一道競賽試題的多解及變式*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

賀鋅菠 劉成龍

一、問題及簡評

簡評:問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是研究的核心.好的數(shù)學(xué)問題能誘發(fā)思考、發(fā)展思維、啟迪智慧.賽題是一個好問題，是研究的好素材.

(1)問題具有數(shù)學(xué)美：問題敘述簡潔，富含簡潔美；(2)問題解答視角寬：學(xué)生能利用從三角換元、函數(shù)法、重要不等式法、向量法、方程法、待定系數(shù)法等多個視角解答，既能開拓學(xué)生的視野，同時為求異思維的形成提供了良好的素材；(3)問題可變程度高：問題可從“構(gòu)造原件”、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”、“元素狀態(tài)”等視角得到一系列變式；(4)問題考查素養(yǎng)多：問題的解答需要學(xué)生具備邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等多種素養(yǎng).

二、解法探究

問題解決是數(shù)學(xué)活動的基本形式和主要內(nèi)容.正如數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說：“數(shù)學(xué)家存在的主要理由是解問題，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解”.下文從不同的視角解答賽題.

視角1 三角函數(shù)法

點評：解法1運用三角換元法實現(xiàn)了雙變量到單變量的轉(zhuǎn)化.

視角2 函數(shù)法

點評：解法2、3、4均通過構(gòu)造函數(shù)來解答，不一樣的是所構(gòu)造函數(shù)不同：解法2構(gòu)造的函數(shù)需借助導(dǎo)數(shù)來得到單調(diào)區(qū)間；解法3構(gòu)造了雙勾函數(shù)，其單調(diào)區(qū)間學(xué)生比較熟悉，不需要求導(dǎo)；解法4構(gòu)造了學(xué)生熟悉的二次函數(shù)求解.

視角3 重要不等式法

點評：通過對分式等價變形，借助均值不等式求解是此類問題的基本解法.

視角4 向量法

視角5 方程法

點評:解法8的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在區(qū)間根的分布問題.

視角6 待定系數(shù)法

三、問題變式

問題變式是指相對于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使問題的非本質(zhì)屬性時隱時現(xiàn)，而問題的本質(zhì)屬性保持不變的思維方式.[1]不斷地變更數(shù)學(xué)問題中的情境或改變思維的角度，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置各種實際應(yīng)用的環(huán)境等，以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在聯(lián)系.[2]下面從問題的“構(gòu)造原件”、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”、“元素狀態(tài)”[3]三個方面進行問題變式，引導(dǎo)學(xué)生挖掘賽題的本質(zhì)屬性.

1.變“構(gòu)造原件”

引入新元素“λ”，且λ>0可得：

點評：通過引入新元素“λ”，改變問題的組成“原件”，得到一個新的問題.新問題與賽題在實質(zhì)上沒有改變，變的僅是ab的取值范圍.

基于變式1，引入新元素“μ”，可得：

2.變“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”

將賽題中的ab移入條件等式，可得：

點評：改變ab在原問題中的位置，以改變問題的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”，將ab作為條件的組成部分.

基于變式4，引入新元素“λ”，且λ>0可得：

3變“元素狀態(tài)”

將元素a和b范圍擴大為實數(shù)，可得：

變式6 已知實數(shù)a和b，且4a2+ab+b2=1，則a+2b最小值為-2，最大值為2.

點評:改變元素a和b的狀態(tài)，將正數(shù)a、b擴充為實數(shù)，此時不滿足基本不等式的使用條件，無法直接用基本不等式求解,并且a+2b無法直接與條件建立關(guān)系,所以考慮從待定系數(shù)法求解.

基于變式6，引入新元素“λ”和“μ”，且λ>0可得：

變式8 已知實數(shù)a和b，且4a2+2μab+b2=λ，當(dāng)μ∈(0,1)時，a+μb最小值為

通過對賽題的解法探究及多層次變式，巧妙地把賽題蘊含的數(shù)學(xué)思想、方法充分挖掘.在此過程中，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的融會貫通，對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有積極意義.