例說(shuō)多變量問(wèn)題的處理策略

☉江蘇省海門(mén)中學(xué) 湯曉玲

多變量問(wèn)題是近年高考中的熱門(mén)考題，也是高中數(shù)學(xué)中較難處理的問(wèn)題，往往得分較低.從內(nèi)容上看，多變量問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)；從題型上看也是?？汲Ｐ?，解法靈活.面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)生望而生畏，完全找不到求解這類(lèi)問(wèn)題的突破點(diǎn).本文通過(guò)幾道典型例題的解答，介紹多變量問(wèn)題的幾種常規(guī)的處理策略.

一、基本不等式

例1已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足，求x+2y的最小值.

分析：抓住已知條件中的定值，將所求的x+2y配湊成與已知條件相關(guān)的形式.

若已知條件中有定值，可以對(duì)所給的條件或結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄒ蚴椒纸?、多?xiàng)式展開(kāi)等），尋找兩者之間的聯(lián)系，配湊出定值，利用基本不等式解決.

二、換元法

例2已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則xy的取值范圍是______.

分析：將xy換元成t，抓住已知條件中的定值，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為求t的取值范圍.

解法一：令t=xy，則

解法二：由解法一可得

三、主元法

例3設(shè)x1，x2，x3是三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，若x1x2+x2x3+x3x1=-24，且x1+x2+x3=-3，則x1x2x3的取值范圍是______.

分析：注意到x1，x2，x3完全等同的地位，可以把x1+x2和x1·x2表示成x3的函數(shù)，根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，進(jìn)而求出x3的取值范圍，進(jìn)一步求出x1x2x3的取值范圍.

解：由已知條件得

所以x1，x2是方程x2+（3+x3）x+x32+3x3-24=0的兩個(gè)不等實(shí)根.

從而Δ=（x3+3）2-4（x32+3x3-24）＞0?-7＜x3＜5.

令f（x）=x3+3x2-24x（-7＜x＜5），則f′（x）=3x2+6x-24=3（x+4）（x-2）.

令f′（x）=0得x=-4或x=2.

列表得：

當(dāng)x=-4時(shí)，f（x）取得極大值80，f（x）在x=2處取得極小值-28.

檢驗(yàn)：①當(dāng)x3=-4時(shí)，

圖1

所以x1，x2是方程x2-x-20=0的兩個(gè)不等實(shí)根5，-4.

與已知x1，x2，x3是三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)矛盾.

②當(dāng)x3=2時(shí)

所以x1，x2是方程x2+5x-14=0的兩個(gè)不等實(shí)根-7，2.

與已知x1，x2，x3是三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)矛盾.

所以-7＜x3＜5且x3≠-4且x3≠2，又f（-4）=80=f（5），f（-7）=-28=f（2），所以-28＜f（x）＜80，從而x1x2x3的取值范圍是（-28，80）.

本題中x1，x2，x3的地位完全等同，也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于x1，x2的函數(shù)來(lái)處理，特別要注意題目中的陷阱，三個(gè)數(shù)互不相等，所以最后答案是開(kāi)區(qū)間（-28，80）.有些問(wèn)題中如果把涉及的常見(jiàn)變量字母（如“x”）當(dāng)作主元，那么解題過(guò)程會(huì)比較煩瑣，甚至無(wú)法求解.因此，根據(jù)解題的需要，必要時(shí)嘗試換個(gè)角度來(lái)審視題意，或許就會(huì)豁然開(kāi)朗.

例4若關(guān)于x的方程x2+ax+b=0有不小于2的實(shí)根，則a2+b2的最小值為_(kāi)_____.

分析：如果直接從方程x2+ax+b=0有不小于2的實(shí)根出發(fā)，根據(jù)該方程在［2，+∞）上實(shí)根的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，并作出所得不等式組所表示的平面區(qū)域，這樣相對(duì)來(lái)說(shuō)比較煩瑣.其實(shí)倘若注意到原方程是關(guān)于a，b的二元一次方程，故可以嘗試以a，b為主元，x為次元，那么xa+b+x2=0可以看做是關(guān)于a，b的直線(xiàn)方程，a2+b2的幾何意義是該直線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，故可以將此最小值表示為關(guān)于次元x的函數(shù)表達(dá)式，最后求得此函數(shù)的最小值.

解：原方程可看做關(guān)于a，b的直線(xiàn)方程l：xa+b+x2=0，a2+b2的幾何意義是直線(xiàn)l上的點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)（0，0）的距離的平方，故

本題的審題角度較為新穎，解題過(guò)程更為簡(jiǎn)潔.事實(shí)上，在多變量問(wèn)題中，主元和次元是相對(duì)的，必要時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)抓住關(guān)鍵、化難為易的目的.

四、數(shù)形結(jié)合

如果滿(mǎn)足條件的多變量問(wèn)題的約束條件可以用幾何圖形來(lái)表示，則可以挖掘待求問(wèn)題的幾何意義，并利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解.

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（-5，a）作圓x2+y2-2ax+2y-1=0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M（x1，y1），N（x2，y2），且，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.

分析：注意到這個(gè)條件，可以聯(lián)想到斜率公式，利用三點(diǎn)共線(xiàn)來(lái)解決.

解：記圓心為C，MN的中點(diǎn)為Q（x0，y0），圓C的方程為：（x-a）2+（y+1）2=a2+2.

因?yàn)镸N⊥PQ，設(shè)A（1，0）.

圖2

所以P、A、Q、C四點(diǎn)共線(xiàn).

在多變量問(wèn)題中，若問(wèn)題條件的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或以某種方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而依靠幾何圖形的特征或性質(zhì)將問(wèn)題解決，這就是“數(shù)形結(jié)合思想”.用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題的關(guān)鍵在于觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想，找出代數(shù)問(wèn)題的幾何特征，進(jìn)而構(gòu)造出相應(yīng)的幾何模型來(lái)解決問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合能使復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化、形象化，能夠提升學(xué)生的思維高度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.