簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單
——多視角探求一道二元函數(shù)最值題

江蘇省通州高級(jí)中學(xué) (226300)

嚴(yán)振君

一、題目呈現(xiàn)

乍看本題，給人以條件簡(jiǎn)單，目標(biāo)清晰之感.教學(xué)中，經(jīng)過(guò)與學(xué)生共同探究，感覺(jué)此題實(shí)則“簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單”，可從多個(gè)視角切入，用不同方法探求，是一道頗具韻味的“好題”.現(xiàn)將本題的解法作一個(gè)梳理，與讀者交流分享.

二、解法薈萃

視角一 等式減元 導(dǎo)數(shù)求解

評(píng)注：“減元”是求多元函數(shù)最值問(wèn)題的常規(guī)處理策略.由于x，y均為正數(shù)，則可將條件中的等量關(guān)系化隱性為顯性，將二元目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).此法涉及到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)運(yùn)算要求較高，但思路清晰，目標(biāo)明確，易于接受.

視角二 三角換元 意在簡(jiǎn)化

視角三 “1”的代換 整體換元

視角四 引入新元 變量歸一

評(píng)注：此法也稱(chēng)作“倍值換元”，即通過(guò)引入新元k，溝通舊元x和y的直接聯(lián)系.結(jié)合條件等式，將原先變量x與y均化歸為新元k，將二元目標(biāo)函數(shù)一元化.

視角五 方程思想 彰顯通法

視角六 數(shù)列向量 另辟蹊徑

視角七 數(shù)形結(jié)合 形象直觀

圖1

評(píng)注：“數(shù)形結(jié)合”的思想啟示我們要善于挖掘代數(shù)問(wèn)題背后的幾何特征.“以形助數(shù)”可以讓問(wèn)題的解決更為直觀簡(jiǎn)捷，但又不失嚴(yán)謹(jǐn).方法11從變換的視角，將目標(biāo)函數(shù)線性化，原題得以“改頭換面”，借助于線性規(guī)劃的方法求解.

視角八 高數(shù)觀點(diǎn) 高屋建瓴

評(píng)注：拉格朗日乘數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中求多元函數(shù)最值的常用方法.盡管使用拉格朗日乘數(shù)法的條件較為苛刻，但操作并不復(fù)雜，學(xué)生易于接受，對(duì)于約束條件下求最值問(wèn)題可以嘗試.

視角九 待定系數(shù) 巧妙配湊

評(píng)注：觀察本題的條件和目標(biāo)，符合使用三元均值不等式的結(jié)構(gòu)特征.用待定系數(shù)法可以突破“配湊”系數(shù)的難點(diǎn)，方便直接.

視角十 不等式法 自然天成

三、拓展延伸

限于篇幅，請(qǐng)讀者自行嘗試證明.

四、解后反思

在解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生善于從不同的視角審視題意，啟發(fā)學(xué)生靈活地從問(wèn)題的不同側(cè)面、不同層次進(jìn)行全方位的探討，拓寬學(xué)生視野，發(fā)散學(xué)生思維.在一題多解的基礎(chǔ)上，還需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多種解法進(jìn)行對(duì)比分析，擇優(yōu)而從，達(dá)到弄透一題、旁通一類(lèi)，舉一反三、事半功倍的良好學(xué)習(xí)效果.善于從不同視角思考和解決問(wèn)題，除了幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)外，還能起到活化思維，激發(fā)興趣之功效.