數(shù)學(xué)“童畫”，讓思維的軌跡更清晰

李艷梅

[摘 要]數(shù)學(xué)“童畫”是一種可視化的學(xué)習(xí)方式，它主張學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光把握、抽象事物的本質(zhì)，用圖式的方式表達思維過程。通過數(shù)學(xué)“童畫”表示、說明、示意、猜測，讓內(nèi)涵“顯出來”，讓發(fā)現(xiàn)“說得清”，讓思路“看得見”，讓推理“說得通”，讓特征“說得準(zhǔn)”，從而讓學(xué)生思維的軌跡更清晰。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)“童畫”;思維軌跡;看得見

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）26-0033-03

數(shù)學(xué)“童畫”是一種可視化的學(xué)習(xí)方式，是用感性的方式表達理性的思維。數(shù)學(xué)“童畫”主張學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光把握、抽象事物的本質(zhì)，用圖式的方式表達思維的過程?，F(xiàn)結(jié)合教學(xué)實際，談?wù)勅绾瓮ㄟ^數(shù)學(xué)“童畫”，讓學(xué)生思維的軌跡更清晰。

一、“童畫”表示讓內(nèi)涵“顯出來”

在核心素養(yǎng)下，數(shù)學(xué)教學(xué)要注重數(shù)學(xué)思想的滲透，特別是在小學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合思想的滲透更為重要。形是一種直觀形式，學(xué)生能看得見，并能借助圖形把一些概念和定律的內(nèi)涵挖掘出來，有助于對一些概念和定律的理解。在理解中記憶和在理解中應(yīng)用是進一步對知識的內(nèi)化和深化，特別在“復(fù)習(xí)與整理”這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生把對知識的理解用顯性的圖畫表示出來，是對所學(xué)知識進行整合的過程，更是進一步建構(gòu)知識的過程。

例如，教學(xué)蘇教版教材四年級下冊“運算定律”整理與練習(xí)第一課時時，我先讓學(xué)生對所學(xué)的運算定律進行分類整理，然后提問：“你能用‘童畫表示出每個運算定律嗎？”學(xué)生紛紛表示“能夠用‘童畫表示”，并認(rèn)真繪畫。在學(xué)生的“童畫”中，多數(shù)是畫成交換兩條長度不等的線段的位置，而用長度不變來表示加法交換律，用三條長度不同的線段表示加法結(jié)合律。從“童畫”中可看出，對于三個數(shù)相加，可以先把前兩個數(shù)相加再和第三數(shù)相加，還可以先把后兩個數(shù)相加再和第一個數(shù)相加，它們的結(jié)果不變。學(xué)生在畫圖的過程中體會到加法結(jié)合律的內(nèi)涵是運算順序變了，而結(jié)果不變。用圖表示乘法交換律時，多數(shù)學(xué)生畫一個長方形，既可用長乘以寬求出這個長方形的面積，也可以用寬乘以長求出這個長方形的面積，因為面積是相等的，從而凸顯了乘法交換律的本質(zhì)：交換了兩個乘數(shù)的位置，而結(jié)果不變。同樣的一個長方形，可以用兩種不同的方法求出它的周長，從而得出（a+b）×2=a×2+b×2，促進學(xué)生進一步理解乘法分配律的意義和模式。

二、“童畫”說明，讓發(fā)現(xiàn)“說得清”

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要多問“為什么”，解釋“為什么”就是對知識的來龍去脈的梳理，打通新舊知識的聯(lián)系。依托數(shù)學(xué)“童畫”的可視性，有助于學(xué)生分析問題，把握問題的關(guān)鍵，從而使問題迎刃而解。

例如，在教學(xué)蘇教版教材五年級下冊“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，課始我讓學(xué)生在同樣長的紙條上表示1/2、2/4和4/8，出示問題：1/2、2/4和4/8相等嗎？學(xué)生在同樣長的紙條上分別畫出它的1/2、2/4和4/8，他們在畫圖的過程中對分?jǐn)?shù)的意義有了進一步的理解和深化。從圖中一眼就可看出1/2、2/4、4/8表示的長度是一樣的，都是表示這個紙條長度的1/2，所以很容易得出結(jié)論：1/2=2/4=4/8。接著我追問：“它們的分子、分母都不相同，為什么它們的大小卻相等呢？從中你又有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生對照圖示分析分?jǐn)?shù)中分子和分母的變化情況，很容易發(fā)現(xiàn)：從左往右看，分?jǐn)?shù)的分子和分母同時擴大2倍，分?jǐn)?shù)的大小不變;從右往左看，分?jǐn)?shù)的分子和分母同時縮小2倍，分?jǐn)?shù)的大小不變， 從而抽象概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。我繼續(xù)追問：“我們都知道分?jǐn)?shù)和除法有密切的關(guān)系，那么分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和以前學(xué)過的什么性質(zhì)是一樣的呢？”學(xué)生對照圖示想到了商不變的性質(zhì)，從而理解了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)為什么要強調(diào)“0除外”的道理。借助“童畫” ，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)規(guī)律并解釋規(guī)律，找到新知和舊知的內(nèi)在聯(lián)系，從而打通知識間的聯(lián)系，梳理知識，掌握規(guī)律，達到利用“童畫”說明，讓發(fā)現(xiàn)“說得清”的效果。

三、“童畫”示意，讓思路“看得見”

數(shù)學(xué)“童畫”具有直觀性，能夠幫助學(xué)生理解抽象的語言所描述的復(fù)雜問題，利用“童畫”進行直觀示意，把抽象出的典型特征用特定的示意圖表示出來，可以清晰地得出指向問題解決的“思維地圖”，讓思路“看得見”，利于學(xué)生用自己的語言把思維過程表達出來，從而解決了學(xué)生對抽象的語言描述、符號意義理解上的困難。

例如，在教學(xué)蘇教版教材五年級下冊“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”第二課時時，我首先出示“[12+14+18+116+…+1256]”，然后提問：“你準(zhǔn)備怎樣解決這個問題？”多數(shù)學(xué)生都在沉思，沒有一個學(xué)生說先通分再計算，說明他們意識到這種類型的題目不是用常規(guī)的方法就能解決的。于是我提示：“我們解決復(fù)雜問題時要從簡單的問題著手，若要求[12+14+18+116]的值是多少該怎么做？現(xiàn)在請在一個圖形上表示出每個加數(shù)，從圖上你會有什么發(fā)現(xiàn)呢？”學(xué)生動手繪圖（如下圖），并根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)：[12+14+18+116]的和是從單位“1”去掉[116]的部分，就是[1516]。 這時我引導(dǎo)學(xué)生觀察這個加法算式中的加數(shù) ，思考它們有什么特征，從而總結(jié)概括出解決這類問題的方法，即轉(zhuǎn)化策略。這一過程是學(xué)生自主動手探索的過程，也是體會轉(zhuǎn)化策略價值的過程。學(xué)生借助“童畫”，把思考過程說得有條有理，很容易就能找到用轉(zhuǎn)化策略解決實際問題的路徑及價值所在，達到用數(shù)學(xué)“童畫”表示，讓思路“看得見”的效果。

四、“童畫”猜測，讓推理“說得通”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力，鼓勵學(xué)生大膽猜測，并根據(jù)猜測進行推理和驗證，激發(fā)學(xué)生參與探索知識的興趣，鼓勵學(xué)生再造數(shù)學(xué)知識生成的過程，從而讓學(xué)生能有條理且清晰地表達自己的想法和看法。

例如，教學(xué)蘇教版教材五年級下冊“圓的面積公式”時，我設(shè)計了以下幾個教學(xué)環(huán)節(jié)：

（1）猜測。你認(rèn)為圓的面積與什么有關(guān)？圓的面積單位是平方厘米、平方分米、平方米，你認(rèn)為圓的面積與什么有直接的關(guān)系？學(xué)生都認(rèn)為圓的面積與半徑有關(guān)，而根據(jù)圓的面積單位，部分學(xué)生推測出圓的面積與半徑的平方有直接的關(guān)系。我接著追問：“圓的面積會與圓的半徑的平方有什么樣的關(guān)系呢？你能在圓上畫一畫、找一找嗎？”

（2）嘗試。學(xué)生在自己所畫的圓上找它的面積與半徑的平方的關(guān)系。有的學(xué)生在半圓上畫出一個最大的三角形，三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，于是得出三角形的面積是半徑的平方，半圓的面積小于這樣的三角形的2倍，大于一個三角形面積，從而推導(dǎo)出圓的面積是半徑的平方的3倍多一些。還有的學(xué)生在圓心角90[°]的扇形上畫一個邊長和半徑長度一樣的正方形，則半徑的平方表示一個邊長和半徑長度一樣的正方形的面積，正方形的面積大于扇形的面積，從而推導(dǎo)出圓的面積比半徑的平方的4倍要小一些。

（3）驗證。“剛才僅僅是我們的猜測，還需進行驗證，能不能把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形呢？”學(xué)生首先想到把圓轉(zhuǎn)化成長方形，于是他們根據(jù)書上的提示動手畫一畫，小組內(nèi)合作完成。在大家的共同努力下，學(xué)生用“童畫”表示出從圓轉(zhuǎn)化成長方形的過程。

（4）找聯(lián)系?！拔覀儼褕A轉(zhuǎn)化成長方形，在這過程中什么沒變，什么變了？圓和長方形有什么內(nèi)在聯(lián)系？”學(xué)生對照圖示，在小組內(nèi)合作完成，找出它們之間內(nèi)在的聯(lián)系。不難發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)化的過程中，面積沒變，長方形的長是圓周長的一半，長方形的寬是圓的半徑，從而推導(dǎo)出圓的面積是它半徑的平方的π 倍，從而驗證剛才的猜測是正確的。

（5）總結(jié)概括。讓學(xué)生再一次對照圖示回顧剛才推測、驗證的過程，在回顧的過程中，學(xué)生再一次體會把圓轉(zhuǎn)化成長方形，面積沒變，周長變，長方形的面積等于長×寬，長是πr，寬是r，從而得出圓的面積公式是S=πr2。

在上述教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生直觀畫圖，獨立思考，并要求學(xué)生把自己的新想法和新體會在組內(nèi)進行討論交流，逐步構(gòu)建起知識結(jié)構(gòu)，形成知識模型，在積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，從而達到“童畫”猜測，讓推理“說得通”的效果。

五、“童畫”表達，讓特征“說得準(zhǔn)”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不光要讓學(xué)生知道是什么，還要讓學(xué)生經(jīng)歷探索認(rèn)知的過程，并且用自己喜歡的方式表達獲得知識的過程。學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式去探索和思考是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，而將抽象的知識進行可視化的表達，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。數(shù)學(xué)“童畫”能將抽象的知識用可視化的形式表達出來，具有直觀性和生動性，非常有利于學(xué)生的思考和表達。因此，為學(xué)生營造一定的探索氛圍和提供一定的現(xiàn)實背景是十分重要的。

例如，在教學(xué)蘇教版教材五年級下冊“3的倍數(shù)特征”時，我只讓學(xué)生猜測3的倍數(shù)特征，多數(shù)學(xué)生都說個位上的數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù);接著我讓學(xué)生畫圖驗證自己的猜測，學(xué)生畫計數(shù)器表示數(shù)，很多學(xué)生列舉了個位是3、6、9的數(shù)來驗證自己的猜測，他們先舉了13、16、19這三個數(shù)，很顯然這三個數(shù)都不是3的倍數(shù)，然后他們在計數(shù)器上畫出了是3的倍數(shù)的數(shù)字。從中可以發(fā)現(xiàn)，3的倍數(shù)特征與這個數(shù)的個位數(shù)字沒有關(guān)系，而與這個數(shù)各個數(shù)位上數(shù)的和有關(guān);各個數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。學(xué)生借助“童畫”，很順利地發(fā)現(xiàn)了3的倍數(shù)特征，并用自己的語言準(zhǔn)確地總結(jié)概括出來。

總之，數(shù)學(xué)“童畫”體現(xiàn)“以生為本”的理念，用兒童的表達方式構(gòu)建和整合知識結(jié)構(gòu)，促進新知從感性到理性的有效轉(zhuǎn)化，讓兒童的思維軌跡更清晰。

【本文系徐州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“數(shù)學(xué)‘童畫，讓兒童的思維過程看得見”的實踐研究（立項號：GH-13-18-L227）階段性成果?！?/p>

（責(zé)編 黃春香）