漫談解析幾何問題的解題策略

☉江蘇省宜興市和橋高級中學(xué) 吳艷煒

☉江蘇省宜興市和橋高級中學(xué) 繆澤娟

說到解析幾何，給人的第一印象就是運(yùn)算，煩瑣的運(yùn)算總是讓人崩潰，因害怕運(yùn)算而害怕解析幾何的學(xué)生不在少數(shù).筆者曾經(jīng)做過一個試驗，給學(xué)生出了兩道題：一道是三角函數(shù)恒等變換求值的題目，另一道是解析幾何中的定值證明題，要求學(xué)生擇其一加以完成，結(jié)果全班學(xué)生不約而同地選擇了三角函數(shù)恒等變換求值的題目，這足以看出學(xué)生是多么害怕解析幾何中的運(yùn)算.學(xué)生害怕的主要原因是什么呢？筆者又進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，他們主要害怕找不到解決解析幾何問題合理的方法，因為方法不恰當(dāng)導(dǎo)致計算無休止，導(dǎo)致“無功而返”.由此看來，教師教給學(xué)生知識的同時傳授方法更重要，尤其是解析幾何.如何讓學(xué)生擺脫害怕解析幾何的心理呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該多多傳授解析幾何的解題策略，讓他們感受到解析幾何的運(yùn)算并非“猙獰恐怖”，而是有章可循的，方法得當(dāng)，堅持運(yùn)算，也可輕松達(dá)到成功.

一、教會學(xué)生立足定義，返璞歸真

何為解析幾何，就是代數(shù)化的幾何.解題時，既要重視圖形幾何特征的挖掘，又要善于運(yùn)用圓錐曲線的定義，以圖形（數(shù)形結(jié)合）為指導(dǎo)，以定義應(yīng)用為根本.這樣既可簡化運(yùn)算，又可加深對圓錐曲線定義的理解.因此，教師在解析幾何的習(xí)題教學(xué)中要不斷滲透圖形意識，不斷加強(qiáng)定義意識，讓學(xué)生感受到定義法的優(yōu)越性.

例1如圖1所示，F(xiàn)1、F2分別是橢圓b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1.

圖1

（1）若|PF1|=2+，|PF2|=2-，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若|PF1|=|PQ|，求橢圓的離心率e.

分析：解題思想：從橢圓定義出發(fā)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；解題方法：根據(jù)橢圓定義，構(gòu)造三角形，進(jìn)而直接計算a與c的值，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為含有字母a與c的齊次方程，從而算出離心率.

解：（1）根據(jù)橢圓的定義，有，故a=2.

設(shè)橢圓的半焦距為c，則PF2⊥PF1?△PF1F2是直角三角形，于是，即，所以b=.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）如圖1所示，連接QF1，根據(jù)橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，

由|PF1|=|PQ|，有|QF1|=4a-2|PF1|.

點(diǎn)評：一切數(shù)學(xué)性質(zhì)或定理都源于數(shù)學(xué)定義，圓錐曲線也不例外.橢圓的定義其實就是一個恒等式，體現(xiàn)出數(shù)與形的關(guān)系，抓住這個定義，把定量計算與定性分析有機(jī)地結(jié)合在一起，能夠幫助我們看清解析幾何問題的本質(zhì)，從而找到最快捷，最切實可行的方法.

二、教會學(xué)生利用圖形，巧妙轉(zhuǎn)化

如何實現(xiàn)幾何條件代數(shù)化，關(guān)鍵在于充分利用圖形.解決解析幾何問題的一般思路或步驟是：先將圖形中的各元素代數(shù)化，再通過代數(shù)運(yùn)算得出結(jié)論，最后將結(jié)論“返還”解析幾何.從這個過程中不難發(fā)現(xiàn)，解解析幾何問題主要有兩個任務(wù)：一是如何將幾何問題代數(shù)化（思維能力），二是如何計算代數(shù)問題（運(yùn)算能力），前者是基礎(chǔ)，后者是保障，二者缺一不可.那么問題來了，如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題？這就是我們教學(xué)的重點(diǎn)之一.我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動地去理解幾何對象的本質(zhì)特征，教會他們善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來，并能恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，要做到這一點(diǎn)，我們必須要引導(dǎo)學(xué)生在審題上下功夫.

例2假設(shè)橢圓滿足橢圓上的三個點(diǎn)與橢圓的中心剛好構(gòu)成正方形，那么這個橢圓的離心率是（ ）.

分析：解題思想：利用圖形，數(shù)形結(jié)合；

解題方法：由圖形（橢圓與正方形）的對稱性特征，知正方形的對角線長就是橢圓的長半軸，并可以計算出如圖2所示的正方形在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用字母a表示），將其代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就可得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的關(guān)系式，從而求出離心率.這里用到了正方形對角線的性質(zhì)：相等，互相垂直且平分.

圖2

解：由題意知，點(diǎn)在橢圓上，將這個點(diǎn)代入橢圓方程，得，故選D.

點(diǎn)評：從本題的分析與解答看出，對圖形特征分析的重要性.解答本題必須明確兩點(diǎn)：第一是正方形的三個點(diǎn)在橢圓上的位置，有一個頂點(diǎn)必須是橢圓長軸的端點(diǎn)，若是短軸的端點(diǎn)就不可能構(gòu)成正方形；第二是在橢圓上與橢圓的對稱軸相交的弦的中垂線，一定不經(jīng)過橢圓的對稱中心，即

三、教會學(xué)生設(shè)而不求，消參歸一

由于解析幾何的運(yùn)算比較繁雜冗長，學(xué)生往往會產(chǎn)生懼怕心理.在教學(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)，提問學(xué)生如何解答這類問題時，他們往往能說會道，且句句在理，可一旦叫他們加以運(yùn)算時，他們則磨磨唧唧，倒騰了半天也得不出結(jié)果.究其原因就是因方法不當(dāng)而半途而廢.所以在教學(xué)中，教師在課堂上不僅要讓學(xué)生實戰(zhàn)演習(xí)，還要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的求簡意識，以提高他們數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).尤其是要教會他們“設(shè)而不求”和整體代換的解題技巧，讓他們學(xué)會化難為易，化繁為簡的技巧，從而走出煩瑣計算的陰影，樹立成功解題的信心.

例3如圖3所示，已知橢圓，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓交于P，A兩點(diǎn)，點(diǎn)P位于第一象限，過P作x軸的垂線，C為垂足，連接AC并延長與橢圓交于點(diǎn)B，設(shè)k是直線PA的斜率.求證：對于任意k＞0，都有PA⊥PB.

圖3

分析：解題思想：用“設(shè)而不求”思想討論與橢圓有關(guān)的直線的位置關(guān)系；解題方法：設(shè)直線PA方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P，A，C的坐標(biāo)，先求出直線AB的方程，再求得PB的斜率，從而得到kPA×kPB=-1.或利用點(diǎn)差法直接證明kPA×kPB=-1，從而證明PA⊥PB.

證法1：將直線PA的方程y=kx代入，解得，則P（μ，μk），A（-μ，-μk），于是C（μ，0），故直線AB的斜率為，其方程為，代入橢圓方程得（k2+2）x2-2μk2x-μ2（3k2+2）=0，解得或x=-μ（舍去），因此于是直線PB的斜率，因此k1k=-1，故PA⊥PB.

證法2：設(shè)P（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），B（x2，y2），則A（-x1，-y1），C（x1，0），且兩式相減得，即，即故.所以所以PA⊥PB.

點(diǎn)評：本題的解答告訴我們：增強(qiáng)解題的目標(biāo)意識，尋求題中各元素間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘內(nèi)在的幾何意義，通過整體代換，實現(xiàn)設(shè)而不求，簡潔明了、準(zhǔn)確解題，這是解答解析幾何綜合題的總策略、總原則.比較本題給出的兩種解法不難發(fā)現(xiàn)，證法1是常規(guī)方法，思維比較自然，但計算量大；而證法2，則根據(jù)P，B兩點(diǎn)在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程，再利用點(diǎn)差法，很順暢地求出了，再利用，得到結(jié)論，充分體現(xiàn)出設(shè)而不求“點(diǎn)差法”的優(yōu)越性.

本文最后值得一提的是，方法與策略雖好，但只是理論上的東西，要把這些理論轉(zhuǎn)化為學(xué)生的能力，教師必須在教學(xué)中親力親為，必須起到引領(lǐng)示范作用，同時要在課堂上舍得花時間讓學(xué)生練習(xí)，只有這樣才能提高學(xué)生的解析幾何運(yùn)算能力.