巧借橢圓結(jié)論，妙解數(shù)學(xué)問題

☉江蘇省懷仁高級(jí)中學(xué) 謝建金

圓錐曲線的定值問題是高考數(shù)學(xué)中的常見題型之一，也是備受命題者、老師與學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)之一，難度一般是中等及中等偏上.圓錐曲線的定值問題充分體現(xiàn)了動(dòng)與靜的完美統(tǒng)一，是解析幾何知識(shí)的綜合與交匯問題，其背景生動(dòng)，內(nèi)容豐富，綜合性較強(qiáng)，因而趣味性也較強(qiáng)，充分將函數(shù)與解析幾何融為一體，要求有較強(qiáng)的綜合能力與應(yīng)變能力，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng).下面通過證明給出橢圓中的一個(gè)定值性質(zhì)，進(jìn)而加以變式推廣，并借助相關(guān)性質(zhì)與推廣巧妙處理橢圓中的有關(guān)問題.

一、結(jié)論呈現(xiàn)

【性質(zhì)】已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是橢圓上的點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，則有

證法1：（常規(guī)方法）當(dāng)直線OA、OB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為，將y=kx代入橢圓，整理可得，同理可得，則有所以

當(dāng)直線OA、OB中的一個(gè)斜率不存在時(shí)，此時(shí)A、B分別是橢圓的長軸、短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)顯然有成立.

證法2：（距離轉(zhuǎn)化法）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB的方程為x=my+n，將x=my+n代入橢圓1，整理可得（a2+b2m2）y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0，則有y1+y2=可得x1x2=（my1+n）（my2+n）=

證法3：（三角換元法）設(shè)|OA|=m，|OB|=n，則可設(shè)，化簡可得B（nsinθ，-ncosθ）.而點(diǎn)A、B在橢圓上，則有將以上兩式對(duì)應(yīng)相加，可得成立.

證法4：（極坐標(biāo)法）以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，則x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入橢圓可得由于OA⊥OB，設(shè)那么成立.

點(diǎn)評(píng)：常規(guī)方法證明中要注意討論“直線OA、OB的斜率存在”與“直線OA、OB的一個(gè)斜率不存在”的情況；而距離轉(zhuǎn)化法中巧妙地設(shè)出直線AB的方程為x=my+n，避免對(duì)直線AB的斜率是否存在加以討論；三角換元法中巧妙利用角的轉(zhuǎn)化，通過誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的相關(guān)公式來處理，簡單巧妙；而極坐標(biāo)法處理也非常具有巧妙之處.其實(shí)，若碰到這個(gè)結(jié)論的填空題或選擇題形式，可以直接采取特殊點(diǎn)法來確定答案，這也不失是一種特殊方法.

二、結(jié)論應(yīng)用

1.代數(shù)式的求值問題

例1已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B分別是橢圓C上的點(diǎn)，且OA⊥OB，則的值為______.

分析：利用常規(guī)方法破解此題較為復(fù)雜，而借助橢圓的定值性質(zhì)來處理，簡單有效.

解：根據(jù)以上的性質(zhì)有，故填答案

點(diǎn)評(píng)：除借助橢圓的定值性質(zhì)來簡單處理外，還可以借助定值的背景，通過特殊點(diǎn)法來處理，選取A、B分別為橢圓的長軸、短軸的頂點(diǎn)時(shí)，滿足題目條件，可以達(dá)到利用特殊點(diǎn)法解決一般性問題的目的.

2.參數(shù)的取值范圍問題

例2（浙江省杭州市2019屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)·10）已知橢圓Г：，直線x+y=1與橢圓Г交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).若橢圓Г的離心率不大于，則a的取值范圍為（ ）.

分析：利用常規(guī)方法破解，比較難處理，不易切入與轉(zhuǎn)化.而借助橢圓的定值性質(zhì)的推廣，從題目中的條件來確定OM⊥ON，進(jìn)而有效利用相應(yīng)的結(jié)論來處理，不失是一種非常好的思路.

解：由于以線段MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則有OM⊥ON.

點(diǎn)評(píng)：通過題目中的隱含條件加以挖掘，得以確定垂直關(guān)系，為利用橢圓的定值性質(zhì)及相關(guān)推廣結(jié)論指明方向.同時(shí)，借助橢圓的定值性質(zhì)來解決此類問題，小巧玲瓏，效果極佳.

3.參數(shù)值的求解問題

例3（重慶市巴蜀中學(xué)2019屆高考適應(yīng)性月考4月（理）·20）已知橢圓C：，長軸長為4，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，E是橢圓C上的任意一點(diǎn)，△F1F2E面積的最大值為，且取得最大值時(shí)∠F1EF2為鈍角.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知圓O：x2+y2=r2（r＞0），M為圓O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M的切線分別交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且，求r的值.

分析：利用常規(guī)方法破解圓O的半徑r的值，處理起來比較煩瑣.而借助橢圓的定值性質(zhì)與推廣來處理，基本可以達(dá)到“秒殺”的目的.

解：（1）由題可得2a=4，即a=2.

顯然，當(dāng)E是橢圓C的上、下頂點(diǎn)時(shí)，△F1F2E的面積取得最大值，此時(shí)S=bc=.

又由于b2+c2=a2=4，與bc=聯(lián)立，解得b=1，c=或b=，c=1.

由于過點(diǎn)M的切線分別交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d=r.

點(diǎn)評(píng)：利用橢圓的定值性質(zhì)與推廣來處理，基本可以達(dá)到“秒殺”的目的.

在破解一些橢圓的相關(guān)問題中，如果能夠巧妙借助以上橢圓的相關(guān)性質(zhì)與推廣，特別在解答一些選擇題或填空題時(shí)是一種很好的方法.可以很好地處理問題，從而有效提升學(xué)習(xí)的寬度與深度，提高數(shù)學(xué)效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提升思維品質(zhì).