高中數(shù)學(xué)常用思想方法舉隅

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級(jí)中學(xué) 王光華

一、問(wèn)題背景

數(shù)學(xué)思想，即對(duì)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)知，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化表現(xiàn)，兩者的實(shí)質(zhì)相同，只是側(cè)重點(diǎn)不同，但最終都通過(guò)數(shù)學(xué)方法表現(xiàn)出來(lái).高中數(shù)學(xué)內(nèi)容繁多，難度較大，但是大多數(shù)問(wèn)題是有規(guī)律可循的，即通過(guò)特定的數(shù)學(xué)方法可以準(zhǔn)確解答.常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論及類比.

二、數(shù)學(xué)思想方法解題策略

在解題過(guò)程中靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，能夠加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，使其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)與獨(dú)立思考能力得到提升，創(chuàng)新思維能力也得到加強(qiáng).同學(xué)們可以體會(huì)到任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程都是分析與方法選用的結(jié)果，從而對(duì)數(shù)學(xué)的畏難情緒也得到有效改善.本文結(jié)合蘇教版高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際，著重講解以下思想方法的應(yīng)用.

1.函數(shù)與方程

方程思想與函數(shù)思想聯(lián)系緊密，在實(shí)際解題中往往會(huì)組合出現(xiàn)，常見(jiàn)的題型有參數(shù)問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、最值問(wèn)題等，方程的解與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化就是典型的函數(shù)與方程問(wèn)題.

例1關(guān)于x的方程x2-|x|+a-1=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，試求解a的取值范圍.

解析：本題已知方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，直接求解方程則很難得到結(jié)果，若采用函數(shù)與方程的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，則難度就大大降低.

首先分離參數(shù)，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為x2-|x|=1-a，這時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解就變成了函數(shù)f（x）=x2-|x|與直線y=1-a的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像可知求解可得a的取值范圍為

借助函數(shù)與方程的思想方法解決問(wèn)題最關(guān)鍵的就是簡(jiǎn)化問(wèn)題的形式，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，常用的解題思路有構(gòu)造函數(shù)、分離參數(shù)等.

2.轉(zhuǎn)化與化歸

在解題過(guò)程中，尋找題目中已知條件之間的聯(lián)系，按照一定的方法原則將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的條件，這就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

例2如圖1所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，其中AA′=4，M是AA′的中點(diǎn)，P是BC上的一點(diǎn)，已知點(diǎn)P沿著棱柱的側(cè)面經(jīng)過(guò)CC′到AA′的最短路徑為，假設(shè)該最短路徑與CC′交于點(diǎn)N，試求解：

（1）PC與NC的長(zhǎng)；

（2）三棱錐C-MNP的體積.

解析：已知條件中含有最短路徑的信息，即立體幾何中的最值問(wèn)題，可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

圖1

圖2

（1）如圖2所示，將三棱柱沿著側(cè)棱BB′展開，假設(shè)PC的長(zhǎng)度為x，易知MP2=MA2+（AC+x）2，因?yàn)镸A=2，AC=3，所以可得x=2，即PC=2.又因?yàn)镹C∥AM，可得故

在解決這類立體幾何中的最值問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思路就是將立體幾何“平面化”，這里用到的就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想.在本題中，求解三棱錐體積時(shí)更換“頂點(diǎn)”的處理方法也是常規(guī)思路.

3.數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合的思想方法就是把“數(shù)”與“形”一體化考量，即實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的結(jié)合.數(shù)形結(jié)合的方法有效地規(guī)避了代數(shù)的抽象性與幾何的粗糙性，從而將代數(shù)的結(jié)構(gòu)、關(guān)系、變化與直觀的幾何圖形聯(lián)系起來(lái).

例3計(jì)算的值.

解析：假設(shè)在單位圓中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（cos20°，sin20°），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（cos40°，sin40°），那么所求表達(dá)式的幾何意義就是單位圓上A、B兩點(diǎn)所連直線的斜率，因此可以繪制出圖形，如圖3所示.∠BCD=∠BOC+，因此直線AB的斜率

圖3

在教材中，三角函數(shù)的定義是借助單位圓來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此在解決有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，借助單位圓來(lái)實(shí)現(xiàn)“圖形化”也是一種有效的解題思路，這就是數(shù)形結(jié)合的思想方法.

4.分類討論

在解題過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求解復(fù)雜且無(wú)法采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題，而將這種復(fù)雜的問(wèn)題情境進(jìn)行劃分，根據(jù)各自的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行求解，這就是分類討論的思想方法，可以將復(fù)雜的問(wèn)題細(xì)化，是一種有效的解題思路.

例4已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5的最大值為2，試求解參數(shù)a的取值范圍.

解析：已知表達(dá)式中含有兩種不同的三角函數(shù)形式，因此很容易想到將函數(shù)名統(tǒng)一.f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5=1-sin2x+asinx-a2+2a+5=-令sinx=t，t∈［-1，1］，則原函數(shù)變?yōu)?a+6，t∈［-1，1］.觀察該表達(dá)式，此為二次函數(shù)形式，且開口向下，對(duì)稱軸為，屬于動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題，因此需要分類討論.

5.類比

應(yīng)用類比的思想方法，可以將已經(jīng)學(xué)過(guò)的、簡(jiǎn)單的思維方法遷移到新接觸的、復(fù)雜的問(wèn)題上，進(jìn)而解決教學(xué)實(shí)踐中遇到的難點(diǎn).

例5已知等差數(shù)列{an}，如果a10=0，則滿足a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19且n為正整數(shù)）.類比上述性質(zhì)，若在等比數(shù)列{bn}中，如果b9=1，則有怎樣的等式？

解析：在等差數(shù)列{an}中，如果a10=0，那么a10前后對(duì)稱位置項(xiàng)的和為0，如a9+a11=0，a8+a12=0，…，因此a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19且n為正整數(shù)）.

通過(guò)類比，在等比數(shù)列{bn}中，如果b9=1，那么b9前后對(duì)稱位置項(xiàng)的積為1，如b8b10=1，b7b11=1，…，因此可得b1b2…bn=b1b2…b17-n（n＜17且n為正整數(shù)）.

在類比等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，最常用到的就是“和”與“積”的類比、“差”與“商”的類比、“算數(shù)平均值”與“幾何平均值”的類比.需要注意的是，類比是一種思維方式的遷移，而不是比較兩個(gè)對(duì)象之間的差異性，重點(diǎn)是要尋找對(duì)象之間的相似點(diǎn)，以此為基礎(chǔ)來(lái)建立聯(lián)系.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)思想的形成過(guò)程是一個(gè)積累與內(nèi)化的過(guò)程，通過(guò)接觸不同類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解決過(guò)程中實(shí)現(xiàn)未知向已知、復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)變，總結(jié)出規(guī)律性的思想方法.在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將遇到的新問(wèn)題向已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容或者是已經(jīng)訓(xùn)練過(guò)的題型上面轉(zhuǎn)化，將特殊的問(wèn)題一般化，抽象的問(wèn)題具體化，靈活應(yīng)用以上數(shù)學(xué)思想方法科學(xué)解題，從而提高解題效益.