基于直觀想象的數(shù)學(xué)高考*
——以2019年全國高考數(shù)學(xué)選擇題為例

☉重慶市永川中學(xué) 盤如春

☉北京師范大學(xué)教師教育研究中心 桑國元

☉北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 曹一鳴

一年一度的普通高考剛剛結(jié)束，今年的高考數(shù)學(xué)試題到底怎么樣呢？是否達(dá)到了有利于高校選拔人才、有利于在中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高對數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對中學(xué)的素質(zhì)教育有很好的導(dǎo)向和促進(jìn)作用.作為一名數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)該認(rèn)真思考、及時(shí)總結(jié).

我們一線的教師都還記得，2018年8月，教育部考試中心主任姜鋼、黨委書記劉桔，在《中國教育報(bào)》發(fā)表署名文章——《牢記立德樹人使命，寫好教育考試奮進(jìn)之筆》.文章的核心觀點(diǎn)是：要用黨的十九大精神統(tǒng)領(lǐng)高考命題工作，全面落實(shí)立德樹人要求.這是對2019年高考命題的“最新定調(diào)”和頂層設(shè)計(jì).“新定調(diào)”對高考命題工作具有非常重要的指導(dǎo)作用，對考生的備考更具有方向性的指引.

由此我們認(rèn)為，高考命題要堅(jiān)定正確的政治方向，緊緊圍繞高考的核心功能，上好“立德樹人一堂課”、做精“服務(wù)選才一把尺”、樹好“引導(dǎo)教學(xué)一面旗”，做到科學(xué)設(shè)計(jì)考試內(nèi)容，優(yōu)化高考選拔功能，強(qiáng)化能力立意與素養(yǎng)導(dǎo)向.各學(xué)科命題都要體現(xiàn)十九大的新精神、新論述，體現(xiàn)高考的“加強(qiáng)社會主義核心價(jià)值體系教育”和“增強(qiáng)學(xué)生社會責(zé)任感”的育人功能和政治使命，并堅(jiān)持把創(chuàng)新思維和學(xué)習(xí)能力考查滲透到命題全過程，落實(shí)“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的命題要求，使高考由“解答試題”轉(zhuǎn)向“解決問題”.

高考是個(gè)宏大、系統(tǒng)的工程，命題是一個(gè)專業(yè)、精致的系統(tǒng)，今年的高考是如何在“新定調(diào)”的基礎(chǔ)上，落實(shí)“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的呢.現(xiàn)結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），本文僅從“直觀想象”核心素養(yǎng)的維度來分析、解讀，以期拋磚引玉.

直觀，是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.這也正是《標(biāo)準(zhǔn)》中對直觀想象核心素養(yǎng)的定義.在“初、高中數(shù)學(xué)直觀性教學(xué)的差異性研究”一文中，我們對直觀想象作了更進(jìn)一步的研究，認(rèn)為直觀不僅可以從幾何圖形這一顯性符號處獲取研究對象，還可以從更一般的、抽象的數(shù)學(xué)符號處獲取研究對象，正如當(dāng)我們看到π就想到圓周率，看到就想到積分一樣，這顯然也是一種直觀，只是相對于圖形直觀而言，這是一種更高級、更抽象的直觀.為此，繼續(xù)借“初、高中數(shù)學(xué)直觀性教學(xué)的差異性研究”一文的研究成果，從圖形直觀、符號直觀、情境直觀、模型直觀的角度來解讀直觀想象這一核心素養(yǎng)在今年高考試題中的呈現(xiàn)方式.

一、圖形直觀

題1（全國卷Ⅰ理科4）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（ ）.

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

此題有強(qiáng)烈的實(shí)物情境，在試卷中，已給出了實(shí)物圖，如何從圖中所給出的眾多數(shù)據(jù)中，快速、準(zhǔn)確地找出各數(shù)據(jù)間的關(guān)系，是解決此題的關(guān)鍵.為此，可以試著由問題的敘述，畫出示意圖，借用圖形直觀來表達(dá)數(shù)學(xué)問題.

如圖1所示，設(shè)頭頂、咽喉、肚臍、足底分別對應(yīng)點(diǎn)A，B，C，D，身高為x，故考慮到題中還有條件，腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，由于要估計(jì)身高，這就要建立一個(gè)與身高的關(guān)系.通過圖形，可以直觀地看到，肚臍與腿間還有一段距離，咽喉與脖子下端還一段距離，如何利用這兩段未知的距離來估計(jì)身高，這是問題的關(guān)鍵.

圖1

由圖1可知，AB＜26，CD＞105.

當(dāng)然，有的學(xué)生以生活經(jīng)驗(yàn)，參照日常接觸的人，直接選B，這姑且算作是直覺吧，需另當(dāng)別論.

在高中學(xué)習(xí)階段，由于學(xué)生的心智水平與學(xué)識所限，學(xué)生的思維常以圖形直觀為主，借助圖形直觀認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律，再利用圖形描述，分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系.為此，教師要善于利用學(xué)生的這一認(rèn)知規(guī)律，以圖形直觀為突破口，充分發(fā)展學(xué)生的理性思維，提升學(xué)生解決問題的能力.這正是圖形直觀的作用所在.

二、符號直觀

題2（全國卷Ⅱ理科4）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿足方程：設(shè)，由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為（ ）.

此題正如許多考生的評論，懷疑自己是否拿錯(cuò)了試卷，這分明是一道物理試題怎么出現(xiàn)在數(shù)學(xué)試卷中？但我們稍加思考會發(fā)現(xiàn)，此題僅借用物理知識這一背景，試題的解答與物理知識沒有任何關(guān)系.注意到題中的條件與結(jié)論都與α這一符號無關(guān)，但題中又引入了這一符號，在這一符號直觀的啟發(fā)下，我們自然聯(lián)想到先將條件化為關(guān)于α的關(guān)系，再做計(jì)算，得到如下的解答.

數(shù)學(xué)直觀是一種相對的直觀，對于還未掌握的概念而言，已經(jīng)掌握的概念就是直觀的.數(shù)學(xué)符號也是如此.希爾伯特就曾經(jīng)說過“符號本身就是數(shù)學(xué)思考的對象”.布魯納也認(rèn)為：“數(shù)學(xué)中的符號使得原理的創(chuàng)造及數(shù)學(xué)體系的擴(kuò)充成為可能”.符號是目前人類對知識最有效，同時(shí)也是最強(qiáng)力的壓縮和加工方式.

本題正是在符號直觀的引領(lǐng)下，兼顧條件與結(jié)論，對問題進(jìn)行計(jì)算推理，最終解決問題，從而在高考中體現(xiàn)考查直觀想象這一核心素養(yǎng).在教學(xué)中，教師不能僅從核心素養(yǎng)的條文或原則出發(fā)，空洞地大談核心素養(yǎng)，而是要在領(lǐng)會核心素養(yǎng)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，在教學(xué)中，細(xì)化核心素養(yǎng)的各要素，找到落實(shí)核心素養(yǎng)各要素的途徑與方法.

三、情境直觀

題3（全國卷Ⅱ理科12）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，滿足f（x+1）=2f（x），且當(dāng)x∈（0，1］時(shí)，f（x）=x（x-1）.若對任意x∈（-∞，m］，都有f（x），則m的取值范圍是（ ）.

有同學(xué)拿到這個(gè)題不知從何入手，究其原因是對條件f（x+1）=2f（x）不知如何用？當(dāng)然更深層的原因是對條件f（x+1）=2f（x）表達(dá)的意義不明白.

但同學(xué)們對f（x+1）=f（x）這一情境是明白的，它是一個(gè)周期函數(shù)，并且周期T=1，此時(shí)我們就要借用這一知識情境，思考如何處理f（x）前面多一個(gè)倍數(shù)2的問題.這樣f（x+1）=2f（x）就可以直觀地理解為后一段函數(shù)圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)是前一段函數(shù)圖像上相應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，即函數(shù)圖像每向右移動一個(gè)單位，所得圖像的縱坐標(biāo)擴(kuò)大至原來的2倍，作出函數(shù)圖像，借助圖形直觀，可求得m的取值范圍.

圖2

根據(jù)第三段與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，3，得第三段的解析式f（x）=4（x-2）（x-3）.

在這一解題過程中，用到了直觀想象中的多種直觀，情境直觀（由f（x+1）=2f（x）得出函數(shù)的特征是“周期類”函數(shù)這一知識情境，并在這一情境直觀的啟示下，作出這一“周期類”函數(shù)的圖像），圖形直觀，從而順利解決此題.這也體現(xiàn)了“直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)”.

四、模型直觀

圖3

題4（全國卷Ⅰ理科6）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖3就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是（ ）.

此題在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是常見的一類“模型”問題，即古典概型問題.之所以說它是一類“模型”，就是我們已經(jīng)有了解決此類“模型”問題的基本經(jīng)驗(yàn)和策略，學(xué)生只需要把所求問題轉(zhuǎn)化為已有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)“模型”，在原有模型直觀的認(rèn)知引導(dǎo)下，按已有解題經(jīng)驗(yàn)或策略求解即可.

這就是我們所說的模型直觀，這是一個(gè)學(xué)習(xí)者最為重要的一種學(xué)習(xí)方式，學(xué)習(xí)就是既要學(xué)，又要習(xí).學(xué)就是模仿，在模仿中建立起解決此類問題的一種心理圖式，即學(xué)得的經(jīng)驗(yàn)；習(xí)就是在新的問題情境中，通過模型識別，尋找已學(xué)得模型對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，解決問題.當(dāng)然這里的習(xí)不是對原有模型簡單的重復(fù)，而是一種再加工、再創(chuàng)造，唯有這樣，一個(gè)學(xué)習(xí)者才能不斷成長，突破模型，建立新的模型，走向創(chuàng)新.這正體現(xiàn)了高考“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的考查目的.

分析、研究高考試題，是我們每一位一線教師應(yīng)該做的基本工作.通過分析、研究高考試題，不僅能幫助我們一線教師把握高考動向，服務(wù)于考生，做好自己的本職工作，提升成績，更重要的是研究高考試題背后所蘊(yùn)涵的信息，如學(xué)科本質(zhì)、核心素養(yǎng)、人文精神、價(jià)值取向等，唯有如此，教師才能以更高的視角、更理性的態(tài)度、更專業(yè)的方法，肩負(fù)起為中華民族偉大復(fù)興培養(yǎng)人才的光榮使命.