三階微分方程組特解的待定矩陣法

吳幼明，林曉瑩

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 佛山 528000）

求微分方程組特解[1-8]的方法是微分方程理論的重要內(nèi)容之一，國內(nèi)外許多學(xué)者已做過大量的研究，得到了很多簡捷實(shí)用的研究成果.文獻(xiàn)[5-7]分別給出了方程組Af″-Bf=t(x),Af″-aAf′-Bf=t(x)和Af″-Bf′-Af=t(x)在t(x)=(acosβx+bsinβx)·eαx的形式時(shí)的特解公式.文獻(xiàn)[8]以算子法為基礎(chǔ)，窮舉法為輔助，對(duì)三階方程Af?-Bf=0在8種情況下的通解形式進(jìn)行了詳盡的推導(dǎo)和歸納，但未對(duì)特解進(jìn)行討論.本文在文獻(xiàn)[5-8]的基礎(chǔ)上，采用待定矩陣法，給出了方程組Af?-aAf′-Bf=t(x)當(dāng)t(x)=(acosβx+bsinβx)·eαx的形式時(shí)的特解公式.本文方程比文獻(xiàn)[5-7]的方程階數(shù)更高，是文獻(xiàn)[5-7]的推廣.此外，本文的方程比文獻(xiàn)[8]的方程多了一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)且為非齊次方程，是文獻(xiàn)[8]的補(bǔ)充，因此更具有普遍性.

1 符號(hào)

給出矩陣微分方程

其中，fi=fi(x)(i=1,2)是關(guān)于x的函數(shù)，ti(x)(i=1,2)是關(guān)于x的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，a,aij,bij(i,j=1,2)是常數(shù).

因此，方程（1）整理后為

2 方程組的特解

對(duì)于矩陣微分方程（2），設(shè)

其中，ai,bi,αi,βi(i=1,2)是常數(shù).

根據(jù)待定矩陣法，可設(shè)方程（2）的1個(gè)特解為

將式（4）代入方程（2）中，整理并比較同類三角函數(shù)的系數(shù)得

由式（5）取第i(i=1,2)列比較得

由式（6）取第i(i=1,2)列比較得

將式（7）代入式（8）中整理得

所以，矩陣微分方程（1）的1個(gè)特解為

3 算例

采用本文所示方法解矩陣微分方程的特解，有

所以

從而，矩陣微分方程（12）的1個(gè)特解為

經(jīng)檢驗(yàn)，式（13）確是矩陣微分方程（12）的1個(gè)特解.

4 結(jié)束語

本文在二階微分方程組研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)待定矩陣法和按列比較法，得出了一類不含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的三階微分方程組的特解公式，并根據(jù)算例驗(yàn)證了公式的正確性.本文結(jié)果也可通過編寫計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行計(jì)算.