從求解過(guò)程看高考解答題中壓軸題的求解策略

☉浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 曹鳳山

高考數(shù)學(xué)試卷中的“壓軸題”一般是指試卷中體現(xiàn)難度、保證區(qū)分度、重在素養(yǎng)考查的試題，是一份試卷中的“重頭戲”，在各類題型中基本上都處于后兩題的位置，往往凝結(jié)了命題專家的大量心血.這些試題在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，重在考查知識(shí)的融會(huì)貫通，考查對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和領(lǐng)悟，考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在壓軸題上多得分，在選拔性考試中的重要性不言而喻.

本文通過(guò)“解剖麻雀”，從一道高考真題的求解過(guò)程中，反思、歸納解答題中壓軸題的一些求解策略.供參考.

題目（2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅲ第21題）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（1）若a=0，證明：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0.

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

首先看第一問(wèn)的求解.

思路1：若a=0，則f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，求導(dǎo)得，不能直接求零點(diǎn)、判定符號(hào)，所以再次求導(dǎo)，得f″（x）=，在（-1，0）上，f″（x）＜0，f′（x）單調(diào)遞減.而f′（0）=0，所以f′（x）＞0，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增.又f（0）=0，故f（x）＜f（0）=0；同理在（0，+∞）上，f（x）＞0.

解題過(guò)程中證明了：當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，ln（1+x）≥，這個(gè)關(guān)系式看起來(lái)有點(diǎn)陌生，實(shí)際上，用x代換1+x，得到，x再代換為，有，即lnx≤x-1，所以≤lnx≤x-1，是不是很熟悉的形式？

思路2：發(fā)現(xiàn)思路1中兩次求導(dǎo)，較煩瑣.能不能避免兩次求導(dǎo)，如何避免？

兩次求導(dǎo)的根源在哪里？如果出現(xiàn)h（x）=f（x）lnx+g（x）的形式，求導(dǎo)以后勢(shì)必還會(huì)包含對(duì)數(shù)函數(shù)lnx的形式，下面求零點(diǎn)、判定符號(hào)就不方便，只有對(duì)數(shù)函數(shù)lnx“單獨(dú)行動(dòng)”，求導(dǎo)以后才能得到代數(shù)形式，需要把對(duì)數(shù)函數(shù)與其他形式“分離”.如（2+x）g（x），根據(jù)已知條件，2+x＞0，研究函數(shù)y=f（x）的符號(hào)等價(jià)于研究函數(shù)y=g（x）的符號(hào)變化，即證明：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0.

通過(guò)形式轉(zhuǎn)化，步驟減少、運(yùn)算量減少、難度降低，問(wèn)題的求解更具一般性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)求解的本質(zhì)特點(diǎn)：轉(zhuǎn)化與化歸.

再看第二問(wèn)的求解.

思路1：仿第一問(wèn)解答.f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）將x=0代入發(fā)現(xiàn)是個(gè)恒等式，一無(wú)所獲.

思路2：如果第二問(wèn)是建立在上述第一問(wèn)思路2的基礎(chǔ)上，第二步應(yīng)該有以下變形，f（x）=（2+x+ax2）·，但是，與第一問(wèn)不同的是，第一問(wèn)是具體函數(shù)f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x的函數(shù)值符號(hào)判斷，由于2+x符號(hào)確定，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=ln（1+x）-的函數(shù)值符號(hào)判斷.而f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x的極大值點(diǎn)與有什么關(guān)系？明顯不似第一問(wèn)那樣簡(jiǎn)單.這里，簡(jiǎn)單的形式變換不能解決問(wèn)題.

回到給出的問(wèn)題：x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，根據(jù)極大值點(diǎn)的概念，在x=0的左側(cè)存在一個(gè)區(qū)間（-δ，0］（δ＞0），函數(shù)單調(diào)遞增（f′（x）≥0）；在x=0的右側(cè)存在一個(gè)區(qū)間［0，δ）（δ＞0），函數(shù)單調(diào)遞減（f′（x）≤0）.由于f′（x）=（1+令，則m′（x）=，注意到f′（0）=0，又對(duì)于很小的δ＞0，在（-δ，+δ）上1+2ax＞0，所以x∈（-δ，0）時(shí)，m′（x）≥0，即4a2x2+（6a2+7a）x+6a+1≤0，故6a+1≤0.

同理，由x∈（0，δ）時(shí)，m′（x）≤0得到6a+1≥0，因而

思路3：上述思路2雖然可以求解，但也是千轉(zhuǎn)百回.能不能再簡(jiǎn)化求解？由第一問(wèn)的求解過(guò)程，或者直接觀察關(guān)系式，有f（0）=0.這是一個(gè)顯然的條件，顯然在于關(guān)系式可以直接看出，顯然還在于第一問(wèn)的求解一定會(huì)涉及.

若x=0是極大值點(diǎn)，且f（0）=0，則在x=0的左、右一定存在一個(gè)區(qū)間滿足f（x）＜0.

下面是否要對(duì)a分類討論呢？

從第一問(wèn)的證明，若a=0，x=0顯然不是其極大值點(diǎn).

a＞0時(shí)是否滿足題意？

觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，再由第一問(wèn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x＞（2+x）ln（1+x）-2x，x=0顯然不是其極大值點(diǎn)，不符合題意，只要考慮a＜0的情形.

充分利用試題的條件，直接給出的或者從關(guān)系式結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)等可以看出的，或者前面已經(jīng)證明、解出的，都可以極大地優(yōu)化問(wèn)題求解過(guò)程.

啟示：刷百題不如解透一題.通過(guò)本題的求解，對(duì)于高考數(shù)學(xué)壓軸題，我們應(yīng)該有更多的啟發(fā)與感悟.

（1）即使是壓軸題，也是以基礎(chǔ)知識(shí)、核心知識(shí)的考查為載體.本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、極值點(diǎn)等概念，考查了導(dǎo)數(shù)中重要的關(guān)系，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具作用，都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，如果對(duì)極大值點(diǎn)概念不清楚、求導(dǎo)運(yùn)算不熟練，不能從數(shù)、形兩個(gè)角度去理解，就不可能順利求解.越是大型、敏感、重要的考試，考試內(nèi)容越是中規(guī)中矩，不會(huì)超綱、越線，扎實(shí)基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)永恒的核心.

（2）即使是壓軸題，通性通法肯定是可行的，重點(diǎn)在思維.問(wèn)題的求解在通性通法，當(dāng)然，通性通法的應(yīng)用不可能都是課本上的直接應(yīng)用水平，需要通過(guò)邏輯思維，剝?nèi)ヒ恍┬问降耐庖拢瑢?duì)條件、待求、待證的形式、認(rèn)識(shí)角度能進(jìn)行轉(zhuǎn)換.觀察、聯(lián)想是基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化與化歸是重要的思考方向，理性的分析、選擇是數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)目標(biāo)之一，是科學(xué)育人的重要體現(xiàn)，作為壓軸題，思維份量占較大比重，從而實(shí)現(xiàn)高考“多想少算”的考查目的，從以上不同的解題思路與相應(yīng)的運(yùn)算量可以深有體會(huì).

（3）注意題型結(jié)構(gòu).解答題大多是分步設(shè)問(wèn)（形式），更重要的是分層設(shè)問(wèn)（難度），螺旋遞進(jìn)，其中，既有增加考查知識(shí)覆蓋面、體現(xiàn)人文關(guān)懷的考慮，也有步步登高、實(shí)現(xiàn)區(qū)分度與難度的目的.第一步門(mén)檻不是很高，要有信心爭(zhēng)取自己能力范圍內(nèi)的分?jǐn)?shù)，不能因?yàn)槭菈狠S題就談?lì)}色變.解題過(guò)程中充分注意第一步的解法、結(jié)論對(duì)后續(xù)求解的輔助、提示、啟發(fā)，第一問(wèn)的結(jié)果往往是第二問(wèn)的基礎(chǔ)，要站在前一步的臺(tái)階上繼續(xù)攀高而不是每一問(wèn)都另起爐灶.還要關(guān)注，題意的理解往往不是一蹴而就，是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，隨著第一步的求解，對(duì)問(wèn)題的條件與待求會(huì)有更深、更全面的認(rèn)識(shí).本題中第一問(wèn)對(duì)于第二問(wèn)既啟示方法（對(duì)數(shù)與其他函數(shù)分離），又暗示結(jié)果，如x=0時(shí)，f（x）=0；a=0時(shí)，x=0不是極（大）值點(diǎn)等.解答題就是解答題，不能割裂前后之間的聯(lián)系.

（4）解題模式的積累與靈活應(yīng)用.本題中出現(xiàn)的形如h（x）=f（x）lnx+g（x）的函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，平時(shí)的學(xué)習(xí)中肯定是遇到過(guò)的，這種形式與解法組合的“模塊”平時(shí)要注意積累，一旦識(shí)別出這種模式，求解就得心應(yīng)手，畢竟在高考考場(chǎng)限定時(shí)間內(nèi)不可能都創(chuàng)新，模式識(shí)別與應(yīng)用就顯得尤為重要.再如本題中含有參數(shù)，分類討論也是最常見(jiàn)的模式，這個(gè)模式中不僅要有如何分類討論，還要有避免討論的策略，盡量完善形式與內(nèi)涵.

（5）做給出的題，這對(duì)每一道題都是至關(guān)重要的.把握問(wèn)題的共性是基礎(chǔ)，理解問(wèn)題的個(gè)性是根本.忽視或者不能有效利用給出的題目的題型、結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)、待求與待證等都是解題的大忌.如本題中x=0是極大值點(diǎn)，第二問(wèn)表面是極值，由于給出的函數(shù)的特點(diǎn)（f（0）=0），實(shí)際上還是符號(hào)問(wèn)題，第二問(wèn)與第一問(wèn)形異質(zhì)同，第二步求解的方法、思路得以轉(zhuǎn)變.理解題意，做給出的題是解題的根本.