探究阿波羅尼斯圓的數(shù)學文化價值*

☉福建省泉州石獅市華僑中學 馮聯(lián)英

目前，數(shù)學文化越來越被重視，2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中就強調(diào)要把數(shù)學文化教育貫穿整個高中數(shù)學課程并融入教學中，這突出了數(shù)學的文化價值.《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）把數(shù)學文化列入高中課程，并提出在數(shù)學教學中要注重數(shù)學文化的滲透.近年來，體現(xiàn)數(shù)學文化的內(nèi)涵與價值的高考題也頻頻出現(xiàn)，從而大大提升了數(shù)學文化的價值.基于這種背景下，嘗試探究阿波羅尼斯圓的文化價值.

一、知識生成中探究阿波羅尼斯圓的數(shù)學文化價值

在數(shù)學知識形成的過程中，包含了步驟、方法、技巧、思想及數(shù)學文化等諸多內(nèi)容.而課堂教學不僅要讓學生知其然，更要讓學生知其所以然.因此，教師在教學時應注重知識的發(fā)現(xiàn)與形成過程，并將數(shù)學文化滲透到各個數(shù)學知識的生成中，讓學生對知識的認識和理解進一步深化，不斷培養(yǎng)學生探究問題的能力.例如，在引出阿波羅尼斯圓時，可以作如下探究：

1.引出阿波羅尼斯圓

題源：（人教A版必修2第124頁B組習題3）已知點P（x，y）與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，求點P的軌跡，并求出它的方程.

分析：這是一道以阿波羅尼斯圓為背景的題，已知的是幾何關系，顯然只需將這個幾何關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關系，化簡即可.

變式1：點P（x，y）與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為1呢？

變式2：點P（x，y）與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為λ呢？

變式3：設O、A是平面內(nèi)的兩個定點，平面內(nèi)的動點P滿足呢？

分析：設兩定點之間的距離為2a，距離之比為λ（λ＞0，λ≠1），以兩定點所在直線為x軸，中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，可得方程為其軌跡是以為圓心，為半徑的圓.此圓即為阿波羅尼斯圓.

這種用循序漸進、從特殊到一般的探究方式引出阿波羅尼斯圓，自然流暢，學生更容易接受.在建構阿波羅尼斯圓的同時，感受數(shù)學文化的魅力；在拓展和延伸阿波羅尼斯圓問題時滲透數(shù)學文化，體驗數(shù)學文化的價值.

2.介紹阿波羅尼斯

阿波羅尼斯，出生于亞細亞西北部的城市柏加，他青年時代曾客居亞歷山大城，追隨歐幾里得的學生學習數(shù)學，是亞歷山大時期的數(shù)學三巨匠之一，是繼歐幾里得、阿基米德之后的著名數(shù)學家.他對圓錐曲線作了系統(tǒng)而深刻的研究，《圓錐曲線》是他的代表作，他的主要研究成果都集中在這部代表作里，他的研究成果之一就是阿波羅尼斯圓.

通過探究與阿波羅尼斯圓相關的典型題及其變式，將數(shù)學文化融入數(shù)學知識生成中的同時，穿插介紹阿波羅尼斯及其研究成果，使枯燥無味的數(shù)學變得富有趣味和探索意義.

3.深化阿波羅尼斯圓

探究阿波羅尼斯圓這種經(jīng)典的數(shù)學文化題，不僅讓學生的知識體系得到進一步完善，探究經(jīng)驗得到進一步積累，同時也為今后的學習與發(fā)展奠定了基礎.如阿波羅尼斯圓條件中“到兩個定點的距離之比”改為“之積”后的點的軌跡是什么；同樣，把“距離之比”分別改為“之和”、“之差”呢；或把“兩定點”中的其中之一改為“定直線”，則動點軌跡又是什么；或把“兩定點”中的其中之一改為“定直線”，則距離之和為定值的動點軌跡又是什么等.這樣，利用所學知識進行探究，將以阿波羅尼斯圓為背景的問題進一步深化和升華，把數(shù)學文化滲透到數(shù)學教學中，變換思維視角，領悟數(shù)學思想，體驗探究樂趣，激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)精神品質(zhì).

二、高考中探究阿波羅尼斯圓的文化價值

阿波羅尼斯圓是幾何中的經(jīng)典問題，它有著豐富的學術價值和教育價值，是一個重要的題源，在高考中頻頻出現(xiàn).如2005年高考江蘇卷19，2006年高考四川卷理6，2008年高考江蘇卷13，2010年高考江蘇卷18，2011年高考四川卷理21，2011年高考山東卷文22，2013年高考江蘇卷17，2015年高考湖北卷理14，如果掌握阿波羅尼斯圓的知識背景，那么在解題時能很快找到求解的方向，降低求解問題的難度.

例1（2008年高考江蘇卷13）若AB=2，AC=則S△ABC的最大值為______.

解法1：利用余弦定理和函數(shù)的最值問題來處理.

該法從余弦定理入手，雖然入手低，但計算量大，得分率不高.

解法2：建立平面直角坐標系處理最值問題.

以AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0）.

解法3：利用阿波羅尼斯圓.

顯然這是阿波羅尼斯圓，以AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，設A（-1，0），B（1，0），動點C（x，y），由BC得，化簡得（x-3）2+y2=8.因此點C的軌跡是以D（3，0）為圓心為半徑的圓，所以點C到AB的最大距離為半徑，故S△ABC的最大值為

本題雖然用解法1，2能解決，但用阿波羅尼斯圓去解，運算量小得多，該題體現(xiàn)了高考命題多思少算的指導思想，體現(xiàn)了課程中滲透數(shù)學文化的基本理念和考試大綱對數(shù)學文化的考查要求，也體現(xiàn)了數(shù)學文化在選拔性考試中獨特的點石成金的作用.

例2（2013年高考江蘇卷17）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），設圓C的半徑為1，圓心在直線l：y=2x-4上.（1）略；（2）若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

分析：這也是一道與阿波羅尼斯圓相關的高考題，由|MA|=2|MO|可知，點M的軌跡是阿氏圓D，又點M在動圓C上運動，所以原問題轉(zhuǎn)化為圓C與圓D有公共點，即兩圓相交或相切.

所以點M在以D（0，-1）為圓心，2為半徑的圓上.由題意知，點M（x，y）在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則2-1≤|CD|≤2+1，即，整理得-8≤5a2-12a≤0，得

探究點M的軌跡是該題的難點，而點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，突破了這個難點，將可轉(zhuǎn)化為求兩圓的位置關系問題.解決這類問題，要抓住阿波羅尼斯圓的概念本質(zhì)，特別當點的軌跡比較隱蔽時，常常要把問題轉(zhuǎn)化為點與點的距離、點到線的距離，或直線和圓的位置關系、圓和圓的位置關系來處理.學生在這樣的探究過程中，經(jīng)歷了阿波羅尼斯圓的發(fā)現(xiàn)、探索特征規(guī)律，形成研究方法，積累解題經(jīng)驗，從而提升學生的核心素養(yǎng)，體驗數(shù)學文化的價值.

數(shù)學文化是豐富多彩的，它是人類文化寶庫中的奇葩.它讓學生體會到數(shù)學與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會到數(shù)學的意義，數(shù)學文化的價值，不僅帶給學生數(shù)學文化知識，而且也帶給學生數(shù)學思想和數(shù)學方法，是文學修養(yǎng)和科學理念，是審美情操和理性思維，這些將會讓學生受益終身.因此，在數(shù)學活動中，要充分研究教學資源，挖掘數(shù)學文化價值.