重要不等式變式的推廣及應(yīng)用*

☉四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 楊詩棋

☉四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 宋元妹

☉四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

（a-b）2≥0是中學(xué)階段最基本、最重要的不等式.由（a-b）2≥0出發(fā)可以得到一系列變式，比如［1］：等.這些變式應(yīng)用廣泛，是證明分式不等式的一把利劍.當(dāng)然，這些變式也存在一些局限：證明的對(duì)象僅僅限于一次或二次.為突破次數(shù)的限制，有必要對(duì)這些變式進(jìn)一步“升級(jí)”.文中僅對(duì)進(jìn)行推廣，并運(yùn)用推廣處理一些不等式的證明，以此拋磚引玉.

一、變式的推廣

推廣：設(shè)a，b∈R+，n∈N且n≥2，則，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號(hào).

證 明：則（2a）n≥2nabn-1-（n-1）bn，兩邊同除2nbn-1可得

二、推廣的應(yīng)用

例1（美國《大學(xué)數(shù)學(xué)雜志》1991年第4期征解題）設(shè)xi∈R+（i=1，2，…，n），求證xn（x1+x2+…+xn-1+xn）.

證明：原問題等價(jià)于xn-1+xn，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)等號(hào)成立.

例3設(shè)ai，bi∈R+，i=1，2，…，n，n∈N*，且，求證

證明：原問題等價(jià)于

例4（伯努利不等式）x＞-1，n為正整數(shù)，則（1+x）n≥1+nx.

例5（權(quán)方和不等式）設(shè)ai，bi＞0，i=1，2，…，n，k∈R+，則

證明：令s=（a1+a2+…+an）-1，t=（b1+b2+…+bn）-1，則原不等式等價(jià)于