經(jīng)驗特征函數(shù)在偏正態(tài)分布中的應(yīng)用

侯格格

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

在實際問題處理中，會經(jīng)常遇到大量非對稱數(shù)據(jù)，若簡單地假設(shè)這些數(shù)據(jù)的模型誤差服從正態(tài)分布，通過數(shù)據(jù)分析，往往會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)具有多峰性、有偏性，并不完全服從正態(tài)分布．此時，可以使用偏正態(tài)分布處理非對稱數(shù)據(jù)．偏正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種推廣，最早出現(xiàn)于文獻[1]，由Azzalini[2]命名，它既具有正態(tài)分布的特殊性質(zhì)又含有偏度的分布．設(shè)X是服從一元偏正態(tài)分布的隨機變量，其密度函數(shù)為：fX(x;α)=2 ?φ(x) ?Φ(αx)，其中φ(x)， Φ(x)分別是標(biāo)準正態(tài)分布的密度函數(shù)和標(biāo)準正態(tài)分布的分布函數(shù)，α為任意實數(shù)，被稱為形狀參數(shù)，它控制密度函數(shù)的形狀．當(dāng)α=0時，分布函數(shù)偏度為零，X～N(0,1)，分布函數(shù)的偏度隨著α的增加而增加，當(dāng)α→∞時，分布函數(shù)收斂于半正態(tài)密度函數(shù)，在實際應(yīng)用時，需要加入位置與尺度函數(shù)．考慮線性變換Y=ωX+ξ，Y的密度函數(shù)為：

稱Y服從偏正態(tài)分布，記為Y～SN(ξ,ω2,α)，ξ,ω,α分別是位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)，令θ=(ξ,ω,α)為待估參數(shù)．α=0時，Y～N(ξ,ω2)．

常見參數(shù)估計方法有矩估計、極大似然估計、M-估計等．對于單參數(shù)或者兩個參數(shù)估計問題，容易求出穩(wěn)定解．盡管一元偏正態(tài)分布族具有良好的性質(zhì)，但由于其具有三個參數(shù)，求得穩(wěn)定的估計值較為困難，這是由于：1）當(dāng)α→0時，F(xiàn)isher 信息陣是奇異的；2）α=0是α的輪廓似然函數(shù)的一個駐點，獨立于觀測樣本．對于一元偏正態(tài)分布的三個參數(shù)的估計問題，使用極大似然估計求解時，遇到?jīng)]有顯式解的情況，尤其在小樣本時，極大似然估計穩(wěn)定性較差，矩估計與M-估計求出的估計值也較差．Azzalini 和Arellano[3]提出了含有懲罰項極大似然估計的方法，選擇合適的懲罰函數(shù)對參數(shù)進行估計，此估計方法，當(dāng)樣本量大于200時，參數(shù)估計值穩(wěn)定，由于形狀參數(shù)α難以估計，當(dāng)n＜200，即為小樣本量時，含有懲罰項的極大似然估計算法是不穩(wěn)定的．

經(jīng)驗特征函數(shù)算法最早由Feuerverger 和Mureika[4]與Heathcote[5]提出，Tran[6]將其應(yīng)用于參數(shù)估計問題中．這個方法與文獻[7-8]提出的矩母函數(shù)方法類似，使用特征函數(shù)代替矩母函數(shù)．使用特征函數(shù)進行估計具有一些優(yōu)點．特征函數(shù)是一致有界，因此由其所求出的解具有數(shù)值穩(wěn)定性．對于厚尾分布，當(dāng)它的矩母函數(shù)不存在時，使用特征函數(shù)是恰當(dāng)?shù)模?jīng)驗特征函數(shù)算法的穩(wěn)定性受到{tm}的取值影響，對于此問題，文獻[8-9]進行了分析．

本文第一部分首先對經(jīng)驗特征函數(shù)算法進行敘述，并對經(jīng)驗特征函數(shù)算法的有效性進行討論．由于算法受到固定網(wǎng)格點{tm}的影響，進而對{tm}的選取進行討論，對如何選取最優(yōu)的網(wǎng)格點{tm}使得算法獲得高漸進有效性進行說明．第二部分進行模擬，取不同的固定樣本量的小樣本，使用經(jīng)驗特征函數(shù)算法對一元偏正態(tài)分布三個參數(shù)進行估計，并與懲罰極大似然估計進行對比．

1 經(jīng)驗特征函數(shù)算法

本文我們將經(jīng)驗特征函數(shù)算法應(yīng)用于一元偏正態(tài)分布中．假設(shè)一個樣本容量為n隨機樣本y1,y2,…,yn來自于一元偏正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為（1）式．定義yi的特征函數(shù)為：

定義經(jīng)驗特征函數(shù)為：

其中i為虛數(shù)，{tm}是一系列固定的網(wǎng)格點，可以是連續(xù)的，也可以是離散的．現(xiàn)將φ(y;θ)和Cn(t)的實部與虛部分別分離出來，則它們在m個網(wǎng)格點t1,t2,…,tm的估計為：

其中，

它的分割中的元素是與tp和tq相關(guān)，可以表示為（為了定義方便，假設(shè)θ在φ(t,θ)中）：

進一步，定義

式（5）可以被看作是一個協(xié)方差矩陣為非標(biāo)量的非線性回歸，其中Zn(t)可以被看作是響應(yīng)變量，F(xiàn)(t,θ)可以被看作是解釋變量．因此，對于給定的互不相同的網(wǎng)格點t1,t2,…,tm，其中m必須大于等于待估參數(shù)的個數(shù)，θ的有效估計，即經(jīng)驗特征函數(shù)算法的估計值，可以通過最小化

其中，

根據(jù)文獻[8]對于的漸進有效性，有如下命題成立：

命題1 令t1,t2,…,tm為一系列取值不同的固定網(wǎng)格點，θ的經(jīng)驗特征函數(shù)算法的估計值是θ的強相合估計，并且服從漸進正態(tài)分布，其均值為θ，協(xié)方差為：

由命題1 可知經(jīng)驗特征函數(shù)算法的漸進有效性依賴于固定網(wǎng)格點{tm}的選擇．文獻[8]指出，對某些估計問題，經(jīng)驗特征函數(shù)算法可達到充分的漸進有效性（以達到Cramer-Rao 下界為標(biāo)準）．

根據(jù)文獻[8-9]的分析，{tm}必須是互不相同的．對于固定的m，為了方便起見，使用相等的區(qū)間間隔τ，則網(wǎng)格點為tj=j?τ,j=1,2,…,m，而τ可以是任何實數(shù)常數(shù)，通過最小化（8）的大?。ɡ缧辛惺剑┣蟪鲎顑?yōu)的區(qū)間間隔τ．在最小化（8）式時會出現(xiàn)一個依賴待估參數(shù)的估計值，但待估參數(shù)未知的難題．解決此問題，一種方法是代入待估參數(shù)的初始值進行計算．值得注意的是當(dāng)t的個數(shù)接近待估參數(shù)個數(shù)時，{tm}的選擇對算法的有效性影響是非常大的．當(dāng)m達到某個值之后，經(jīng)驗特征函數(shù)算法的漸進有效性并不隨著t的個數(shù)增加而增加（或減小）．為驗證此結(jié)論成立，假設(shè)有k個網(wǎng)格點t1,t2,…,tk，此時其漸進協(xié)方差矩陣為現(xiàn)假設(shè)前k個網(wǎng)格點值不變，增加一個或多個網(wǎng)格點，此時漸進協(xié)方差矩陣為其中由此看出，在最初的網(wǎng)格點的基礎(chǔ)上增加若干個點，只是增加了矩陣A的列，矩陣Ω的行與列．為了說明矩陣是正定矩陣，首先我們先說明它是半正定矩陣．對于分塊矩陣的逆正則化，則有：

2 模 擬

樣本量n分別取50、 1 00、200，ξ固定等于0，ω固定等于1，α分別取-3、-2、-1、1、2、3等六個不同的值，分別使用經(jīng)驗特征函數(shù)算法和含有懲罰項的極大似然估計算法對三個參數(shù)重復(fù)進行500次估計，以絕對偏差和均方誤差（MSE）為標(biāo)準，對比兩種算法的穩(wěn)定性．

當(dāng)樣本量n=50時，根據(jù)多次重復(fù)計算的結(jié)果，求出兩種算法所對應(yīng)的絕對偏差和MSE．為更佳直觀的分析，現(xiàn)畫出不同α值下三個參數(shù)所對應(yīng)的絕對偏差和MSE 的圖像，如圖1 所示．

圖1 當(dāng)n=50，α取不同值時，兩種不同方法所得估計值的絕對偏差和MSEFig 1 The Absolute Deviation and MSE of the Estimated Value through Two Different Methods Whenn=50andαChooses Different Values

由圖1 可以看出兩種算法關(guān)于α的估計值的絕對偏差都較大，但與含有懲罰項的極大似然估計算法相比，經(jīng)驗特征函數(shù)算法關(guān)于α的估計值的絕對偏差要小些，說明經(jīng)驗特征函數(shù)算法求得的估計值偏離真實值的程度更小，求得的α估計值的平均值更接近于真實值．兩種算法對于位置、尺度兩個參數(shù)估計的MSE 都很小，由于形狀參數(shù)難以估計，經(jīng)驗特征函數(shù)算法對于α的估計容易受到初始值的影響，所以形狀參數(shù)的MSE 出現(xiàn)很大的波動，因此兩種算法都是不穩(wěn)定的．從整體上看，當(dāng)樣本量很小時，經(jīng)驗特征函數(shù)算法略優(yōu)于含有懲罰項的極大似然估計算法．

當(dāng)樣本量n=100時，根據(jù)多次重復(fù)計算的結(jié)果，求出兩種算法所對應(yīng)的絕對偏差和MSE.為更佳直觀的分析，現(xiàn)畫出不同α值下三個參數(shù)所對應(yīng)的絕對偏差和MSE 的圖像，如圖2 所示．

圖2 當(dāng)n=100，α取不同值時，兩種不同方法所得估計值的絕對偏差和MSEFig 2 The Absolute Deviation and MSE of the Estimated Value through Two Different Methods Whenn=100andαChooses Different Values

由圖2 可以看出，兩種算法的絕對偏差都較小，但與含有懲罰項的極大似然估計算法相比，經(jīng)驗特征函數(shù)算法對于三個參數(shù)估計的絕對偏差要小些，說明經(jīng)驗特征函數(shù)算法求得的估計值偏離真實值的程度更小，求得的估計值的平均值在真實值附近．兩種算法對于位置、尺度兩個參數(shù)估計的MSE 都很小．由于樣本量較小，兩種算法對于α的估計出現(xiàn)一些波動，使得形狀參數(shù)的MSE 大于1，兩者間的差距不大，因此兩種算法有效性一般．從整體上看，經(jīng)驗特征函數(shù)算法優(yōu)于含有懲罰項的極大似然估計算法．

當(dāng)樣本量n=200時，根據(jù)多次重復(fù)計算的結(jié)果，求出兩種算法所對應(yīng)的絕對偏差和MSE．為更佳直觀的分析，現(xiàn)畫出不同α值下三個參數(shù)所對應(yīng)的絕對偏差和MSE 的圖像，如圖3 所示．

圖3 當(dāng)n=200，α取不同值時，兩種不同方法所得估計值的絕對偏差和MSEFig 3 The Absolute Deviation and MSE of the Estimated Value through two Different Methods Whenn=200andαChooses Different Values

由圖3 可以看出，兩種算法的絕對偏差都較小，但與含有懲罰項的極大似然估計算法相比，經(jīng)驗特征函數(shù)算法對于三個參數(shù)估計的絕對偏差要小些，說明經(jīng)驗特征函數(shù)算法求得的估計值偏離真實值的程度更小，求得的估計值平均值在真實值附近．兩種算法對于位置、尺度兩個參數(shù)估計的MSE 都很小．由于形狀參數(shù)難以估計，經(jīng)驗特征函數(shù)算法對于α的估計容易受到初始值的影響，所以形狀參數(shù)的MSE 出現(xiàn)波動，但兩者對于形狀參數(shù)α的估計的MSE 都小于0.8，兩者間的差距不大，因此兩種算法都是穩(wěn)定的．從整體上看，經(jīng)驗特征函數(shù)算法優(yōu)于含有懲罰項的極大似然估計算法．因此，從整體上看，當(dāng)n≤200時，經(jīng)驗特征函數(shù)算法對一元偏正態(tài)分布的參數(shù)估計的有效性好于含有懲罰項的極大似然估計算法．

3 結(jié) 論

本文介紹了經(jīng)驗特征函數(shù)算法，并對一元偏正態(tài)分布的位置、尺度、形狀三個參數(shù)進行了估計，畫出了由估計值擬合出來的概率密度函數(shù)圖像，以絕對偏差、MSE 為標(biāo)準，與現(xiàn)存的含有懲罰項的極大似然估計算法進行了對比，結(jié)果表明本文所給算法優(yōu)于含有懲罰項的極大似然估計算法．