角動(dòng)量規(guī)律在直桿類(lèi)競(jìng)賽題中的應(yīng)用

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽(yáng) 122500)

1 轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用

對(duì)于質(zhì)量均勻的直桿,或者輕桿與小球的連接體,當(dāng)由靜止?fàn)顟B(tài)突然開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理可求出直桿一端受到作用力的大小和瞬時(shí)角加速度的大小以及質(zhì)心加速度的大小.

圖1

例1.如圖1所示,一根長(zhǎng)度為3L的輕桿上固定質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)小球,它們的位置把桿的長(zhǎng)度均分.用兩根豎直的繩子系在桿的兩端,使桿沿水平方向且保持平衡狀態(tài).試求:當(dāng)右邊繩子被剪斷瞬時(shí)左邊繩子的拉力為多大?

對(duì)系統(tǒng)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

(m1+m2)g-F=(m1+m2)aC，

即 (m1+m2)g-F=(m1+2m2)Lβ.

以加速度瞬心為參考點(diǎn),由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

m1gL+m2g·2L=[m1L2+m2(2L)2]β.

解方程得左邊繩子的拉力大小為

圖2

例2.如圖2所示,均質(zhì)細(xì)桿AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)量為m,由兩根不可伸長(zhǎng)的繩子懸掛,處于水平靜止?fàn)顟B(tài).在突然剪斷右邊繩子的瞬時(shí),求左邊繩子拉力的大小和桿的角加速度的大小.

拓展：如果細(xì)桿AB開(kāi)始不是水平的,而是傾斜的,與水平方向的夾角為θ,如圖3所示,求左邊繩子拉力的大小和桿的角加速度的大小.

圖3

圖4

對(duì)桿由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有mg-F=maC.以質(zhì)心為參考點(diǎn),由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

點(diǎn)評(píng):解題難點(diǎn)是確定桿的加速度瞬心,需首先確定A、C兩點(diǎn)加速度的方向.在對(duì)兩個(gè)加速度矢量作垂線時(shí),要注意垂線經(jīng)過(guò)兩個(gè)加速度矢量的起點(diǎn).在應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理時(shí),若以加速度瞬心為參考點(diǎn),則有

由于加速度瞬心不在桿上,當(dāng)以加速度瞬心為參考點(diǎn)時(shí),桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量包括兩部分,即桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)心繞加速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

例3.如圖5所示,在水平面上有一均質(zhì)細(xì)桿AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)量為m,在豎直平面內(nèi)與豎直墻面成θ角無(wú)初速度下滑,不計(jì)接觸面的摩擦,求釋放瞬時(shí)桿兩端的加速度為多大?受到的作用力為多大?

圖5 圖6

解析:桿釋放瞬時(shí),角速度為0,則對(duì)加速度瞬心而言,法向加速度為0,只有切向加速度,因此轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與加速度方向垂直.A點(diǎn)的加速度豎直向下,B點(diǎn)的加速度水平向右,作兩個(gè)加速度矢量的垂線,可知交點(diǎn)Q為加速度瞬心,如圖6所示.桿的質(zhì)心繞點(diǎn)Q加速轉(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)桿相對(duì)于質(zhì)心C自轉(zhuǎn),而且相對(duì)于點(diǎn)Q的角加速度與相對(duì)于點(diǎn)C的角加速度相同，以加速度瞬心為參考點(diǎn),由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

各點(diǎn)繞加速度瞬心的角加速度β相同,由aτ=rβ可知各點(diǎn)的切向加速度跟轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比,則桿兩端A、B的加速度大小分別為

對(duì)桿在水平方向由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

FA=maCx,

可得

點(diǎn)評(píng):要注意所求加速度是桿釋放瞬時(shí)的加速度,因?yàn)闂U發(fā)生運(yùn)動(dòng)以后,角速度不為0,則無(wú)法找到加速度瞬心.若以質(zhì)心為參考點(diǎn),則由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

2 角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用

對(duì)于豎直方向質(zhì)量均勻的直桿,或者輕桿與小球的連接體,當(dāng)下端受到質(zhì)點(diǎn)撞擊時(shí)發(fā)生繞軸轉(zhuǎn)動(dòng),應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可求出直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度.

圖7

例4.如圖7所示,一均勻桿的長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為M,可繞上端的水平軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng),開(kāi)始時(shí)桿處于平衡狀態(tài),有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向桿的下端,嵌入桿內(nèi)一起繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),求子彈擊中桿后的角速度以及桿的最大擺角.

解析:對(duì)于質(zhì)點(diǎn)與直桿組成的系統(tǒng),相互撞擊力屬于內(nèi)力,當(dāng)直桿在豎直位置時(shí),系統(tǒng)受到的重力經(jīng)過(guò)水平軸O,則外力的力矩為0.

對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律，有

可得

設(shè)桿的懸點(diǎn)O為重力勢(shì)能零點(diǎn),桿的最大擺角為θ,對(duì)子彈的圓周運(yùn)動(dòng)由機(jī)械能守恒定律有

解得

點(diǎn)評(píng):系統(tǒng)的角動(dòng)量包括質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和桿的角動(dòng)量,都相對(duì)于同一參考點(diǎn)而言,當(dāng)子彈剛要撞擊到桿之前瞬時(shí),受到的重力的作用線經(jīng)過(guò)參考點(diǎn),因此重力對(duì)子彈的力矩為0,所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒.

圖8

例5.如圖8所示,一長(zhǎng)度為l的輕桿,兩端分別固定質(zhì)量為m和M=2m的小球,桿可繞水平光滑軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),軸O到下端的距離等于軸O到上端的距離的2倍,桿開(kāi)始時(shí)靜止在豎直位置.現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球以水平速度v0與桿下端的小球做對(duì)心碰撞后反彈,碰撞過(guò)程沒(méi)有機(jī)械能損失,求碰撞后桿獲得的角速度和小球反彈速度的大小.

解析:對(duì)于質(zhì)點(diǎn)與直桿組成的系統(tǒng),當(dāng)直桿在豎直位置時(shí),在碰撞瞬時(shí)系統(tǒng)受到的重力經(jīng)過(guò)水平軸,則產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為0,因此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒.設(shè)小球反彈速度的大小為v,對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律有

其中桿球結(jié)合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律有

點(diǎn)評(píng):在對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí),要注意剛體的動(dòng)能公式與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能公式不同.若求水平軸對(duì)桿的作用力,則對(duì)桿豎直向上由牛頓第二定律整體法有

對(duì)桿水平向右運(yùn)用牛頓第二定律整體法有

可得Fy=0,Fx=0.其中角加速度β是由碰撞力矩產(chǎn)生的.

總之,無(wú)論應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理還是角動(dòng)量守恒定律,都需用到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,因此計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)解題顯得至關(guān)重要.在應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理時(shí),要首先確定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的參考點(diǎn),對(duì)于不同的參考點(diǎn),剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和受到各力的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩都不同;在應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律時(shí),要分析系統(tǒng)外力對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩是否為0.在剛體上的合外力同時(shí)具有兩個(gè)獨(dú)立作用效果,即平動(dòng)效果和轉(zhuǎn)動(dòng)效果,其中反映轉(zhuǎn)動(dòng)效果的規(guī)律是轉(zhuǎn)動(dòng)定理,反映平動(dòng)效果的規(guī)律是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和牛頓第二定律整體法即廣義的牛頓第二定律.