反證法在初中平面幾何解題教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】平面幾何在初中數(shù)學(xué)知識體系中占據(jù)重要地位．本文運用反證法從基本命題，位置關(guān)系，“至多”“至少”等形式的命題，否定性命題四個方面解初中平面幾何題，同時對平面幾何教學(xué)過程中應(yīng)用反證法解題的策略進(jìn)行總結(jié)，并從高度重視培養(yǎng)學(xué)生逆向思維、注重反證法方式方法、波利亞解題思想融入反證法教學(xué)角度，提出了相應(yīng)的教學(xué)建議，打破學(xué)生固有的思維模式，鍛煉其邏輯思維能力，不斷提高邏輯推理與逆向思維能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；反證法；平面幾何；逆向思維

1引言

平面幾何在中學(xué)課程內(nèi)容模塊“圖形與幾何”領(lǐng)域中占據(jù)核心地位，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.反證法是一種常見的解題方法[3]，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有顯著作用.反證法的應(yīng)用思路是假設(shè)命題結(jié)論是錯誤的，從這個假設(shè)出發(fā)通過推理進(jìn)行論證，并根據(jù)已知條件和相關(guān)原則得出與已知事實相矛盾的結(jié)果，從而證明論題的正確性．故反證法是通過否定與命題相反的一面來證明事物的真實性，是一種間接的、讓步的證明方法．反證法在平面幾何解題中應(yīng)用十分廣泛[4]，在證明某些幾何量之間的關(guān)系時，有助于從一個假設(shè)出發(fā)，通過邏輯推理揭示矛盾，從而驗證原命題的正確性[5].

2反證法在初中平面幾何解題教學(xué)中的具體應(yīng)用

筆者將適用反證法證明的平面幾何問題分為四類：基本命題、位置關(guān)系、“至多”“至少”等形式的命題、否定性命題，下面分別通過實例來說明反證法在初中平面幾何中的應(yīng)用．

2.1基本命題

在平面幾何中，證明一些基本命題（學(xué)科中的初始命題）時，往往會由于缺少已有定理或命題的支撐而難以直接證明.此時，若運用反證法，從結(jié)論出發(fā)，否定原始結(jié)論以增加已知條件，可降低證明難度．

例1證明平行線性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等．

分析由題意可得，如圖1所示，證明∠1=∠2．從正面直接證明是比較困難的，故考慮從問題的反面進(jìn)行證明.先假設(shè)同位角∠1與∠2不相等，則可做出一個與∠1相等的角∠3，根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”，得到直線l1平行于直線l3，與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾.

小結(jié)平行線性質(zhì)定理的證明是學(xué)生第一次接觸到反證法在平面幾何中的運用.題目所給條件太少，正向推導(dǎo)難，故嘗試運用反證法.在教學(xué)過程中，注意啟發(fā)學(xué)生遇到類似的初始命題時，學(xué)會多維度分析問題，正向思維不通，嘗試從問題反面入手，判斷哪些關(guān)鍵詞需要改變，哪些關(guān)鍵詞可作為證明時的條件．

2.2位置關(guān)系

在平面幾何中判斷點與線、線與線之間的位置關(guān)系時，往往有定義法和反證法兩種方法，若用定義法難以直接證明，運用反證法則具有獨特優(yōu)勢．

例2如圖2，已知：直線AB與CD相交于O，EF⊥AB于點F，GH⊥CD于點H．求證：EF和GH必相交．

分析已知AB交CD于O，EF⊥AB于F，GH⊥CD于H，需證明EF與GH一定相交.貌似這是一個不需要證明便可得知的結(jié)論，但是正面難以證明，可考慮從結(jié)論入手，運用反證法進(jìn)行求證．對結(jié)論進(jìn)行反設(shè)，于是假設(shè)EF∥GH，則它們的垂線AB∥CD，與題設(shè)矛盾．

小結(jié)此類證明兩幾何量之間的位置關(guān)系的題目，運用定義法直接證明較為棘手，可聯(lián)想到反證法，會使得證明更加簡潔與高效．在反設(shè)時通常選擇要求證的結(jié)論，即求題干的逆否命題為真命題，因此要明確兩幾何量之間可能存在的所有位置關(guān)系，否定了一種位置關(guān)系，其余的位置關(guān)系選擇很重要．通過分析發(fā)現(xiàn)常規(guī)思維解決本題較為繁瑣，而反證法恰好能規(guī)避許多麻煩.將題干中需要求證的結(jié)論進(jìn)行反設(shè)，如若得出來的結(jié)論與條件不符，即與題干矛盾，從而得證. 在確定兩幾何量位置關(guān)系的教學(xué)過程中，要有意識啟發(fā)學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，幫助學(xué)生沖破常規(guī)思維模式的束縛.

2.3“至多”“至少”形式的命題

證明此類命題時，若從正面出發(fā)，需要分多種情況討論，非常復(fù)雜，故首選反證法．例如當(dāng)遇到“至少有一個元素具備某種性質(zhì)”，若將此結(jié)論否定，便可得到“沒有一個元素具備該性質(zhì)”，用此否定論斷進(jìn)行證明會更加簡便．

例3求證一個三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°.

分析如圖3，已知△ABC，題目可轉(zhuǎn)化為求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°．若從正面進(jìn)行證明，“至少”這個條件將要求我們進(jìn)行分類討論，使得證明過程變得繁瑣．于是可考慮運用反證法，將“至少有一個”反設(shè)為“一個都沒有”，即假設(shè)三角形的三個內(nèi)角都小于60°，則可得其內(nèi)角和小于180°，與“三角形的內(nèi)角和等于180°”相矛盾．

小結(jié)面對含有“至少”“至多”這類表范圍和數(shù)量的詞的問題，往往從反面進(jìn)行證明，將其否定之后會使得應(yīng)考慮的情況減少，從而更有利于證明．例如：本題中的“至少有一個”若從正面進(jìn)行證明則要分為“有一個內(nèi)角大于或等于60°”“有兩個內(nèi)角大于或等于60°”“有三個內(nèi)角等于60°”這三種情況，而將其反設(shè)之后，只需證明“三個內(nèi)角都小于60°”這一種情況．這種逆向思維的運用可化繁為簡、化難為易，不僅提高了學(xué)生的解題速度，還在很大程度上提升了學(xué)生的邏輯思維能力.

2.4否定形式命題

結(jié)論中出現(xiàn)“不能……”“不是……”等形式的命題，稱之為否定性命題．證明研究對象“不存在”或“不具有”某種性質(zhì)時，通常用反證法進(jìn)行證明．因為此類命題的論斷不是特別明確，用直接法難以證明，而否定此類命題的結(jié)論就是肯定，相較于直接證明否定會比較簡單．

例4如圖4，在梯形ABCD中，AD‖BC，對角線AC與BD相交于P，過P作與梯形底邊AD平行的直線，交AB于M，交CD于N．求證：MN不可能是梯形ABCD的中位線．

分析觀察題目可知，該題為否定性命題的證明，采用反證法能使證明更簡便．基于結(jié)論進(jìn)行反設(shè)，得“MN是梯形ABCD的中位線”，由中位線的性質(zhì)定理可知，點P為BD，AC的中點，由邊角邊得△PBC≌△PDA，所以AD=BC，這與梯形的定義相矛盾，得證．

小結(jié)否定性命題從正面證明難以找到公理、定理作為理論支撐，因此這類問題運用反證法便能迎刃而解．以本題為例，要證MN不是中位線，即可假設(shè)MN是中位線，由中位線這一條件一步步延伸推出矛盾得出結(jié)論，使得證明過程更加簡潔、流暢．反證法在該種題型中的運用有效地簡化了數(shù)學(xué)問題，提高了學(xué)生的解題效率，逆向思維的運用能提升學(xué)生的推理素養(yǎng).

3教學(xué)建議

高度重視培養(yǎng)學(xué)生逆向思維 反證法是數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的解題方法，反證法是間接證明法中的一種，在平面幾何中，許多題目過于抽象或者幾何圖形不能被直觀地表現(xiàn)出來，利用反證法解答此類問題，常常會事半功倍.因此，教師要提高自身對反證法的重視程度．教師要在初中階段為學(xué)生夯實基礎(chǔ)，注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，不斷提高理解方式和思維方式．教師還要不斷提升自身對反證法的數(shù)學(xué)知識與教學(xué)知識的理解與運用，注重與同事之間的合作交流以及對自身的教學(xué)反思．

注重反證法方式方法 反證法本身具有高度的抽象性，教師要合理運用生活實例引入反證法．若在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中生硬地介紹反證法的理論并直接運用于解題過程中，會讓學(xué)生學(xué)得莫名其妙．為了化“虛”為“實”，教師在教授反證法的時候，需要將課堂引入趣味化、生動化、形象化，有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．例如，可引入“路邊苦李”這一故事，教師可提問：“為什么路邊隨手摘的李子一定是苦的呢？”可引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考，讓學(xué)生有豁然之感．接著進(jìn)入反證法的歸謬階段，詢問學(xué)生：從反面思考后，是否發(fā)現(xiàn)了與常識、事實相矛盾的地方？引導(dǎo)學(xué)生思考：如果李子是甜的，而且長在路邊隨手可摘，合理嗎？讓學(xué)生自主闡述不合理的地方．通過生活實例、理解應(yīng)用不僅可以幫助學(xué)生更加容易理解反證法的本質(zhì)，同時鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用意識與實踐能力．學(xué)生理解反證法本質(zhì)后，應(yīng)用解題時通過引導(dǎo)、討論等，進(jìn)一步加深學(xué)生知識理解，提高反證法應(yīng)用能力，提升學(xué)生思維能力與創(chuàng)新意識．

波利亞解題思想融入反證法教學(xué)教師將波利亞解題思想融入反證法教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生的解題思路.波利亞的解題思想強(qiáng)調(diào)從問題的本質(zhì)出發(fā)，通過簡化問題、探索普遍規(guī)律和利用數(shù)學(xué)中的啟發(fā)法來尋找解題策略.將波利亞的解題思想應(yīng)用在反證法解決平面幾何問題中，促使學(xué)生更系統(tǒng)、更完整地解題.第一步，弄清題目，即教師在講解題目時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析題干，理解題意，明確問題，如前文例1；第二步，確定解題方案，引導(dǎo)學(xué)生思考解題時選擇最優(yōu)的方法，如前文例4；第三步，實施解題方案，確定運用反證法解題三部曲：反設(shè)、歸謬、得出結(jié)論；第四步，回顧與反思，問題解決之后要及時進(jìn)行驗算，降低題目的出錯率，并進(jìn)行反思?xì)w納，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力.

4結(jié)語

平面幾何與反證法都是初中數(shù)學(xué)中不可或缺的一部分，本文概述了反證法和平面幾何的相關(guān)內(nèi)容，通過例題評析了反證法在初中平面幾何中的應(yīng)用，并給出了關(guān)于反證法在平面幾何教學(xué)中的建議.學(xué)生使用反證法能簡化難以直接證明的平面幾何問題，提高解題效率，培養(yǎng)知識遷移能力，打破固有的思維模式，鍛煉邏輯思維能力，不斷提高邏輯推理與逆向思維能力．

【本文系國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目“面向情緒腦電多域特征提取的張量分解算法研究”研究成果，課題編號：202310663051】

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