數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省昆山市石牌中學(xué) 王維娟

數(shù)學(xué)不僅需要研究數(shù)量關(guān)系，還要研究圖形，二者存在著對(duì)立和統(tǒng)一的關(guān)系，宇宙萬物無不是數(shù)和形的矛盾統(tǒng)一。對(duì)此，國內(nèi)外有很多專家對(duì)于數(shù)形結(jié)合都有著深刻的見解。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！睌?shù)學(xué)中的很多概念、法則、公式、定理都與一定的空間形式密切聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合是具體和抽象的結(jié)合，是形象思維和抽象思維轉(zhuǎn)化的橋梁，是邏輯含義和空間表達(dá)形式的展現(xiàn)。在拉格朗日的《數(shù)學(xué)概要》中描述：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就是緩慢的，應(yīng)用就狹窄，但當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)成伴侶后，它們就互相汲取新鮮的活力，從此便以快速的步伐走向完善?！?/p>

初中階段正是學(xué)生打基礎(chǔ)的階段，教師應(yīng)該重視數(shù)形結(jié)合的思想，通過多種方法不斷滲透到教學(xué)中?；诖?，本文立足于初中數(shù)學(xué)教學(xué)，結(jié)合本人教學(xué)時(shí)的體會(huì)，對(duì)數(shù)形結(jié)合方法和思想進(jìn)行相關(guān)的探討。

我們所接觸到的初中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合在不等式、數(shù)列、最值問題、函數(shù)和解析幾何等多方面都有涉及。

一、數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

例1：求不等式 |x+2|+|x-3| ＞5 的解集。

分析：這是一個(gè)絕對(duì)值不等式問題，既涉及了絕對(duì)值的知識(shí)點(diǎn)，還涉及了不等式里的知識(shí)點(diǎn)。

記數(shù)軸上表示數(shù)-2 的為點(diǎn)A，表示數(shù)3 的點(diǎn)為B，記表示數(shù)x的點(diǎn)為C，點(diǎn)C是數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。“數(shù)軸”是初中數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)形結(jié)合，也是初中數(shù)學(xué)中最早運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的一個(gè)例子。絕對(duì)值表示數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而用兩數(shù)的差的絕對(duì)值表示數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。根據(jù)題意，畫出簡易數(shù)軸：

我們可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B將數(shù)軸分成了三段，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)C的三個(gè)不同位置畫出三種不同情況下的數(shù)軸再一一進(jìn)行分析。此時(shí)，這個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為線段CA+CB＞5 的題目了。

通過觀察三張圖可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A和點(diǎn)B之間時(shí)，線段CA+CB=5；當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的左邊或者點(diǎn)B的右邊時(shí)，線段CA+CB＞5。

所以，我們就有結(jié)論：當(dāng)-2 ≤x≤3 時(shí)，|x+2|+|x-3|=5；當(dāng)x＜-2或x＞3 時(shí)，|x+2|+|x-3|＞5。

二、數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)中的應(yīng)用

例2：已知點(diǎn)A（-1，y1）、B(-3，y2)、C(-2，y3)、D(1，y4)在函數(shù)y=x2+2x+2 的圖像上，比較y1、y2、y3、y4的大小。

分析：我們已經(jīng)學(xué)過了二次函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式畫出函數(shù)圖像，描出A、B、C、D這四個(gè)點(diǎn)的相應(yīng)位置。那么，要比較y1、y2、y3、y4的大小就是看這四個(gè)位置的高低。如圖所示：

通過圖像，我們就可以馬上看出y1＜y2＜y3＜y4。用這樣的方法解決問題，就使得數(shù)學(xué)更形象、更直觀，數(shù)學(xué)就不那么枯燥了，數(shù)學(xué)也有美的一面，也讓那些后進(jìn)的學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)很有趣。

三、數(shù)形結(jié)合在數(shù)列計(jì)算中的應(yīng)用

分析：我們可以這樣解：

我們還可以試著通過圖形來理解。畫一個(gè)正方形，把這個(gè)正方形一分為二就得到，把其中一半再一分為二就得到，把的一半再一分為二就得到……畫完圖形之后我們可以發(fā)現(xiàn)：這些全部加起來就是用整個(gè)正方形減去右下角的最后一塊小正方形，也就是。如圖所示：

這樣的方法既簡單又直觀，容易理解，同學(xué)們一看就知道了，充分展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢和奇特之處。

四、數(shù)形結(jié)合在勾股定理中的應(yīng)用

分析：對(duì)于初中生來說，這種類型的題目是非常新穎的，以前沒有見到過。同樣，我們可以根據(jù)題意，構(gòu)造一個(gè)圖形，將題目轉(zhuǎn)化成圖形來解決。

此時(shí)，上述問題就轉(zhuǎn)化成求AC+CE的最小值的問題了。到了這一步，同學(xué)們很容易想到：兩點(diǎn)之間線段最短。要求AC+CE的最小值，只需要連接AE，線段AE 與線段BD 的交點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)C 的位置。此時(shí)AE 的長度就是AC+CE 的最小值。如圖所示：

之后，過點(diǎn)A作AF平行且等于BD，連接BF，則在直角三角形AFB中，利用勾股定理即可求出線段AE的長度，也就是線段AC+CE的最小值。如圖所示：

如此，運(yùn)用圖形將學(xué)生束手無策的最小值問題轉(zhuǎn)化成了熟悉的勾股定理的問題，不僅方便同學(xué)們理解，還降低了計(jì)算的難度，提高了做題的正確率。

在教學(xué)過程中，老師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多利用圖形去研究、探索問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和開放性思維，使同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有興趣。

總之，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該在傳授知識(shí)的同時(shí)，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，從“數(shù)”的方面、“形”的方面深化理解，形成直覺思維，從而順其自然地找到解題方法。在日常教學(xué)的過程中，教師要盡量利用多媒體教學(xué)，充分體現(xiàn)數(shù)字和圖形之間的聯(lián)系和變化規(guī)律，使學(xué)生理解更深刻，更靈活地掌握方法，充分觀察圖像，不管是靜態(tài)的還是動(dòng)態(tài)的圖像，對(duì)它們的特點(diǎn)觀察得越仔細(xì)，思考得越深入，那么認(rèn)識(shí)也就比較深刻，這樣遇到相關(guān)聯(lián)的情景時(shí)才能夠產(chǎn)生靈感，找到切入點(diǎn)解決問題。

當(dāng)前，素質(zhì)教育已經(jīng)成為主流，對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)和能力的培養(yǎng)是建設(shè)創(chuàng)造性人才的需要。擁有創(chuàng)造性思維的人，才能更好地在各自的領(lǐng)域內(nèi)有所創(chuàng)新，推動(dòng)科學(xué)技術(shù)和社會(huì)向前發(fā)展。教師應(yīng)該發(fā)揮外因的作用，積極引導(dǎo)學(xué)生的興趣，發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)因，學(xué)生才能長久受益。