在歸納猜想中完成建模
——記“找次品”內(nèi)容的拓展教學(xué)

□ 朱海鋒

“找次品”是人教版五年級下冊數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，教師都會用從特殊到一般的歸納推理方法進(jìn)行教學(xué)。下面是筆者利用數(shù)學(xué)拓展課，對在不知次品輕重的前提下“找次品”教學(xué)的嘗試。

一、第一次歸納猜想，嘗試建模

在不知次品輕重的前提下“找次品”的課堂探索，相對知道次品輕重“找次品”來說，推理過程更加煩瑣，所以拓展課上，筆者嘗試分步帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行猜測、討論和嘗試，從而讓探究過程一步步走向深入。

（一）“三分法”是否還適用

在知道次品輕重的前提下，“三分法”是“找次品”問題解決的核心方法，因為當(dāng)總量n=3時，稱1次，或是，都能找出次品。在此基礎(chǔ)上，有總量n=3a時的最少稱的次數(shù)找出次品的推論，并進(jìn)一步建立解決該問題的數(shù)學(xué)模型。

那么在不知次品輕重的前提下，“三分法”是否還適用呢？我們用總量n=6進(jìn)行了對比討論。

當(dāng)n=6時，用“兩分法”可分為6（3，3），稱第1次時必然不平衡，但是由于不知次品是輕還是重，所以不能確定次品在哪一堆里，所以這一次稱的過程沒有起到應(yīng)有的作用。而用“三分法”分為6（2，2，2）的話，稱第1次會出現(xiàn)兩種情況：如果天平平衡，則說明①②③④都是正品，次品在天平外面的⑤和⑥中，次品的范圍已經(jīng)從6個縮小到2個；如果天平不平衡，則說明外面的⑤⑥是正品，次品的范圍從6個縮小到4個。

由此可見，在不知次品輕重的前提下，也需要把總量“三分”，從而找到其中一堆正品，當(dāng)成標(biāo)準(zhǔn)量來進(jìn)行比較?？梢姡脽o砝碼的天平找次品，關(guān)鍵是“三分”。

（二）選擇哪些總量進(jìn)行研究

由于推理過程比較復(fù)雜，所以拓展課中沒有按人教版教材中已知次品輕重的前提下“找次品”的總量n=3，n=8，n=9這樣進(jìn)行探究，而是選用了“找次品”復(fù)習(xí)整理中的結(jié)論，從關(guān)鍵的總量n=3，9，27，81……也就是3的乘方數(shù)開始研究。

當(dāng) n=3 時，3（1，1，1）第 1 次稱如果天平平衡，則次品是③，但不知③的輕重；如果天平不平衡，則證明③是正品，次品在①或②中，需要用正品③作為標(biāo)準(zhǔn)量，再與其中的①或②稱1次，如果平衡，說明次品是外面的②，并且次品②輕，如果天平不平衡，則次品是①，并且次品①重。由此可見，在不知輕重的前提下，當(dāng)n=3時，需要稱2次。

當(dāng)n=9時，9（3A，3B，3C）稱第1次，如果天平平衡，則3個A和3個B都是正品，次品在外面一堆的3個C中，并且不知道次品C的輕重，需要用“3A”作標(biāo)準(zhǔn)量，與“3C”再稱第2次，就能知道次品是輕還是重了，然后再稱第3次即可找出次品；如果天平不平衡（比如“3A”重于“3B”），則證明外面的“3C”是正品，需要用“3C”作為標(biāo)準(zhǔn)量，再與“3A”稱第2次，若平衡則次品在“3B”中，并且次品輕，再稱1次即可找到次品；若不平衡，則次品在“3A”中，并且次品重于正品，再稱1次也可找到次品。所以，當(dāng)n=9時，稱3次能夠找到次品。

同理，當(dāng)n=27時，27（9A，9B，9C）稱第1次，若平衡，次品在“9C”中，并且不知輕重，由上面推論可得：稱3次能找到次品；若不平衡，用“9C”作為標(biāo)準(zhǔn)量與“9A”稱第2次，就能找到次品是在“9A”中還是在“9B”中，再稱2次即可找到次品。所以，當(dāng)n=27時，稱4次能夠找到次品。

（三）學(xué)生的第一次猜想

根據(jù)以上分析，學(xué)生能很快地整理出一組相對應(yīng)的數(shù)據(jù)（如下表）。

待測總量n 知道輕重的前提下需要稱的次數(shù)不知輕重的前提下需要稱的次數(shù)3 9 2 7 81……1 2 3 4……2 3 4 5……

第一節(jié)拓展課，學(xué)生就有了一個猜想：在不知次品輕重的前提下，保證找出次品所需稱的次數(shù)，正好是知道次品輕重的前提下所需稱的次數(shù)+1。再次對上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，發(fā)現(xiàn)總量n=3，9，27，81時全都正確，經(jīng)推理總量為243或者更大時，發(fā)現(xiàn)猜想也是正確的。

二、第二次歸納猜想，豐富模型

第二節(jié)拓展課，在特殊總量3，9，27等3的乘方數(shù)基礎(chǔ)上，對其他總量進(jìn)行進(jìn)一步研究。

（一）發(fā)現(xiàn)猜想錯誤

在對別的總量如n=4、5、6等數(shù)進(jìn)行研究，以驗證我們上一節(jié)課的推論時，意外發(fā)生了。

當(dāng)n=4時，4（1A，1B，2C）稱第1次，如果天平平衡，則次品在外面的2個C中，然后A與C1稱第2次，若平衡，則次品是C2；若不平，則次品是C1。稱第1次，如果天平不平衡，則外面的C1、C2是正品，然后用正品C1與A稱第2次，若平衡，則次品是B；若不平衡，則次品是A。

這個時候，學(xué)生開始茫然了，按照上一節(jié)課的推論，不知次品輕重時，所要稱的次數(shù)比知道次品輕重時要多1次。在知道次品輕重總量n=4時，要稱2次，這就意味著在不知次品輕重時，按猜想需要稱3次，現(xiàn)在稱2次就能找出次品。

（二）新的猜想

是原來的推論錯誤，還是不知次品輕重時，首次增加稱的次數(shù)的總量與原來的不一樣？接下來的這節(jié)拓展課，我們調(diào)整方向，再次展開了猜測與驗證。當(dāng)總量n=4時，不增加稱的次數(shù)，那么當(dāng)總量n=10，28，82……即n=3a+1時，是不是也不增加稱的次數(shù)呢？

當(dāng)n=9+1時，10（3A，3B，4C）稱第1次，如果天平平衡，則次品在4個C中，4個待測物上面已經(jīng)證明加稱2次能找到次品；如果天平不平衡（假設(shè)3A重于3B），則證明外面的4個C是正品，可作為參考量，用（3A，3C）稱第2次，若天平平衡，說明次品在“3B”中，并且次品是輕于正品的，所以再加稱1次就能找到次品，若天平不平衡，則次品在“3A”中，并且次品重于正品，也只要加稱1次就能找到次品。所以，當(dāng)n=10時，與n=9所需稱的次數(shù)一樣都是3次，也不增加稱的次數(shù)。

如果n=28，82，244……這些數(shù)都不增加稱的次數(shù)，那么只要修改一下上一節(jié)課的推論，就可形成新的猜想。于是學(xué)生進(jìn)行了新一輪的驗證。果然，當(dāng)總量n=3a+1時，都沒有增加稱的次數(shù)。

例如n=27+1時，28（9A，9B，10C）稱第1次，如果天平平衡，則次品在“10C”中，上面已經(jīng)證明10個的待測數(shù)量中找次品需要加稱3次；如果天平不平衡（假設(shè)9A重于9B），則外面的10個C為正品，可用（9A，9C）稱第2次，若平衡，則次品在“9B”中，并且次品輕于正品，需要加稱2次就能找到正品，若不平衡，則次品在“9A”中，并且次品重于正品，也只需要加稱2次就能找到正品。所以n=28時也不增加稱的次數(shù)。接下來n=82，244等數(shù)都一一得到了驗證。

（三）完善模型

于是，筆者又提出一個思考：總量n=3a+2，找次品時會不會也不增加稱的次數(shù)？

當(dāng)n=3+2時，不再是稱2次，而需要稱3次，也就是說要增加稱的次數(shù)了。如，5（2A，2B，1C）稱第1次，如果天平平衡，次品是C；如果天平不平衡（假設(shè)2A重于2B），則C是正品，次品在“2A”或者“2B”中，由于正品只有C一個，作為標(biāo)準(zhǔn)量嫌少，所以在4個次品中要找出正品，還需要稱2次。

而n=9+2時，居然不需要增加稱的次數(shù)。11（3A，3B，5C）稱 第 1 次 ，如 果 天 平 平 衡，次品在“5C”中。這時再用（3A，3C）稱第2次，如果平衡，則次品在外面的C4或C5中，這時只要用1個正品與之再稱1次就能找到次品。即（A，C4）若平衡，次品是C5，若不平衡，次品是C4；若稱第2次不平衡，則次品在“3C”中，并且已經(jīng)知道了次品到底是重于3A還是輕于3A，所以也只要加稱1次就能找到次品。

接著，n=27+2，n=81+2，n=243+2一一得到了證實，都沒有增加稱的次數(shù)，于是學(xué)生將n=3+2需要增加稱的次數(shù)作為一個特例，允許出現(xiàn)這一點小“瑕疵”，并由此推導(dǎo)出：在不知次品輕重總量為3的乘方數(shù)時，找出次品的次數(shù)，正好比知次品輕重時加稱1次，并且當(dāng)總量為3的乘方數(shù)+1、+2的情況下，此“公式”也成立（特殊情況：n=3+1稱的次數(shù)不變，但n=3+2就會增加稱的次數(shù)）。

那么，最后一步，只要證明總量n=3a+3時，找出次品稱的次數(shù)也會增加，我們的“找次品新模型”就能建立起來了。這一點大家還是有信心的，因為根據(jù)“三分法”，當(dāng)出現(xiàn)+3時，三分后的每一份都增加了1。

三、第三次歸納猜想，重新構(gòu)模

第三節(jié)數(shù)學(xué)拓展課，大部分學(xué)生都想要證明n=12時，確實增加了稱的次數(shù)，需要稱4次才能找出次品的時候，一位學(xué)生卻拿出了n=12時不增加稱的次數(shù)，也只要稱3次的稱法。

（一）第二次猜想也不對

當(dāng)n=9+3時，12（4A，4B，4C）稱第1次，如果天平平衡，則次品在“4C”里，還需要加稱2次就能找到正品。因此只需要稱3次就能找到次品。

如果A1B1C輕于A2B2B3，則次品有可能是B1（輕）或者是A2（重），然后第3次只要找一個正品來稱一下（A2，C），也能稱3次就找到次品。

這樣一來，學(xué)生辛苦建立起來的模型又被打破了。因為接下來需要猜想和驗證的可能性就更多了，比如27+3，81+3這些3的乘方數(shù)+3，是不是都不增加稱的次數(shù)？然后+4呢？會不會也不增加稱的次數(shù)？

（二）埋下一顆歸納探究的種子

研究到這一步，已經(jīng)很難帶領(lǐng)學(xué)生在課堂上以一課一個專題的模式進(jìn)行探究了。筆者認(rèn)為這樣的嘗試已經(jīng)完成了課堂預(yù)期的目的：我們從一個不知次品輕重的題目進(jìn)行探究，猜想出它的解答模型，隨著探究的深入，發(fā)現(xiàn)模型有誤，再重新調(diào)整我們的猜想并且通過數(shù)據(jù)去完善我們的新猜想。雖然最后我們臆想中的模型沒有得到證實，再研究下去，對于小學(xué)生來說過于煩瑣，但我們最后又有了更多新的猜想：

會不會關(guān)鍵總量在4，12，36……因為n=4的時候，跟3相比不增加稱的次數(shù)，而12的時候，與9相比也不增加稱的次數(shù)，而4和12正好是12（4，4，4）的關(guān)系。由此可不可以推論出 36（12，12，12）跟27相比，也不增加稱的次數(shù)？

會不會是3+1，9+3，27+6，81+9……會不會是3+1，9+3，27+9，81+27……

筆者認(rèn)為，真正的模型是什么并不重要，重要的是能在學(xué)生的心里埋下一顆種子，一顆敢于猜想、勇于試錯的創(chuàng)新的種子。這才是比發(fā)現(xiàn)一個已知的數(shù)學(xué)模型更寶貴的財富。