基于DELC的“直線(xiàn)的參數(shù)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)

☉四川省成都七中 高崢

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

將深度學(xué)習(xí)線(xiàn)路DELC應(yīng)用于“直線(xiàn)的參數(shù)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)與課程、預(yù)評(píng)估、營(yíng)造積極的學(xué)習(xí)文化（氛圍）、預(yù)備與激活先期知識(shí)、獲取新知識(shí)、深度加工知識(shí)和評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)等七個(gè)步驟，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角引入?yún)?shù)，層層剖析直線(xiàn)的參數(shù)方程的基本特征，不斷變換參數(shù)方程的形式進(jìn)行應(yīng)用，從而達(dá)到對(duì)參數(shù)的深層理解.

一、DELC的學(xué)習(xí)策略

《現(xiàn)代漢語(yǔ)辭典》里“深度”的定義是“觸及事物本質(zhì)的程度”、“事物向更高階段發(fā)展的程度”；“學(xué)習(xí)”解釋為“從閱讀、聽(tīng)講、研究中獲得知識(shí)或技能”.泛言之，學(xué)習(xí)是通過(guò)親身經(jīng)歷來(lái)獲取知識(shí)、技藝、態(tài)度、心理概念或價(jià)值觀的過(guò)程，促進(jìn)腦記憶的可測(cè)變化的訓(xùn)練過(guò)程.Eric Jensen和LeAnn Nickelsen給出深度學(xué)習(xí)的定義為“新內(nèi)容或技能的獲得必須經(jīng)過(guò)一步以上的學(xué)習(xí)和多水平的分析或加工，以便學(xué)生可以通過(guò)改變思想、控制力或行為的方式來(lái)應(yīng)用這些內(nèi)容或技能”，他們進(jìn)一步給出了深度學(xué)習(xí)路線(xiàn)DELC，包括以下七種策略：設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)與課程、預(yù)評(píng)估、營(yíng)造積極的學(xué)習(xí)文化（氛圍）、預(yù)備與激活先期知識(shí)、獲取新知識(shí)、深度加工知識(shí)和評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí).我們嘗試使用DELC對(duì)“直線(xiàn)的參數(shù)方程”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

二、直線(xiàn)參數(shù)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)與課程

設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)與課程對(duì)于中國(guó)教師而言簡(jiǎn)便易行，因?yàn)榻滩囊褜⑾嚓P(guān)內(nèi)容安排在一起形成有意義的教學(xué)單元，教學(xué)大綱也已明確了學(xué)生所要達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo).教師僅需把握正在學(xué)習(xí)的章節(jié)在K12階段的地位和作用、章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)之間的邏輯關(guān)系和聯(lián)系.

例如，直線(xiàn)的參數(shù)方程是選修4-4中第二講“參數(shù)方程”中的第三部分，繼函數(shù)、直角坐標(biāo)系、向量、圓錐曲線(xiàn)之后，用函數(shù)觀點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合的思想研究直線(xiàn)方程的參數(shù)表達(dá)形式，章節(jié)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 課程內(nèi)容及結(jié)構(gòu)

2.預(yù)評(píng)估

預(yù)評(píng)估是在學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容之前教師對(duì)學(xué)生已有知識(shí)背景的評(píng)估.具備不同先期知識(shí)的學(xué)生會(huì)采用截然不同的加工策略.Kieser等的研究表明預(yù)評(píng)估可以指導(dǎo)學(xué)生取得更好的學(xué)習(xí)成果.通過(guò)測(cè)試、交談、提問(wèn)等多種方式，我們可以收集學(xué)生關(guān)于預(yù)備知識(shí)的掌握情況，并對(duì)其缺失的知識(shí)或能力進(jìn)行彌補(bǔ).在課堂設(shè)計(jì)中，教師通常采用提問(wèn)與新知識(shí)有聯(lián)系的前期知識(shí)來(lái)了解和鞏固學(xué)生的背景知識(shí).研究發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)背景知識(shí)是模糊的、分散的、無(wú)條理的，這意味著他們不擅長(zhǎng)將所學(xué)知識(shí)用特定的結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái).

3.營(yíng)造積極的學(xué)習(xí)文化（氛圍）

雖然針對(duì)課堂授課起作用的只有非常有限的情緒狀態(tài)，但教師還是可以通過(guò)預(yù)評(píng)估階段為學(xué)生搭建適當(dāng)?shù)哪_手架，增進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和安全感.安全感能讓大腦集中于未來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的新信息，激發(fā)有活力、輕松但敏感的求知欲，從而達(dá)到理想學(xué)習(xí)狀態(tài).

4.預(yù)備與激活先期知識(shí)

從認(rèn)知學(xué)的角度，學(xué)習(xí)就是將習(xí)得的新知識(shí)聯(lián)結(jié)到學(xué)生個(gè)體的神經(jīng)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)上.每位學(xué)生都有自己特有的圖式和背景知識(shí)，如何接入新知識(shí)與學(xué)生現(xiàn)有背景知識(shí)的聯(lián)系，教師需要采用多種方法預(yù)備和激活先期知識(shí).如果新知識(shí)與先期知識(shí)相容，那么采用“同化”的方式使得學(xué)習(xí)迅速而有效；但如果新知識(shí)與先期知識(shí)有相悖之處，則需要采用“順應(yīng)”的方法調(diào)整學(xué)生已有網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即是說(shuō)，在學(xué)習(xí)中新方法和持續(xù)不斷的反饋及修正是必要的.例如，直線(xiàn)的傾斜角定義及取值范圍、直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、參數(shù)的意義、共線(xiàn)向量的概念、三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系、輔助角公式、圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程等都是與直線(xiàn)的參數(shù)方程相容的、有聯(lián)結(jié)的先期知識(shí)；橢圓和雙曲線(xiàn)參數(shù)方程中的旋轉(zhuǎn)角與直線(xiàn)參數(shù)方程中的傾斜角、拋物線(xiàn)參數(shù)方程中的參數(shù)t與直線(xiàn)參數(shù)方程中的參數(shù)t則需用“順應(yīng)”的學(xué)習(xí)方式.

5.獲取新知識(shí)

圍繞新知識(shí)與先期知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，思考如何通過(guò)直線(xiàn)的普通方程建立直線(xiàn)的參數(shù)方程？學(xué)生若對(duì)此問(wèn)題感到迷惑，教師則需搭建腳手架問(wèn)題：選擇怎樣的參數(shù)，才能使直線(xiàn)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）與點(diǎn)M0的坐標(biāo)（x0，y0）和傾斜角α聯(lián)系起來(lái)？以便學(xué)生明確問(wèn)題的本質(zhì).待學(xué)生充分討論后自由發(fā)言.

思路一：由直線(xiàn)l的普通方程y-y0=tanα（x-x0），得

思路二：直線(xiàn)M0M的斜率與tanα相等，即轉(zhuǎn)化為思路一.

6.深度加工知識(shí)

（1）參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的特征分析.

如上所述，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0（x0，y0），傾斜角為的直線(xiàn)l的參數(shù)方程是：

這個(gè)方程組一般稱(chēng)為直線(xiàn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，它具有如下特征：

10（x，y）是直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)；

20（x0，y0）是直線(xiàn)l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)M0的坐標(biāo)；

30傾斜角α滿(mǎn)足：

1）sin2α+cos2α=1；

2）α∈［0，π），sinα∈［0，1），cosα∈（-1，1］.

例1寫(xiě)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0（1，2）且傾斜角為的直線(xiàn)l的參數(shù)方程.

解：根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程的定義，得

例2已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，試寫(xiě)出直線(xiàn)l的傾斜角.

解：直線(xiàn)l的參數(shù)方程可化為（t為參數(shù)），故直線(xiàn)l的傾斜角為

（2）參數(shù)t的幾何含義.

上述兩種思路中參數(shù)t的引入方式不同，教師需要引導(dǎo)學(xué)生溝通引入方式之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，尋找本質(zhì)相同的參數(shù)意義.在思路一中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想，畫(huà)出圖像，以直觀觀察和的意義；還要特別注意x-x0與y-y0的符號(hào)對(duì)參數(shù)t的影響.

例3設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），求出直線(xiàn)l的傾斜角，并指出t的幾何意義.

解：因?yàn)閟inα＞0，所以直線(xiàn)l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形

對(duì)例3的理解學(xué)生會(huì)感到困難，只有注意到sinα＞0，才能實(shí)施正確變形，而且涉及對(duì)參數(shù)t的幾何意義的深刻理解.

7.評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)

認(rèn)知心理學(xué)的研究表明，對(duì)初次接觸的復(fù)雜事物，大腦只能產(chǎn)生粗略的、非常不準(zhǔn)確的表征，學(xué)習(xí)者在第一時(shí)間難以完成復(fù)雜學(xué)習(xí)，因此沒(méi)有反饋幾乎是不可能學(xué)會(huì)抽象的復(fù)雜的認(rèn)知.數(shù)據(jù)普遍證實(shí)反饋極大地促進(jìn)了考核成績(jī)的提高和直接遷移成績(jī)的提升（McCarthy，1995）.反饋也是優(yōu)質(zhì)課堂活動(dòng)的組成部分，作業(yè)和一段時(shí)間后的測(cè)試是反饋的重要方法，是對(duì)課堂實(shí)時(shí)反饋的重要補(bǔ)充.

反饋思考：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）作直線(xiàn)l，交橢圓于A、B兩點(diǎn).若點(diǎn)P恰好為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的斜率.

解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入橢圓方程，整理得（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0.（*）

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)，（*）必有兩根，設(shè)為t1，t2，

由t的幾何意義知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，且t1+t2=0.

所以2cosα+sinα=0.所以直線(xiàn)l的斜率為tanα=-2.

如上所述，當(dāng)學(xué)生試做例3、反饋思考題和做作業(yè)時(shí)，他們能夠看到、聽(tīng)到、體驗(yàn)到自己、同學(xué)及教師所做同樣事情的不同結(jié)果，能接納公平的反饋進(jìn)行自我對(duì)照和自我修正，這不僅使他們能夠進(jìn)行深層次的理解學(xué)習(xí)，而且能使他們體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)與形的結(jié)合、運(yùn)動(dòng)與變化、相對(duì)與絕對(duì)、分解與綜合等的突出作用，培養(yǎng)思考和分析問(wèn)題的方法及辯證唯物主義觀點(diǎn).