數(shù)形結(jié)合助推意義理解
——《畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題（二）》的思考和實(shí)踐

□ 邵珠利

【課前思考】

長(zhǎng)方形是最基本的平面幾何圖形。它的形狀比較簡(jiǎn)單，特征比較明顯，長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法又是其他平面幾何圖形面積計(jì)算方法的基礎(chǔ)。從一年級(jí)學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)圖形（二）”開(kāi)始，學(xué)生就不斷地與平面圖形中的這個(gè)“老朋友”打交道。翻閱人教版教材，繼三（上）學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)、正方形的認(rèn)識(shí)”，三（下）學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)、正方形面積”計(jì)算后，學(xué)生對(duì)于長(zhǎng)方形面積計(jì)算的簡(jiǎn)單題型已經(jīng)有了較為扎實(shí)的基礎(chǔ)。接下來(lái)在四（上）研究積的變化規(guī)律中，出現(xiàn)了解決長(zhǎng)方形一個(gè)量不變另一個(gè)量變化求面積的問(wèn)題（見(jiàn)圖1）。

圖1

在四（下）“運(yùn)算定律”的學(xué)習(xí)中，安排了在求長(zhǎng)方形菜地面積時(shí)運(yùn)用“乘法分配律”的問(wèn)題（見(jiàn)圖2）。

圖2

后續(xù)在五（上）“多邊形的面積”、五（下）“長(zhǎng)方體和正方體”、六（上）“分?jǐn)?shù)乘法”、六（下）“圓柱和圓錐”的學(xué)習(xí)中又涉及有關(guān)長(zhǎng)方形面積的內(nèi)容。

但綜觀教材編排不難發(fā)現(xiàn)：自學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形面積后，四（上）與四（下）教材中的兩道習(xí)題編排比較分散，且都是教材已經(jīng)畫(huà)好圖形，無(wú)須學(xué)生自己畫(huà)圖分析；除了在六（上）“分?jǐn)?shù)乘法”學(xué)習(xí)時(shí)通過(guò)畫(huà)長(zhǎng)方形幫助分析理解題意外，運(yùn)用畫(huà)長(zhǎng)方形的方法解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)幾乎一片空白。

基于以上分析，筆者在三（下）“長(zhǎng)、正方形面積”學(xué)習(xí)后設(shè)計(jì)了“畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題（一）”，主要通過(guò)對(duì)具有“長(zhǎng)方形元素①長(zhǎng)方形元素：如長(zhǎng)方形花壇、長(zhǎng)方形魚(yú)池、長(zhǎng)方形菜地、長(zhǎng)方形操場(chǎng)等?！钡膯?wèn)題解決的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，在數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步加深對(duì)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬以及面積的認(rèn)知。

能否跳出“長(zhǎng)方形元素”，進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生視野，通過(guò)畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)為學(xué)生打開(kāi)另一扇窗？筆者想到在四（上）學(xué)習(xí)了“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式后，設(shè)計(jì)了“畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題（二）”，將不具有“長(zhǎng)方形元素”的實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系與長(zhǎng)方形面積建立關(guān)聯(lián)，進(jìn)而通過(guò)畫(huà)長(zhǎng)方形，借數(shù)形結(jié)合助推對(duì)意義的理解，有效分析、解決問(wèn)題。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷畫(huà)長(zhǎng)方形解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程，感受畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題直觀形象的特點(diǎn)。

2.在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，掌握畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的方法，感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

3.感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，初步形成靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力和意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】掌握畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的方法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

【教學(xué)難點(diǎn)】畫(huà)長(zhǎng)方形表達(dá)已知條件、所求問(wèn)題以及根據(jù)所畫(huà)長(zhǎng)方形確立解決問(wèn)題方法的思考過(guò)程。

【教學(xué)過(guò)程】

一、課前互動(dòng)，營(yíng)造氛圍

介紹大關(guān)小學(xué)及區(qū)藝術(shù)節(jié)在大關(guān)小學(xué)申花校區(qū)舉行的情況。

二、對(duì)比關(guān)聯(lián)，初步感知

1.畫(huà)圖分析，列式解答

出示問(wèn)題：在藝術(shù)節(jié)開(kāi)幕式上大關(guān)小學(xué)應(yīng)邀參加體操表演，每排20人。如果每排增加5人，就要增加75人。原來(lái)參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？

要求：（1）先畫(huà)圖分析，再列式解答。

（2）完成后同桌交流：你是怎么畫(huà)的，又是怎么算的？

2.對(duì)比分析，感知模型

（1）四圖對(duì)比，建立關(guān)聯(lián)。

師：這幾位同學(xué)雖然畫(huà)的圖形不一樣，但算式都是相同的。75÷5=15（排），20×15=300（人）。

師：在這幾幅圖中，你更喜歡哪一幅，為什么？小組內(nèi)交流你們的想法。

生：我們組喜歡第4幅圖。因?yàn)樗容^簡(jiǎn)潔，比較清楚。

生：我們組也喜歡第4幅圖。大家看，雖然線段圖比較簡(jiǎn)潔，但是不能完整表示所有信息；畫(huà)圓圈圖雖然比較具體，但太麻煩了；第3幅圖雖然比前兩幅圖清楚，但還是有點(diǎn)麻煩；只有長(zhǎng)方形圖比較具體，能表示出所有信息，比線段圖完整，比圓圈圖簡(jiǎn)潔。所以我們組也喜歡第4幅圖。

師：這四幅圖之間有什么聯(lián)系呢？

生：第1幅圖表示的就是第2、3、4幅圖中一排的情況。

生：第2幅圖和第3幅圖的想法其實(shí)是一樣的，都是先表示出每排的人數(shù)（20人）；再表示排數(shù)，因?yàn)椴恢谰唧w的排數(shù)，所以?xún)晌煌瑢W(xué)都加上了省略號(hào)。最后都在剛才的基礎(chǔ)上表示出每排增加5人，就增加75人。

生：第2幅圖、第3幅圖簡(jiǎn)化后就是第4幅圖。每排的人數(shù)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)；排數(shù)就是長(zhǎng)方形的寬；總?cè)藬?shù)就是長(zhǎng)方形的面積。

師：你們這個(gè)發(fā)現(xiàn)太棒了，我要把它畫(huà)下來(lái)并記錄下來(lái)（師在黑板上畫(huà)長(zhǎng)方形）。

（2）拓展聯(lián)想，感知模型。

師：我們知道長(zhǎng)方形的面積就是長(zhǎng)與寬的積。通過(guò)剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的面積還可以表示誰(shuí)與誰(shuí)的積？

生：每排人數(shù)與排數(shù)的積。

師：想一想，長(zhǎng)方形的面積還可以表示誰(shuí)與誰(shuí)的積？

生：長(zhǎng)方形的面積還可以表示數(shù)量、單價(jià)與總價(jià)的積。

師：你的意思就是長(zhǎng)表示單價(jià)、寬表示數(shù)量，面積就表示總價(jià)。

生：長(zhǎng)方形的面積還可以表示速度、時(shí)間與路程的積。

師：你的意思就是長(zhǎng)表示速度、寬表示時(shí)間，面積就表示路程……

師：觀察這些數(shù)量關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們都表示兩個(gè)數(shù)的積。

師：是的，一般情況下，當(dāng)表示兩個(gè)數(shù)之積的數(shù)量關(guān)系時(shí)，畫(huà)長(zhǎng)方形更直觀，更便于幫助我們分析解答問(wèn)題。

但在畫(huà)長(zhǎng)方形時(shí)，我們一定要明確長(zhǎng)表示什么、寬表示什么。（隨著學(xué)生的回答，形成了以上板書(shū)）

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)畫(huà)圖并不陌生，并且也比較習(xí)慣用畫(huà)實(shí)物圖、示意圖或線段圖來(lái)分析解決問(wèn)題。此題信息中沒(méi)有“長(zhǎng)方形元素”，自然不存在要求學(xué)生畫(huà)長(zhǎng)方形的暗示。另外，筆者之所以沒(méi)有強(qiáng)調(diào)要畫(huà)長(zhǎng)方形，目的就是暴露學(xué)生的原有認(rèn)知。通過(guò)對(duì)四幅圖形的對(duì)比分析，學(xué)生充分感知了長(zhǎng)方形圖的特點(diǎn)及畫(huà)法，初步感受到當(dāng)表示兩量之積的數(shù)量關(guān)系時(shí)畫(huà)長(zhǎng)方形更直觀、形象，但畫(huà)的時(shí)候一定要明確長(zhǎng)表示什么、寬表示什么、面積又表示什么。畫(huà)長(zhǎng)方形幫助分析解決問(wèn)題即水到渠成。）

三、例一變式，對(duì)比畫(huà)法

師：同學(xué)們，剛才我們不知道排數(shù)，解決了這個(gè)問(wèn)題。現(xiàn)在每排的人數(shù)也不知道，但是知道如果增加3排，就要增加60人。其他條件不變，你還會(huì)解答這個(gè)問(wèn)題嗎？

要求：（1）先畫(huà)圖分析，再列式解答。

（2）完成后同桌交流：你是怎么畫(huà)的，又是怎么算的？

（反饋討論）

師：這兩位同學(xué)畫(huà)的圖形不一樣，你能看懂它們的意思嗎？

生：第一個(gè)同學(xué)分開(kāi)畫(huà)兩幅圖，分析起來(lái)比較方便；第二位同學(xué)合在一起只畫(huà)一幅圖，更加簡(jiǎn)潔。

師：我們可以像第一位同學(xué)這樣分開(kāi)畫(huà)兩幅圖，也可以合起來(lái)只畫(huà)一幅圖，都能很好地幫助我們分析問(wèn)題。

師：觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)解答這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？如何列式？

生：關(guān)鍵就是要求出每排的人數(shù)和排數(shù)，即求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。算式是：60÷3=20（人）——每排人數(shù)；75÷5=15（排）——排數(shù)；20×15=300（人）——總?cè)藬?shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：例1是一個(gè)量變化，畫(huà)長(zhǎng)方形圖分析；而例2是在例1的基礎(chǔ)上，另一個(gè)量也發(fā)生變化，畫(huà)長(zhǎng)方形圖分析。當(dāng)兩個(gè)量都變化時(shí)，可以只畫(huà)一幅圖，比較簡(jiǎn)潔；也可以畫(huà)兩幅圖，分析起來(lái)比較清楚。但不論如何，關(guān)鍵就是要明確長(zhǎng)表示什么，寬表示什么，面積表示什么。）

四、課堂小結(jié)，明確關(guān)鍵

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么新的收獲？

（根據(jù)學(xué)生概括適時(shí)生成板書(shū)）

師：你認(rèn)為畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？

生：明確長(zhǎng)、寬所代表的量。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)例1和例2的回顧梳理，進(jìn)一步明確畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的關(guān)鍵。）

五、圖形變式，綜合運(yùn)用

師：接下來(lái)藝術(shù)節(jié)要進(jìn)行的是合唱比賽，老師們計(jì)劃給合唱團(tuán)的孩子們購(gòu)買(mǎi)一批上衣。集團(tuán)校長(zhǎng)去詢(xún)問(wèn)情況，兩位老師是這樣說(shuō)的：

我去詢(xún)問(wèn)情況，兩位老師又是這樣說(shuō)的：

你們能幫我和校長(zhǎng)解答這兩個(gè)問(wèn)題嗎？

反饋交流重點(diǎn)關(guān)注：

第1題強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)表示什么、寬表示什么，“降價(jià)”怎么畫(huà)？

第2題強(qiáng)調(diào)對(duì)比分析：將畫(huà)成“一增一減”與“兩增”的圖形進(jìn)行對(duì)比分析，為什么圖形不同，但得數(shù)相同？

（設(shè)計(jì)意圖：試一試1和試一試2的情境與例1和例2的情境不同，研究的是單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)的數(shù)量關(guān)系；另外，畫(huà)圖方法也不相同，試一試1是“一減”的情況，試一試2是“一增一減”的情況。通過(guò)變換情境及改變畫(huà)圖方式，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生據(jù)題畫(huà)圖并借圖析題的意識(shí)與能力。）

六、溝通模型，積累經(jīng)驗(yàn)

師：（同屏呈現(xiàn)）我們今天研究了一增、兩增、一減、一增一減四種情況，但不論是哪種情況我們都需弄清楚長(zhǎng)表示什么，寬表示什么，面積表示什么。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)同屏對(duì)比，對(duì)今天所研究的四種模型進(jìn)行整體感知，同時(shí)尋求共性，即畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是要明確長(zhǎng)表示什么，寬表示什么，面積表示什么。同時(shí)使學(xué)生進(jìn)一步感知對(duì)于研究?jī)煞e關(guān)系的題目，用畫(huà)長(zhǎng)方形的方式解決問(wèn)題更直觀、形象，便于分析解決。）

【教學(xué)反思】

一、找準(zhǔn)學(xué)習(xí)起點(diǎn)，引發(fā)有效學(xué)習(xí)

在“畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題（一）”中，因?yàn)橛小伴L(zhǎng)方形元素”，所以學(xué)生自然能想到畫(huà)長(zhǎng)方形圖進(jìn)行分析。而“畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題（二）”將不具有“長(zhǎng)方形元素”的實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系與長(zhǎng)方形面積建立關(guān)聯(lián)，進(jìn)而通過(guò)畫(huà)長(zhǎng)方形，借數(shù)形結(jié)合助推對(duì)意義的理解，有效分析、解決問(wèn)題。這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是具有挑戰(zhàn)性的。學(xué)生最初畫(huà)的線段圖、圓圈圖、簡(jiǎn)化圓圈圖等都是對(duì)于解答隊(duì)列問(wèn)題積累的原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的有效提取，通過(guò)對(duì)不同圖形的對(duì)比分析，不斷明晰畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的優(yōu)越性，對(duì)畫(huà)長(zhǎng)方形解決兩量之積數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題也達(dá)成了共識(shí)。

二、創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)情境，保持探究興趣

學(xué)生是否能夠進(jìn)行自主學(xué)習(xí)以及自主學(xué)習(xí)投入程度如何，主要取決于教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境的優(yōu)質(zhì)與否。本課中圍繞藝術(shù)節(jié)參加隊(duì)列表演的人數(shù)、合唱隊(duì)購(gòu)買(mǎi)服裝等實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)探究，從例1變式到例2，從畫(huà)一邊、兩邊增加的長(zhǎng)方形圖到畫(huà)一邊減少，一邊增加、一邊減少的長(zhǎng)方形圖，學(xué)生始終保持較高的探究熱情。情境看似不變，卻又著實(shí)發(fā)生變化；圖形看似相同，但的確又不相同，不相同之中又有相同之處。學(xué)生探究其中，其樂(lè)無(wú)窮。

三、加強(qiáng)對(duì)比關(guān)聯(lián)，感悟畫(huà)圖關(guān)鍵

“畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題（二）”從“一增”“兩增”到“一減”“一增一減”，圖式在不斷發(fā)生變化。在解決這些問(wèn)題時(shí)，學(xué)生不但要掌握長(zhǎng)方形圖的畫(huà)法，更應(yīng)明確畫(huà)長(zhǎng)方形解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是要確定長(zhǎng)表示什么，寬表示什么，面積表示什么。因此筆者創(chuàng)設(shè)多次對(duì)比關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一關(guān)鍵問(wèn)題的感悟，不斷積累學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、數(shù)形有效結(jié)合，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

其實(shí)，畫(huà)長(zhǎng)方形圖是解決問(wèn)題的一種有效策略，在解決平均數(shù)問(wèn)題、分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題以及一些稍復(fù)雜的兩量之積數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，畫(huà)長(zhǎng)方形圖往往會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易懂。

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?！睂?duì)于解決兩積數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題畫(huà)長(zhǎng)方形圖更加直觀、形象，有助于分析數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)題意的有效理解，這彰顯了數(shù)形結(jié)合的魅力。形使數(shù)更直觀，解題更加有效，課堂更加精彩，在不斷畫(huà)圖分析的過(guò)程中，經(jīng)驗(yàn)積累更加到位。