如何在解題教學(xué)中滲透學(xué)法指導(dǎo)

☉江蘇省江陰高級中學(xué) 沈敏忠

很多高中學(xué)生都會為自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備幾本好的資料，將資料上的練習(xí)題做上一遍就可以提高數(shù)學(xué)成績是這部分學(xué)生的普遍認知，然而這種認知和行為卻往往不能為其帶去良好的學(xué)習(xí)效果，實際上，將大量的時間和精力置于盲目解題卻又不反思、總結(jié)的行為并不能令其數(shù)學(xué)成績得到有效提升.

筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐、高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點進行了學(xué)習(xí)方法滲透的研究與思考，具體做法如下.

一、培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣

重視學(xué)生主體并培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣能夠有效促進學(xué)生的積極參與和認知結(jié)構(gòu)的完善，學(xué)生靜心思考和獨立解題能夠有效地增強其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信.

例1已知α，β∈，且，求證：

分析：學(xué)生在解決此題時，如果不能對題目進行獨立的思考和分析，在答題時不假思索地運用常規(guī)思路求解sin（α+β）或cos（α+β），并結(jié)合α+β的取值范圍進行證明，但題中的條件等式只有一個，從而求解三角函數(shù)值是行不通的，解題受阻自然產(chǎn)生.因此，變換思維角度來求解是必須的，先證α+β≥，再證α+β≤，或者運用反證法令問題得解.

證法1：首先，由已知等式得sin2α+sin2β=4sinαsinβ，即sin（α+β）cos（α-β）=cos（α-β）-cos（α+β），cos（α+β）=cos（α-β）［1-sin（α+β）］≥0.因為α+β∈（0，π），所以α+β≤；其次，由已知等式及均值不等式可得所以cotαcotβ≤1，即tanαtanβ≥1.所以又因為，所以α≥，即α+β≥綜上可得

證法2（反證法）：因為，所以α+β∈（0，π）.設(shè)，若，則，由正、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，所以，與已知矛盾.同理可證，當(dāng)＜α+β＜π時，與已知同樣矛盾.因為α+β∈（0，π），所以

這一道有一定難度的題目的解題教學(xué)不僅對反證法的解題思路進行了巧妙的復(fù)習(xí)，還使學(xué)生在新問題的獨立思考中獲得了分析問題、解決問題的能力.學(xué)生養(yǎng)成獨立思考習(xí)慣的同時也大大提升了自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、培養(yǎng)學(xué)生一題多解、多解歸一的思考意識和習(xí)慣

引導(dǎo)學(xué)生在解題中進行一題多解、多解歸一的思考能夠有效地發(fā)展學(xué)生的智力和解題能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動活潑的同時也大大減少了題海練習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野也會因此更加開闊.從不同方向?qū)ν坏罃?shù)學(xué)題進行審視往往能夠得到不同的解法，因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)抓住一切有利時機對學(xué)生進行有針對性的啟發(fā)，使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上盡可能地提出各種不同的新構(gòu)想，使學(xué)生能夠逐步養(yǎng)成追求更好、更簡、更巧的解題方法的意識與習(xí)慣，基礎(chǔ)知識之間的縱橫聯(lián)系與溝通也因此變得更為緊密，學(xué)生也會在解題能力發(fā)展的同時獲得更為廣闊的解題思路.

例2已知f（x）=，a，b為相異實數(shù)，求證：|f（a）-f（b）|＜|a-b|.

從探求解題方法的角度對這道不等式證明題進行思考可以獲得以下思路：

思路1：常規(guī)方法，首先進行平方，將絕對值符號去掉，然后作差比較，最后運用配方法進行證明.

思路2：作商比較法，首先運用共軛根式的知識將分子進行有理化，然后利用放縮原理進行證明.

思路3：三角代換法，觀察式子的結(jié)構(gòu)特征并聯(lián)想函數(shù)，令x=tanα，然后再轉(zhuǎn)化成三角不等式進行證明.

思路4：構(gòu)造復(fù)數(shù)證明，結(jié)合函數(shù)的特點，以及復(fù)數(shù)的模構(gòu)造復(fù)數(shù)z=1+xi，然后利用復(fù)數(shù)的三角不等式進行證明.

思路5：考察表達式f（x）=可視作點P（x，1）到點O（0，0）的距離，當(dāng)a≠b時，由點P1（a，1）、P2（b，1）與原點確定的△OP1P2中任一邊大于其余兩邊之差即可令問題得到證明.

思路6：解幾證法，方程f（x）=表示雙曲線y2-x2=1的上支，為雙曲線上兩點（a，f（a））、（b，f（b））連線的斜率的絕對值，則問題即轉(zhuǎn)化為估計雙曲線的上支的任一弦所在直線的斜率，雙曲線y2-x2=1的漸近線斜率是±1，則得證.

解決本題可以從代數(shù)和幾何兩個角度入手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想一題多解模式并使學(xué)生學(xué)會從多角度觀察、思考和聯(lián)想，能使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上進行融會貫通并獲得更多的解題辦法.符合學(xué)生認知心理與認知規(guī)律的這種引導(dǎo)不是解題方法的簡單羅列，也不是解題思路的強行灌輸，而是引導(dǎo)學(xué)生自主探索、自我發(fā)現(xiàn)的有益思維過程.

三、培養(yǎng)學(xué)生及時小結(jié)和糾錯的習(xí)慣

各種原因都可能導(dǎo)致學(xué)生在解題時出錯，錯誤自然在所難免，但一錯再錯的現(xiàn)象卻值得教師關(guān)注，這是學(xué)生混淆概念、忽視隱含條件、特殊代替一般、忽視特例、邏輯不夠嚴(yán)密等問題造成的，因此教師應(yīng)該在教學(xué)中對學(xué)生不斷地進行針對性的訓(xùn)練和培養(yǎng)，使學(xué)生能夠逐步養(yǎng)成及時小結(jié)和糾錯的習(xí)慣，并因此達成有效防范錯誤的目的.

例3若是第二象限的角，則m的取值范圍為（ ）.

A.m=8 B.3＜m＜9

C.m=0或m=8 D.-5＜m＜9

錯解：θ是第二象限的角，由和-1＜解得3＜m＜9，故選B.

這是一個典型錯誤，其實只要在解題后對其進行檢驗，很快就能發(fā)現(xiàn)這一解答是錯誤的.取m=5，則sinθ=此時.這是沒有考慮sin2θ+cos2θ=1這一隱含條件而導(dǎo)致的錯誤，本題應(yīng)選A.

合理“設(shè)置錯誤”以幫助學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)錯誤和糾正錯誤也是極有意義的教學(xué)手段，這能使學(xué)生在錯誤的發(fā)現(xiàn)、辨析和糾正中抓住問題的本質(zhì)，使學(xué)生能夠?qū)栴}形成全方位、多角度的思考和分析并獲得事半功倍的學(xué)習(xí)效果.不僅如此，學(xué)生還能因此逐步養(yǎng)成不斷反思的好習(xí)慣.

四、培養(yǎng)學(xué)生寫“數(shù)學(xué)小論文”的習(xí)慣

很多數(shù)學(xué)概念與結(jié)論都給人特別抽象的感覺，但事實上，很多數(shù)學(xué)問題都是從現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中得來的.教師應(yīng)使學(xué)生能夠明白這種意義并運用已有知識解決超出教材范圍的問題.

例4一扇形鐵板AOB的半徑是R，圓心角是，在該扇形中切割下一內(nèi)接矩形PQRS，矩形PQRS的各頂點均在扇形的弧或半徑上，則該矩形的最大面積是多少？

分析：解決本題首先應(yīng)弄清楚內(nèi)接矩形有如圖1、圖2所示的兩種情況并分別作出處理，再最終求出其最值.由題意可知，首先可以構(gòu)造函數(shù)，然后選取如圖所示的自變量θ并建立矩形面積關(guān)于θ的三角函數(shù).圖1中矩形的面積很快可以求出，面積，可得當(dāng)時，其面積可取最大值；圖2中矩形面積可得當(dāng)時，其面積取得最大值.因為，因此如圖1所示的內(nèi)接矩形的最大面積更大，為這一結(jié)論得出之后，教師應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生進行以下思考：條件發(fā)生變化時可得出什么結(jié)論呢？你在這一結(jié)論中可得到什么啟示？引導(dǎo)學(xué)生首先提出問題并在此基礎(chǔ)上進行數(shù)學(xué)小論文的創(chuàng)作.

圖1

圖2

總之，教師應(yīng)對教與學(xué)這一雙邊活動進行更多的思考，將學(xué)法指導(dǎo)滲透進教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中去并因此促成學(xué)生更多的領(lǐng)悟思考，使學(xué)生能夠在掌握更多學(xué)習(xí)方法的過程中獲得更多終身受益的能力的領(lǐng)會和提升.