談立體幾何教學(xué)中需要強化的幾個關(guān)鍵點

☉江蘇省海安市曲塘中學(xué) 萬海兵

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，也是考查考生空間想象能力、推理認證能力的有效載體，在教學(xué)中我們要對解題思路與方法進行提煉，對解題過程進行規(guī)范，注重數(shù)學(xué)語言的簡捷性，鍛煉與培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.

一、強化對知識點的梳理

在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生注重對重要知識點的整理與再加工，對各知識點的脈絡(luò)有一個清楚的認識，了解這些知識點在整個高中數(shù)學(xué)的作用與價值，整體把握知識點的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，做到心中有數(shù).

如：空間中的平行關(guān)系，主要包括：

知識的梳理中要熟練掌握三者間的相互關(guān)系，如：欲證“線面平行”，既可從“線線平行”入手，也可從“面面平行”入手.

例1如圖1，在三棱錐PABC中，D、E、N分別為棱PA、PC、BC的中點，M是線段AD的中點.求證：MN∥平面BDE.

圖1

分析1：從面面平行入手，經(jīng)過MN構(gòu)造與平面BDE平行的平面.取AB的中點O，連接NO，MO，易證平面MON∥平面BDE，進而問題得證.

分析2：從線線平行入手，連接PN交BE于點F，連接DF，利用三角形重心的性質(zhì)可證得DF∥MN，進而可證得MN∥平面BDE.

當(dāng)然，不論哪種思路，都要依賴于線線平行關(guān)系.在備考中要注意“線線平行”關(guān)系的尋找與利用.

二、強化良好的審題習(xí)慣

問題解決的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說明已給結(jié)論的正確或錯誤.因而解決問題時的思維過程大多都是圍繞著結(jié)論這個目標(biāo)進行定向思考的.教師要引導(dǎo)學(xué)生通過審題，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律，善于從條件或結(jié)論中捕捉解題信息，并進行轉(zhuǎn)化，從而確定解題方向.

例2如圖2，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：

（1）略；

（2）AD⊥AC.

審題路線圖：要證AD⊥AC→需證線面垂直：AD⊥平面ABC→需證線線垂直：AB⊥AD（已知），BC⊥AD（需證）→需證線面垂直：BC⊥平面ABD→靠攏已知：平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD.

圖2

三、強化常規(guī)解題方法的總結(jié)

例如：對于三視圖問題主要采用還原法，即將所求的幾何體還原于特殊的長方體或正方體中.

例3（2018年全國卷）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為______.

圖3

本題的求解既可以利用平移法、補形法來構(gòu)造線線角，也可以利用向量運算和坐標(biāo)運算來直接求解.（答案為，過程略）

四、強化規(guī)范性解答

在解答立體幾何問題時，不規(guī)范性的地方主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系時，坐標(biāo)軸兩兩垂直的關(guān)系未證明，就應(yīng)用.

（2）計算錯誤，如點的坐標(biāo)、直線方向向量的表示及法向量的求解.

（3）跳步解答，任何的“跳步”書寫都容易產(chǎn)生歧義，都是要失分的.如證明直線l與平面α（m為α內(nèi)的直線）平行時，要說明

（4）對兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角及空間兩向量的夾角范圍不明確.

例4如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是平行四邊形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F(xiàn)分別是BC，A1B1的中點.

圖4

（Ⅰ）求證：EF∥平面A1C1CA.

（Ⅱ）當(dāng)側(cè)面A1C1CA是正方形，且BC1=C1C時.

（1）求二面角F-BC1-E的大小.

（2）在線段EF上是否存在點P，使得AP⊥EF？若存在，指出點P的位置；若不存在，請說明理由.

解析：（Ⅰ）如圖5，取A1C1的中點G，連接FG，GC.在△A1B1C1中，因為F，G分別是A1B1，A1C1的中點，所以FG∥B1C1，且

在平行四邊形BCC1B1中，因為E是BC的中點，所以EC∥B1C1，且

所以EC∥FG，且EC=FG.所以四邊形FECG是平行四邊形.所以FE∥GC.

又因為FE?平面A1C1CA，GC?平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.

（Ⅱ）因為側(cè)面A1C1CA是正方形，所以A1C1⊥C1C.

又因為平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且平面A1C1CA∩平面BCC1B1=CC1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，A1C1⊥C1B.

又因為BC1⊥C1C，所以以C1為原點建立空間直角坐標(biāo)系C1-xyz，如圖6所示.

設(shè)C1C=a，則A（0，a，a），B（a，0，0），C（0，a，0），A1（0，0，a），B1（a，-a，0）

（1）設(shè)平面FBC1的一個法向量為n=（x，y，z）.

又因為A1C1⊥平面BC1E，所以是平面BC1E的一個法向量.

圖5

圖6

由圖6可知，二面角F-BC1-E為鈍角，所以二面角FBC1-E的大小為

（2）假設(shè)在線段EF上存在點P，使得AP⊥EF.

故點P在點E處時，有AP⊥EF.

總之，在立體幾何的教學(xué)中除了強化上述四個關(guān)鍵點，解答或證明過程還要做到“步步有理有據(jù)”，分清主次，出現(xiàn)錯誤之后，應(yīng)盡可能地及時訂正，從根源上找到錯因所在，及時總結(jié)知識上存在的漏洞，真正做到審題到位，下筆準，答題快.