準(zhǔn)確把握概念本質(zhì)，精致數(shù)學(xué)概念構(gòu)建過程
——以“二面角”概念教學(xué)為例

☉廣西大學(xué)附屬中學(xué) 龐禮金

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師總是要求學(xué)生要牢記各類定理和公式，準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)，實現(xiàn)以不變應(yīng)萬變的教學(xué)效果.然而，現(xiàn)實情況卻是，相當(dāng)部分?jǐn)?shù)量的學(xué)生在考試之后總是覺得不錯，但試卷的實際得分卻與估計分值相差較大.何哉？究其原因是相當(dāng)?shù)幕A(chǔ)題的答題效果并不理想，會而不對的現(xiàn)象依然存在.因此，準(zhǔn)確把握概念本質(zhì)，精致數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程，充分培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的領(lǐng)悟能力具有重要的意義.

一、高中數(shù)學(xué)概念構(gòu)建原則

1.教學(xué)整體性

教師應(yīng)注重教學(xué)過程和內(nèi)容的完整性，既要求教師要耐心細(xì)致，不能以概念簡單為由而忽視對概念的教學(xué)，又要求教師對所教授的內(nèi)容特別熟悉，特別是對于相關(guān)概念的衍生問題要準(zhǔn)確掌握.以設(shè)計二面角概念的課程教學(xué)為例，立體幾何是高中數(shù)學(xué)中概念最多、邏輯性最強的部分，教師應(yīng)在掌握各類細(xì)節(jié)的同時，制定出一套完善的教學(xué)方案，確保把知識點講清楚的同時也能貫通始終.

2.系統(tǒng)漸進(jìn)性

教師不能急于求成，應(yīng)該按照循序漸進(jìn)的原則組織學(xué)生進(jìn)行探究.以“二面角”的概念為例，向量法是解決該類問題的捷徑，但教材中二面角的概念是為了解決面面垂直問題而提出的一個概念，因此，教師必須全面了解二面角是怎么出現(xiàn)的，必須持續(xù)地、連貫地按照一定的順序進(jìn)行教學(xué)，以實現(xiàn)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).

3.啟發(fā)創(chuàng)造性

教師的作用只是主導(dǎo)作用，為了充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，教師應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.例如，在“二面角”概念的教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合多媒體演示、動手操作及合作探究等多種方式進(jìn)行教學(xué)，最大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動力和創(chuàng)造力.

4.理論聯(lián)系實際

為了有效避免理論脫離實際的現(xiàn)象，教師應(yīng)將相關(guān)的理論知識與學(xué)生的生活實踐結(jié)合起來進(jìn)行教學(xué).以“二面角”概念教學(xué)為例，制作模型或多媒體輔助教學(xué)是一項不錯的選擇，但在“接地氣”方面仍然顯得不足，其在一定程度上限制了學(xué)生思維的擴(kuò)展.因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生自身已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找出與二面角的定理和性質(zhì)相類似的例子進(jìn)行討論交流，擴(kuò)大學(xué)生的知識面，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新意識.

二、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

對于初次接觸三維世界的學(xué)生而言，二面角的概念具有較強的抽象性，在具體的理解和應(yīng)用的過程中肯定會遇到不小的困難，就像剛學(xué)函數(shù)時很多同學(xué)不理解f（x）一樣，而教材中對于二面角的定義也是通過邏輯推理的方式獲得的，那么如何在知識點的深度和難度之間尋找到一個平衡點？如何使原本枯燥的概念課變得生動，而又能把抽象的內(nèi)容清楚地傳達(dá)給學(xué)生呢？

1.注重情景引入和直觀教學(xué)

如果在概念教學(xué)中，教師沒有與具體實際生活中的問題情境聯(lián)系起來，而是直接將概念知識的外延和內(nèi)涵強行灌輸給學(xué)生，那么學(xué)生只是單純地接受和記憶知識，隨著時間的推移，所學(xué)的知識將會逐漸被遺忘，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解與運用，因此，教師應(yīng)注重情景引入和直觀教學(xué)相結(jié)合，在概念引入時直接突顯出概念的本質(zhì)，把學(xué)生的注意力吸引到所學(xué)習(xí)的內(nèi)容上來，讓學(xué)生體會到這個概念的產(chǎn)生是自然的，要讓學(xué)生知道為什么要學(xué)習(xí)這個概念.

2.“對話”與“講授”并行

教師應(yīng)通過設(shè)置問題串的形式引導(dǎo)師生、生生對話，嘗試讓學(xué)生自己思考問題和總結(jié)要點，同時，對于一些教學(xué)重難點知識，教師應(yīng)充分發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用，對于一些共性問題以講授強調(diào)的形式幫助學(xué)生更好地理解.例如，對于“一條直線不可能一部分在平面內(nèi)，而另一部分在平面外”這一公理，由于這個公理較為抽象難懂，教師應(yīng)使用簡單易懂的生活語言進(jìn)行講授，例如，通過以一點畫圓，能獲得直徑不相等的圓弧等已學(xué)知識幫助學(xué)生更好地理解，從而使得原本抽象的數(shù)學(xué)概念不再那么“高冷”.

3.促進(jìn)小結(jié)過程中的整體理解

“一個概念、幾項注意”的傳統(tǒng)教學(xué)模式不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，忽略了概念的產(chǎn)生過程中數(shù)學(xué)文化對于學(xué)生的熏陶.因此，教師應(yīng)通過課后小結(jié)的形式充分讓學(xué)生厘清概念的提出、演變及完善等探究過程，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考，以“為什么、是什么、應(yīng)該怎么樣”為線索不斷地完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確地把握概念的內(nèi)涵和外延，切實地讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)概念形成過程中所蘊含的人文和科學(xué)精神.

三、二面角概念教學(xué)的實踐

高中數(shù)學(xué)是一門理論與實踐相結(jié)合的課程，為了研究的更深入，本文以二面角概念的構(gòu)建為例進(jìn)行研究.二面角是立體幾何中最為復(fù)雜抽象的概念之一，并且是歷年高考立體幾何題中必涉及的一個知識點，但在教材中并沒有給出嚴(yán)格的定義，因此，筆者結(jié)合日常的教學(xué)實踐和概念構(gòu)建原則，將二面角的概念教學(xué)分為兩個課時，其中第一課時是讓學(xué)生從身邊具體的實物中發(fā)現(xiàn)和提出問題，第二課時是找出解決問題的策略，是重點突破和例題精講環(huán)節(jié)，其具體設(shè)計過程如下：

圖1 課本示意圖

1.趣味引入

為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的日常生活創(chuàng)設(shè)問題情境.如圖1所示，要求學(xué)生拿出教材，將教材的合訂線視為空間中的一條任意直線，要求學(xué)生觀察某一頁紙與上下紙頁之間的角度，引導(dǎo)學(xué)生思考如何測量出這個角度，指出這個角度就是我們所要學(xué)習(xí)的平面角.然后，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)掌握的異面直線的知識，通過兩人合作的形式，要求其中一個學(xué)生隨機支起一個角度，另外一個學(xué)生用兩根鉛筆分別在前一個學(xué)生已經(jīng)支起的平面上尋找二面角.當(dāng)大部分學(xué)生找到正確測量角度值的辦法之后，及時引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出二面角的平面角的取值范圍，以及二面角概念的特征等.

2.探索新知

在以上探究的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)結(jié)合課程教學(xué)的目標(biāo)，以小組為單位，重點圍繞任何兩個平面是否都存在二面角、形成二面角的兩個平面是否必須要有公共的交線等問題展開探討，并及時用提示性的語言對相關(guān)的問題進(jìn)行引導(dǎo)，例如，異面直線一定有交點嗎？異面直線所成的角是怎么求解的？從而幫助學(xué)生總結(jié)得出異面直線一定是沒有交點的，若想求得二面角的平面角就必須通過等價替換或平移的方式讓這兩個平面有交線.

同時，教師還應(yīng)組織學(xué)生探究出二面角的大小和表示方法，如圖2所示，平面ABFE和平面EFDC所成的平面角與平面GHFE和平面EFDC所成的平面角是不相等的，其中前者明顯大于90°，后者明顯小于90°，并且平面還可以是無限延伸的，如圖3所示，將平面EFDC向左面延伸為EFD′C′，就會出現(xiàn)平面角不好認(rèn)定的現(xiàn)象.因此，教師以此為知識沖突，進(jìn)一步詳細(xì)闡述二面角的記法和方向，即平面ABFE和平面EFDC所成的平面角記為二面角A-EF-C，或者為A-EF-D、B-EF-D、B-EF-C，而平面ABFE和平面EFD′C′所成的平面角記為二面角A-EF-C′，或者為A-EF-D′、B-EF-D′、B-EF-C′.同時，要求學(xué)生從二面角的寫法著手，進(jìn)一步理解二面角是從一條交線引出的平面，且這兩個平面被這個交線所“攔截”.

圖2

圖3

此外，為了有效地確保學(xué)生已經(jīng)熟練掌握二面角的概念，教師還應(yīng)通過多媒體的形式呈現(xiàn)如圖4所示的三維圖形，要求學(xué)生以小組為單位，進(jìn)行組內(nèi)之間的相互測試，并對于有問題的學(xué)生及時進(jìn)行輔導(dǎo).

圖4

3.重點突破

如何求得二面角是二面角概念學(xué)習(xí)的重點，通過課堂引入環(huán)節(jié)，學(xué)生就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了兩個鉛筆可以擺出任意角，但只有兩個鉛筆垂直于合訂線之后所形成的角度才是平面角的度數(shù).為了有效地驗證上述結(jié)論，教師應(yīng)及時通過已學(xué)知識加以驗證.

仍以圖4為例，要求學(xué)生應(yīng)用定義法求出二面角A-BB1-C、二面角A-BB1-D，從而引出直二面角的概念，并應(yīng)用正方體的性質(zhì)進(jìn)行驗證.

4.例題精講

實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，上述二面角概念的獲得是依靠教師邏輯化的教學(xué)模式獲得的，但概念的應(yīng)用需要通過實戰(zhàn)進(jìn)行演練，在具體實踐中，為了讓學(xué)生充分理解有關(guān)二面角的一般出題模式，抓住二面角問題的源頭，教師應(yīng)呈現(xiàn)出歷屆高考試題中有關(guān)二面角概念的考查方式，然后，要求學(xué)生以小組為單位，利用之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過的正方體或熟悉的實物模擬出題，讓學(xué)生扮演出題者，最后通過投票的形式選出最合理最精彩的題目，并及時給予鼓勵.

仍以圖4為例，學(xué)生根據(jù)歷屆高考試題，創(chuàng)新設(shè)計出如下題目：

①已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，試求二面角D-AC-D1的平面角.

②若ABCD-A1B1C1D1為長方體，AB=3，CB=2，BB1=4，試求二面角D-AC-D1的平面角.

四、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)概念知識是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點和落腳點，相比于傳統(tǒng)概念中純理論性的教學(xué)模式，在現(xiàn)代教學(xué)理念下，教師更應(yīng)注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，注重學(xué)生主觀能動性的激發(fā)和情感的體驗，準(zhǔn)確把握概念本質(zhì)，精致構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，有效提升學(xué)生對于實際與理論的相互轉(zhuǎn)化的認(rèn)知水平，只有這樣，才能提高學(xué)生思考和解決問題的能力，才能提高學(xué)生對概念學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率.