解析構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉山東省青島第二中學(xué) 孫云濤

構(gòu)造函數(shù)對學(xué)生的綜合能力要求較高，不僅要牢固掌握并深入理解基礎(chǔ)知識，而且需要具備靈活應(yīng)用所學(xué)知識的能力.教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生不知道如何構(gòu)造函數(shù)，面對數(shù)學(xué)試題要么走不少彎路，要么不知如何下手，因此，教師應(yīng)圍繞教學(xué)內(nèi)容，講解構(gòu)造函數(shù)在不同試題中的應(yīng)用，傳授構(gòu)造函數(shù)的解題技巧.

一、構(gòu)造函數(shù)在不等式中的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，其較為抽象，相關(guān)題型復(fù)雜多變，部分試題采用常規(guī)思路便可求解，部分試題則需要學(xué)生構(gòu)造函數(shù)，故難度較大.為使學(xué)生掌握不等式試題的解題技巧，教師一方面要做好不等式的基礎(chǔ)知識的講解，尤其在應(yīng)用基本不等式求解時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生找到等號成立的條件，切實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ).另一方面，在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)多積累優(yōu)秀試題，引導(dǎo)學(xué)生深入分析不等式試題，傳授構(gòu)造函數(shù)在解題中的應(yīng)用方法，幫助學(xué)生迅速找到解題的關(guān)鍵點(diǎn).

例1設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0，且f（-2）=0，則不等式xf（2x）＜0的解集為______.

該題目題干簡潔，較為抽象，顯然運(yùn)用常規(guī)解法無從下手，此時應(yīng)考慮采用構(gòu)造函數(shù)法來求解.認(rèn)真觀察題干中給出的不等式，滿足“xf′（x）+nf（x）”的形式，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試著構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（2x），而后借助函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及數(shù)形結(jié)合等知識來解答.構(gòu)造函數(shù)時，應(yīng)注意題干中“f（-2）=0”這一條件的應(yīng)用.

由題干可知，構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（2x），則F′（x）=2xf′（2x）+f（2x），當(dāng)x＜0時，F(xiàn)′（x）=2xf′（2x）+f（2x）＜0，即在（-∞，0）上F（x）單調(diào)遞減.因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，而y=x也為奇函數(shù)，由奇偶函數(shù)的知識可知F（x）是偶函數(shù).顯然在（0，+∞）上F（x）單調(diào)遞增.因?yàn)閒（-2）=0，則F（-1）=0，由上可大致畫出函數(shù)圖像，由圖像易知其解集為（-1，0）∪（0，1）.故填答案為（-1，0）∪（0，1）.

二、構(gòu)造函數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，包括等差數(shù)列、等比數(shù)列等知識點(diǎn).數(shù)列可與其他數(shù)學(xué)知識綜合命題，難度較大.在教學(xué)實(shí)踐中，教師一方面要為學(xué)生深入講解等差、等比數(shù)列的概念、通項公式的求解方法，使學(xué)生牢固記憶與靈活應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)；另一方面，優(yōu)選具有代表性的試題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行求解，體會構(gòu)造函數(shù)在解答數(shù)列試題中的應(yīng)用過程，總結(jié)構(gòu)造函數(shù)在解答數(shù)列試題中的技巧.

例2已知{an}為等比數(shù)列，且滿足a1=2，a8=4，函數(shù)f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），則f′（0）的值為（ ）.

A.26B.29C.212D.215

該題目是數(shù)列與函數(shù)的綜合題，難度中等，關(guān)鍵在于能夠找到解題的突破口.認(rèn)真分析給出的函數(shù)表達(dá)式及所要求解的內(nèi)容，可考慮采用構(gòu)造函數(shù)法，即構(gòu)造函數(shù)f（x）=xg（x），而后應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行求解.

令g（x）=（x-a1）（x-a2）…（x-a8），則f（x）=xg（x），對其進(jìn)行求導(dǎo)得f′（x）=g（x）+xg′（x）.顯然f′（0）=g（0）=a1·a2·…·a8，又因?yàn)閍1=2，a8=4，則g（0）=a1·a2·…·a8=（2×4）4=212.故正確答案為C.

三、構(gòu)造函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，是高考的必考知識，試題難度或難或易.解題中只有結(jié)合題干條件，靈活應(yīng)用多種解法，才能提高解題效率，因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師一方面應(yīng)靈活應(yīng)用多種教學(xué)方法，以幫助學(xué)生記憶與理解解析幾何中的計算公式，如可以引導(dǎo)學(xué)生通過繪制思維導(dǎo)圖，直觀記憶各個知識點(diǎn)，構(gòu)建系統(tǒng)的解析幾何知識網(wǎng)絡(luò)體系；另一方面，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境，鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解，幫助學(xué)生樹立解題自信，不斷提高有關(guān)解析幾何試題的解題水平.

例3已知實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，那么（a-c）2+（b-d）2的最小值為（ ）.

A.8 B.10 C.12 D.18

很多學(xué)生面對該題不知如何下手，只有極少部分學(xué)生能看出“（a-c）2+（b-d）2”表示的是兩點(diǎn)間距離的平方，但究竟該如何解答仍是一頭霧水.在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察題目中給出的等式，然后進(jìn)行化簡并構(gòu)造函數(shù)，便不難求解.

四、構(gòu)造函數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，圍繞三角函數(shù)既可以單獨(dú)命題，也可以與向量、函數(shù)結(jié)合起來命題.若和其他知識點(diǎn)結(jié)合起來命題，則難度一般較大，因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重解題方法的傳授.一方面，三角函數(shù)與定義域密切相關(guān)，解答相關(guān)試題時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在給定的定義域內(nèi)分析問題；另一方面，圍繞具體例題，為學(xué)生講解應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)解答三角函數(shù)試題的方法，使學(xué)生掌握這一重要的解題方法.

例4已知在時，不等式f（x）tanx＜f′（x）恒成立，則下列不等式錯誤的是（ ）.

該題目以三角函數(shù)為背景進(jìn)行命題，難度較大.認(rèn)真分析題目中給出的不等式關(guān)系及定義域可知，當(dāng)x∈時，sinx＞0，cosx＞0，結(jié)合所給的選項，可考慮通過構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）cosx來進(jìn)行求解.

構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）cosx，則F′（x）=-f（x）sinx+f′（x）cosx.因?yàn)閷θ我獾?，不等式f（x）tanx＜f′（x）恒成立，即f（x）sinx＜f′（x）cosx恒成立，f′（x）cosxf（x）sinx＞0恒成立，即F′（x）＞0，故F（x）在上單調(diào)遞增.易知，由此可知，所以，結(jié)合四個選項可知，只有D選項是錯誤的.故答案選D.

五、結(jié)論

構(gòu)造函數(shù)是一種重要的解題方法，其能幫助學(xué)生迅速找到解題思路，并快速解題.但構(gòu)造函數(shù)的專業(yè)性較強(qiáng)，很多學(xué)生不易掌握，因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)做好構(gòu)造函數(shù)的教學(xué)研究.本文通過研究可得出以下結(jié)論：

（1）構(gòu)造函數(shù)解題主要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等知識點(diǎn)來進(jìn)行求解，因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)做好函數(shù)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，使學(xué)生牢固掌握高中階段各種函數(shù)的基礎(chǔ)知識，為學(xué)生能夠靈活構(gòu)造各類函數(shù)奠定基礎(chǔ).

（2）為使學(xué)生加深對構(gòu)造函數(shù)的認(rèn)識，教師應(yīng)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，講解相關(guān)的例題.同時，優(yōu)選經(jīng)典題目，并不斷地進(jìn)行專題訓(xùn)練，鼓勵學(xué)生總結(jié)與積累構(gòu)造函數(shù)的技巧，提高學(xué)生構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用水平，促進(jìn)其解題能力的進(jìn)一步提升.