例談利用切線解決不等式問(wèn)題

☉湖北省通山縣第一中學(xué) 萬(wàn)小勇

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，常見(jiàn)的命題角度有利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立中的參數(shù)的范圍問(wèn)題.對(duì)于這些問(wèn)題的解決，一般采用分類討論法或分離參數(shù)法.通過(guò)對(duì)大量相關(guān)試題的處理發(fā)現(xiàn)，有些題目處理起來(lái)比較煩瑣，那么有沒(méi)有其他的辦法解決這類問(wèn)題呢？下面通過(guò)例題談?wù)劺们芯€的方式解決這類問(wèn)題.

題型1：利用切線證明不等式

例1已知f（x）=ex（x+1），g（x）=-x2+2x+1.證明：f（x）≥g（x）.

圖1

證明：顯然f（x），g（x）都過(guò)點(diǎn)（0，1），考慮f（x），g（x）在（0，1）處的切線，對(duì)f（x）求得切線方程為y=2x+1，對(duì)g（x）求得切線方程為y=2x+1，要證f（x）≥g（x），不妨證明f（x）≥2x+1≥g（x），先證明f（x）≥2x+1，記h（x）=ex（x+1）-2x-1，則h′（x）=ex（x+2）-2.

當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞1，x+2＞2，所以h′（x）＞0；

當(dāng)x＜0時(shí)，ex（x+2）＜2ex＜2，所以h′（x）＜0.

所以h（x）在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增.

所以h（x）≥h（0）=0，即ex（x+1）≥2x+1.

再證明2x+1≥g（x），令t（x）=（2x+1）-（-x2+2x+1）=x2≥0.

上式恒成立，所以ex（x+1）≥2x+1≥-x2+2x+1.所以f（x）≥g（x）.

題型2：利用不等式中的一次函數(shù)特征，直接考慮轉(zhuǎn)化為曲線在某點(diǎn)處的切線，解決不等式問(wèn)題

例2設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x，若?x∈［0，+∞），恒有f（x）≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

圖2

分析：對(duì)于此題可以考慮構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-ax，求g（x）min≥0，顯然需要分類討論，當(dāng)然也可以通過(guò)分離參數(shù)來(lái)解決，但如果我們注意到f（x）=ex-e-x≥ax（x≥0）的幾何意義是：曲線y=ex-e-x（x≥0）恒在射線y=ax（x≥0）的上方，那么就可以考慮利用切線為界線來(lái)處理.

解：因?yàn)閒′（x）=ex+e-x，則f（x）在x=0處的切線方程為y=2x.

易證f（x）≥2x（x≥0）恒成立，則要f（x）≥ax成立，只需f（x）≥2x≥ax成立，所以a≤2.

題型3：通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)，進(jìn)而考慮曲線在某點(diǎn)處的切線來(lái)解決不等式問(wèn)題

例3已知函數(shù)f（x）=sinx-xcosx（x≥0），若?x∈［0，+∞），不等式f（x）≤ax3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：因?yàn)閒（x）=sinx-xcosx（x≥0），又由f（x）≤ax3得所以記則g（x）≤ax的幾何意義為g（x）對(duì)應(yīng)的曲線恒在射線y=ax（x＞0）下方.考慮g（x）在x=0處的切線.

圖3

由上觀之，在上述問(wèn)題的處理中，考慮以切線為臨界位置，不等式左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的曲線以切線為界，借助于切線，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔，為我們處理不等式證明或利用不等式恒成立解決參數(shù)問(wèn)題提供了一個(gè)不錯(cuò)的思路.

【回顧高考】

利用這種解題策略來(lái)看看在高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題中如何應(yīng)用.

題1（2017年全國(guó)卷Ⅱ，文）設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）考慮f（x）在x=0處的切線，因?yàn)閒′（x）=ex（-x2-2x+1），所以f′（0）=1.所以f（x）在x=0處的切線方程為x-y+1=0.

由圖像（圖4）知f（x）≤x+1，接下來(lái)證明這個(gè)不等式.記h（x）=ex（1-x2）-x-1，則h′（x）=ex（-x2-2x+1）-1，令t（x）=ex（-x2-2x+1）-1，則t′（x）=ex（-x2-4x-1）＜0，所以t（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減，所以t（x）≤t（0）=0，所以h′（x）≤0，所以h（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減.所以h（x）≤h（0）=0.所以ex（1-x2）≤x+1.所以要使f（x）≤ax+1恒成立，顯然只需x+1≤ax+1恒成立.所以a≥1.

圖4

題2（2008年全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)函數(shù)

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對(duì)任意x≥0都有f（x）≤kx，求實(shí)數(shù)k的范圍.

解析：（1）略.

故當(dāng)x∈［0，arccos3k）時(shí)，h′（x）>0，因此h（x）在［0，arccos3k）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（0，arccos3k）時(shí)，h（x）>h（0）=0，即sinx>3kx.