高中數(shù)學(xué)函數(shù)和數(shù)列結(jié)合的解題方法

■趙一鳴

隨著新課改的不斷深入與發(fā)展,高中數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域也提出了更高的標(biāo)準(zhǔn)和要求。數(shù)學(xué)課程邏輯性較強(qiáng)且前后知識(shí)相關(guān)性強(qiáng),這就更加需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程時(shí),重視前后內(nèi)容的聯(lián)系,從而不斷提高分析問題的能力,拓寬解題思維。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)與數(shù)列知識(shí)的聯(lián)系

數(shù)列屬于特殊的一種函數(shù),也稱為整標(biāo)函數(shù),是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù),自變量是項(xiàng)數(shù),數(shù)列的各項(xiàng)值即函數(shù)值。按函數(shù)的定義,函數(shù)的自變量自小到大地依序排列,能夠得到相對(duì)應(yīng)的數(shù)值。函數(shù)具有自身的特征,數(shù)列通項(xiàng)求和公式相對(duì)應(yīng)的是函數(shù)特性的意義,在解答高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題時(shí),靈活引入函數(shù)知識(shí),能方便數(shù)列問題的順利解決,通過圖像及特征分析,幫助我們了解數(shù)列和函數(shù)間的聯(lián)系。故在解答數(shù)列問題時(shí),我們要巧妙應(yīng)用函數(shù)概念將函數(shù)與數(shù)列二者有效結(jié)合。探索函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系,能更好地幫助我們學(xué)習(xí)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容。

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)與數(shù)列結(jié)合思路探析

1.函數(shù)和等比數(shù)列的結(jié)合。在高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)中,將其與函數(shù)有效地結(jié)合,可以鍛煉我們的解題思維能力。此種題目的難度比較大,可將等比數(shù)列公式和函數(shù)有效地轉(zhuǎn)換,畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像,將這種數(shù)量關(guān)系有效結(jié)合,完成問題的解答。

在解答這樣的問題時(shí),需要明確解題思路,尋找函數(shù)和等比數(shù)列之間的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)其深入分析,完成問題的快速解答。在解題的過程中,要根據(jù)已知條件中圖像經(jīng)過的兩點(diǎn),求解出a和b的值。根據(jù)題目中的條件,判斷數(shù)列{an}的性質(zhì),求解出數(shù)列的通項(xiàng)公式,有效解決數(shù)學(xué)問題。

2.函數(shù)和等差數(shù)列的結(jié)合。在等差數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)中,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d可以轉(zhuǎn)化為an=dn+(a1-d),可以將其看成an=pn+q,當(dāng)p≠0時(shí),其是關(guān)于n的一次函數(shù)。有效利用一次函數(shù)關(guān)系,對(duì)函數(shù)和等差數(shù)列的關(guān)系深入分析,可順利解答等差數(shù)列問題。

例題已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(10-3n)x+9n2-61n+100(n∈N)。(1)如果二次函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an},證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;(2)假設(shè)函數(shù)y=f(x)圖像的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{dn},求解數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式。

在解答這樣的問題時(shí),我們需要對(duì)題干進(jìn)行分析,找出已知條件和隱藏條件,分析數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別,同時(shí)畫出二次函數(shù)的圖像,對(duì)其坐標(biāo)深入分析,可通過這樣的解題思路寫出關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式。問題(1)在解答的過程中,根據(jù)函數(shù)f(x)可以得出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)表達(dá)式,根據(jù)通項(xiàng)表達(dá)式判斷數(shù)列是等差數(shù)列。在問題(2)的解答中,根據(jù)函數(shù)f(x)的表達(dá)式,求解y軸和頂點(diǎn)之間的距離,得出數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式,解決問題。

總結(jié)：數(shù)列和函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),兩者存在著特殊的關(guān)系。因此,在高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中,我們需要將函數(shù)和數(shù)列知識(shí)有效地結(jié)合,從中找出解決數(shù)列問題的切入點(diǎn),擴(kuò)展數(shù)學(xué)問題解題思路,鍛煉自身的解題能力,有效解答數(shù)列難題。