于變壓器、電機、電抗器等電磁設備的鐵損計算，但無法實現(xiàn)磁損耗分離.第 3類是損耗分離法[9]，建立在 3種不同效應對磁損耗的影響基礎上，即磁滯損耗、渦流損耗以及異常損耗，在參數(shù)辨別不復雜的情況下，提高了計算精度，實現(xiàn)了磁損耗分離，同樣得到了廣泛的應用.

目前，這3類損耗計算模型在正弦激勵條件下的損耗計算已相當成熟.由于特高壓直流輸電系統(tǒng)的發(fā)展，換流變壓器作為其重要設備之一，負載運行時常會出現(xiàn)大量高次諧波，造成諧波污染，導致磁通發(fā)生畸變，嚴重威脅電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行[10-11].對于非正弦激勵條件下磁損耗的研究，學者Rudy Sevems將非正弦信號激勵進行傅里葉分解，采用 Steinmetz公式分別計算諧波分量下的損耗，疊加得到總損耗值[12]；Boglietti等[13]基于損耗分離模型，依據(jù)傅里葉分解理論發(fā)現(xiàn)諧波激勵下的渦流損耗與電壓有效值有關，磁滯損耗與電壓平均值有關，盡管這兩種方法簡單易行，但硅鋼片屬于非線性材料，磁損耗與激磁頻率和磁通密度峰值并不呈現(xiàn)簡單線性關系，導致所得結果存在一定偏差，適用范圍較為受限.此外，學者在經(jīng)典 Steinmetz公式基礎上進行修正，得到改進Steinmetz公式、廣義 Steinmetz公式以及 Steinmetz波形系數(shù)公式，用于解決三角波、方波等激勵下的磁損耗問題[14-19]，但對于基波疊加高次諧波這種激勵，應用結果的精確性有待驗證.

針對諧波激勵下磁損耗計算問題，本文基于簡化的 Bertotti模型，通過最小二乘法，采用鐵心工藝系數(shù)，確定正弦激勵條件下鐵損中磁滯損耗和渦流損耗.并在此基礎上，引入諧波修正因子，對磁滯損耗和渦流損耗進行修正，實現(xiàn)了諧波激勵下計算磁損耗目的，為變壓器在設計與優(yōu)化階段磁損耗的準確計算提供參考.

1 磁性材料的損耗分離

一般發(fā)電機、電動機以及變壓器運行在頻率低于400Hz、磁通密度低于1.7T狀態(tài)下，磁損耗主要包含磁滯損耗和渦流損耗兩部分，可忽略異常損耗的影響.為考慮磁性材料的內(nèi)應力、磁疇結構以及鐵損成分等問題，本文基于忽略異常損耗的簡化 Bertotti模型，實現(xiàn)磁損耗的分離，其公式為

式中：WT為鐵損，W；Wh為磁滯損耗，W；We為渦流損耗，W；h、e分別為磁滯損耗和渦流損耗系數(shù)；f為頻率，Hz；Bm為磁通密度峰值，T.

由于模型中的常數(shù)項以及磁通密度指數(shù)不是一成不變的，因此，需根據(jù)磁材料的損耗特性，重新對模型參數(shù)進行確定.本文采用標準愛波斯坦方圈測試系統(tǒng)，測量牌號為B30P105的取向電工鋼，頻率從25～400Hz，磁通密度峰值從 0.1～1.7T的磁性能數(shù)據(jù)，進行參數(shù)擬合的公式為

基于所測得到的取向電工鋼磁性能數(shù)據(jù)，通過以下幾個步驟實現(xiàn)模型中參數(shù)的確定和磁損耗的分離.

首先，為減少變量的影響，對式(2)做處理后得

式中：Win為磁滯損耗能量；Wsl為渦流損耗能量；x、y為磁通密度指數(shù).通過提取磁通密度為 1T，頻率為25～400Hz的磁性能數(shù)據(jù)，并計算鐵損能量WT/f，如圖 1所示，其中截距為特定磁通密度下的磁滯損耗能量.

圖1 鐵損能量分布Fig.1 Energy distribution of iron loss

然后，在不同磁通密度Bm作用下重復上述過程，得到關于不同磁通密度Bm下鐵損能量分布，如圖2所示.

進一步，提取不同磁通密度下的磁滯損耗能量，采用最小二乘法進行線性擬合，即可確定磁滯損耗的參數(shù)值，其擬合公式為

對于牌號為 B30P105的取向電工鋼，h＝0.004349，x＝1.912885.

同理，確定渦流損耗能量的參數(shù)公式為

其中e＝0.000057，y＝1.827427.

圖2 不同磁通密度下鐵損能量分布Fig.2Energy distribution of iron loss for different magnetic flux densities

因此，正弦激勵下，牌號為B30P105取向電工鋼的磁損耗計算模型為

相應的磁滯損耗和渦流損耗也可隨之確定.

本文分別給出了頻率為50Hz、150Hz和250Hz由愛波斯坦方圈測試系統(tǒng)所得測量值與采用損耗分離模型所得計算值對比分析結果，如圖 3所示.可以發(fā)現(xiàn)，測量值與計算值具有較好的吻合性，驗證了正弦激勵條件下磁損耗分離模型的正確性.

圖3 鐵損測量值與計算值對比Fig.3 Comparison of calculated and measured values

利用該損耗分離模型對工頻(50Hz)下磁材料鐵損中磁滯損耗和渦流損耗進行確定，如圖 4所示.其中Pe＝We/m，Ph＝Wh/m，m為質(zhì)量，kg.

圖4 磁性材料的鐵損分離Fig.4 Separation of iron loss for magnetic materials

圖5給出了磁通密度在1.0T時不同頻率下磁滯和渦流損耗占總磁損耗的百分比，可以看出，在低頻段磁滯損耗占絕大部分，而隨著頻率的逐漸增加，磁滯損耗所占比例降低，而渦流損耗占據(jù)了主導地位，這是由于渦流效應隨著頻率的增加逐漸增加，從而導致渦流損耗增大.

圖5 不同頻率下磁滯損耗和渦流損耗所占百分比Fig.5 Percentages of hysteresis and eddy current loss at different frequencies

2 鐵心模型測試方法

基于完全按照電力變壓器鐵心的設計標準和疊裝工藝設計并制作的變壓器疊片鐵心模型，搭建諧波激勵條件下的實驗測試平臺，對磁損耗特性進行實驗研究，如圖 6所示.其中變壓器疊片鐵心模型采用45°全斜接縫，每級兩片、三級步進 5mm搭接的切裝工藝制作而成，圖 7為變壓器疊片鐵心模型結構[20].需要指出的是該模型的疊積方式和結構與實際變壓器產(chǎn)品相近，因此可以反映實際變壓器產(chǎn)品的主要電磁性能.

圖6 磁性能測試平臺Fig.6 Magnetic energy testing platform

圖7 變壓器疊片鐵心模型結構Fig.7 Structure of transformer laminated core model

對于諧波激勵條件下的鐵心磁性能測試，本文實驗過程中通過調(diào)整勵磁電壓，控制變壓器鐵心內(nèi)的磁通密度波形為

式中：B1為基波幅值；Bn為n次諧波幅值；φn為n次諧波相位.

諧波含量以及諧波相位差分別表示為

式中：θn為諧波相位差；kn為諧波含量；φ1為基波相位，本文設置基波相位為 0°.由于變壓器鐵心原副邊匝數(shù)相同，可近似認為激勵電壓與感應電壓相等，根據(jù)電磁感應定律，激勵電壓與磁通密度的關系為

式中：E(t)為激勵電壓，V；N為線圈匝數(shù)；S為鐵心橫截面積，mm2；B為磁通密度瞬時值，T.按式(12)控制激勵電壓的波形，實現(xiàn)對變壓器鐵心中磁通密度波形的控制.

3 磁損耗計算模型

3.1 鐵心模型損耗分離的確定

由于愛波斯坦方圈與實際變壓器鐵心的結構不同，導致硅鋼片的材料性能與實際產(chǎn)品的鐵心性能存在差異，鐵芯工藝系數(shù) BF可準確把握二者之間的差異，其計算公式為

式中：mweight表示變壓器鐵心質(zhì)量，kg；Ps為標準愛波斯坦方圈所得比總損耗，W/kg.

本文采用變壓器疊片鐵心模型，測量工頻條件下的損耗特性，根據(jù)式(13)，得變壓器鐵心的工藝系數(shù)，如圖8所示.可以看出，工藝系數(shù)不是常數(shù)，隨磁通密度變化而變化，在1.10～1.15之間波動.

假定工藝差異對鐵心中的渦流損耗和磁滯損耗影響相同，將磁性材料在工頻下的鐵損分離數(shù)據(jù)與變壓器的工藝系數(shù)相結合，得到變壓器磁損耗的分離數(shù)據(jù)，如圖9所示.

圖8 工藝系數(shù)的變化曲線Fig.8 Change curve of process coefficient

圖9 磁損耗分離Fig.9 Separation of magnetic loss

3.2 磁損耗的修正

當磁通密度中含有諧波分量時，變壓器鐵心中的渦流會發(fā)生變化，與Bm相同的正弦激勵下的磁滯回線相比，諧波激勵下的磁滯回線矯頑力增加，并且磁通密度波形中的每一個波動，在磁滯回線中都有相應的局部回環(huán)與之對應，如圖 10所示.局部磁滯回環(huán)是導致磁損耗增加的原因.

圖10 含諧波分量的磁通密度及磁滯回環(huán)Fig.10 Magnetic flux density and hysteresis loop with harmonic components

在復雜激勵條件下，由于局部磁滯回環(huán)的出現(xiàn)，導致 Bertotti模型不再適用.由式(9)可知，磁通密度的波動隨高次諧波的幅值、相位以及階次變化而變化，因此，對磁損耗的進行修正時，需同時考慮導致磁通密度發(fā)生畸變的三要素.著名學者 Lavers等[21]對磁滯損耗和渦流損耗做了進一步修正，通過大量的實驗研究，得到磁滯損耗修正因子，即

式中：ΔBi為磁通密度局部波動的峰峰值；M為函數(shù)極值的個數(shù)，如圖 11所示；Bp為諧波激勵下磁密整體峰值；k為一個與磁性材料屬性相關的系數(shù)，取值范圍為 0.6～0.7之間.需要指出的是，ΔBi僅考慮正半軸中磁通密度波動.

圖11 磁通密度畸變波形Fig.11 Magnetic flux density distortion waveform

對于標準正弦激勵下渦流損耗表示[22]為

類似地，按式(9)所控制的諧波磁通密度波形，渦流損耗可表示為

因此，渦流損耗修正因子可表示為

將式(18)做進一步簡化得

按式(9)中磁通密度的控制方法，圖12給出了不同諧波相位差下，基波疊加5次諧波下磁滯損耗修正因子和渦流損耗修正因子隨諧波含量的變化曲線.

可以看出，盡管渦流損耗修正因子和磁滯損耗修正因子都隨著諧波含量的增加而增大，但諧波含量對渦流損耗修正因子的影響更大.此外，諧波相位差的增加，兩個修正因子也逐漸增加，相位差在 180°時修正因子最大.由此推論出在諧波含量和諧波階次一定時，諧波相位差在180°時磁損耗值最大.

綜上所述，諧波激勵下磁損耗模型可表示為

式中：WT(BP)為諧波激勵下的磁損耗；α為磁滯損耗修正因子；Whys(sin)(BP)為工頻且峰值 BP下的磁滯損耗；β為渦流損耗修正因子；Weddy(sin)(BP)為工頻且峰值BP下的渦流損耗.

圖12 修正因子變化曲線Fig.12 Correction factor curves

3.3 磁損耗驗證

基于Bertotti模型，學者Rudy Sevems將非正弦信號傅里葉分解后分別計算，通過疊加得到磁損耗值，本文將其稱之為模型 A，即將非正弦磁通密度波形進行傅里葉變化，采用 Bertotti模型分別計算各次諧波損耗值，疊加得到總磁損耗；此外，基于 Bertotti模型采用修正因子處理技術計算諧波磁損耗的方法稱之為模型B.

表 1和表 2分別給出了相位差為 0°和 180°、基波疊加 30%的 3次諧波下采用 A、B兩種模型計算出的諧波磁損耗.可以發(fā)現(xiàn)，模型 A 相位差為 0°和180°磁損耗值不變，即無法考慮諧波相位對損耗的影響，此外，磁性材料在磁通密度較低，近似呈線性階段，采用模型A可以得到較好的計算結果，而隨著磁性材料非線性屬性的出現(xiàn)，會出現(xiàn)較大偏差，模型 B則可以很好地彌補模型 A的不足，計算值與測量值有較好的吻合性，證明了模型B的正確性.

表1 相位差為0°時磁損耗計算結果Tab.1 Calculation of magnetic loss when phase difference is 0°

表2 相位差為180°時磁損耗計算結果Tab.2 Calculation of magnetic loss when phase difference is 180°

為進一步對損耗計算模型進行驗證，表3給出了相位差分別為0°和180°，基波疊加 30% 5次諧波的測量值與計算值.表4給出了基波+20% 3次諧波+20% 5次諧波的測量值與計算值.表5給出了基波+10% 3次諧波+10% 5次諧波+10% 7次諧波的測量值與計算值.表6給出了基波+5% 3次諧波+5%5次諧波+5% 7次諧波+5% 9次諧波的測量值與計算值.

通過表3～表6中數(shù)據(jù)對比可知，引入的磁滯損耗和渦流損耗修正因子，綜合考慮了諧波含量、諧波相位以及諧波階次對磁損耗的影響.可以看出，計算誤差在 5%以內(nèi)，因此采用 B模型計算諧波磁損耗，對于產(chǎn)品電磁設計階段具有重要的參考價值，可提供有效的分析方法和必要的數(shù)據(jù)支撐.

表3 磁損耗計算結果對比Tab.3 Contrast in magnetic losses

表4 磁損耗計算結果驗證ⅠTab.4 Verification of calculated magnetic loss resultsⅠ

表5 磁損耗計算結果驗證ⅡTab.5 Verification of calculated magnetic loss resultsⅡ

表6 磁損耗計算結果驗證ⅢTab.6 Verification of calculated magnetic loss resultsⅢ

4 結 論

(1) 采用簡化的 Bertotti模型，通過數(shù)據(jù)擬合方式，實現(xiàn)了正弦激勵下磁性材料的鐵損分離，并采用工藝系數(shù)校正，得到了變壓器鐵心磁損耗分離數(shù)據(jù)，并通過對不同頻率下磁滯和渦流損耗的確定，發(fā)現(xiàn)在低頻段磁滯損耗占絕大部分，而隨著頻率的逐漸增加，磁滯損耗所占比例降低，而渦流損耗占據(jù)了主導地位.

(2) 本文引入修正因子，對磁滯損耗和渦流損耗進行修正，實現(xiàn)了諧波激勵下的變壓器鐵心損耗計算，損耗誤差基本保持在 5%以內(nèi)，滿足工程所需的精度要求，適合工程應用.

(3) 以修正后的鐵心損耗計算值作為損耗評估的基準值，對優(yōu)化設計以及提高變壓器產(chǎn)品性能具有重要的指導意義.