正五邊形平衡位形能取到嗎?

林倩茹 吳靜燕 邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

奧賽物理題選中有這樣一道題：5根相同的勻質(zhì)細(xì)桿,用質(zhì)量密度均可忽略的光滑鉸鏈兩兩首尾相接連成一個(gè)五邊形,將其中一個(gè)頂點(diǎn)懸掛在天花板下,試求平衡時(shí)此五邊形的五個(gè)頂角.又如在最下邊的細(xì)桿中點(diǎn)再懸掛一個(gè)重物,能否使五個(gè)細(xì)桿構(gòu)成一個(gè)等腰三角形?原題是用受力分析做的,想在下面加一個(gè)向下的力,使得五邊形能變?yōu)槿切?但沒(méi)成功.那么有沒(méi)有向外的力,可以拉伸使得五邊形木桿平衡時(shí),變?yōu)槿切位蛘暹呅?中學(xué)物理所熟悉的這種力是轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下的慣性離心力.本文木桿體系轉(zhuǎn)軸都是對(duì)稱(chēng)軸,根據(jù)文獻(xiàn)[2],這樣的勻角速狀態(tài)可以稱(chēng)為平衡態(tài).我們從能量角度考慮這種平衡態(tài),即體系的重力勢(shì)能和轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下的離心勢(shì)能之和,平衡態(tài)使得總勢(shì)能取得極小.我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)用線拎起木桿并使之勻速轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到平衡時(shí),取適當(dāng)?shù)慕撬俣?五邊形木桿的平衡位形可以取到等腰三角形和正五邊形,彌補(bǔ)了文獻(xiàn)[1]的遺憾．

先推導(dǎo)以z軸為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系下,任意放置理想木桿的離心勢(shì)能與端點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式.設(shè)木桿兩端坐標(biāo)是(x1,z1)和(x2,z2),長(zhǎng)度是L,桿上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)矢量是

r(s)=(1-s)(x1i+z1k)+s(x2i+z2k).

(1)

其中參數(shù)s的取值范圍是0

(2)

積分計(jì)算得到整個(gè)桿離心勢(shì)能為

(3)

sinθ1+sinθ2=1/2.

(4)

把桿端點(diǎn)坐標(biāo)代入式(3)計(jì)算離心勢(shì)能,再加上重力勢(shì)能,得到五邊形桿總勢(shì)能為

(5)

五邊形桿繞對(duì)稱(chēng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到平衡時(shí),木桿傾角變化引起總勢(shì)能的變化為0，

δΦ5=4sinθ1δθ1+2sinθ2δθ2-

(6)

幾何約束條件式(4)的變化也是0，

cosθ1δθ1+cosθ2δθ2=0.

(7)

(6)式和(7)式可以寫(xiě)成矩陣形式

(8)

由幾何約束條件(4)式,兩個(gè)角度的變化不是獨(dú)立的,(8)式存在非零解的必要條件是系數(shù)矩陣的行列式為0．計(jì)算得到

(9)

當(dāng)轉(zhuǎn)速參數(shù)k=0時(shí),式(9)就退化到文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論.依據(jù)式(4),把θ2消去,得到轉(zhuǎn)速與右邊第一個(gè)木桿傾斜角θ1的關(guān)系式

(10)

角速度為0時(shí),傾角θ1為α=0.172242.隨著角速度增大,傾角θ1逐漸增大.角速度趨向無(wú)窮大時(shí),傾角θ1趨向于π/2,所以傾斜角θ1的取值范圍是α<θ1<π/2．

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)五邊形的平衡位形是等腰三角形時(shí),θ1=arcsin(1/4),由(10)式,角速度

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)五邊形的平衡位形是正五邊形時(shí),θ1=3π/10,由(10)式,角速度

圖1 不同轉(zhuǎn)速下五邊形木桿的平衡位形

由此可見(jiàn),當(dāng)角速度取合適值時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)五邊形的平衡位形是可以取正五邊形的．不同轉(zhuǎn)速下五邊形桿的平衡位形如圖1所示.