分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題障礙分析與教學(xué)策略研究

曾玲玲 龔羅中 陳雨寒

摘 要：分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要組成部分，也是小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須克服的難點(diǎn)。通過(guò)分析產(chǎn)生小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題障礙的原因，提出了小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題障礙相應(yīng)的解決方法。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);分?jǐn)?shù)應(yīng)用題;障礙和策略

分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)?，與整數(shù)應(yīng)用題相比分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中數(shù)量之間的相互關(guān)系比整數(shù)應(yīng)用題顯得復(fù)雜又抽象。但是，在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師往往只注重解題方法的灌輸，忽視了思維訓(xùn)練和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng);使用模仿和替代而不是創(chuàng)新和生成，而忽略學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，其結(jié)果是學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)不高，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)不能夠靈活分析理解抽象的數(shù)量關(guān)系。導(dǎo)致學(xué)生面對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的相對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系時(shí)感到難以理解、非常容易混淆份和量的關(guān)系。深入分析學(xué)生解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的主客觀障礙，提出相應(yīng)的教學(xué)策略是本文的主要工作。

一、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題障礙的分析

（一）小學(xué)生做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)存在著解題模式的干擾

在小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和教育中，小學(xué)生的思維能力和理解能力仍然嚴(yán)重不足。這為他們提供了解決問(wèn)題的方法。在后來(lái)的解決方案中，相關(guān)的問(wèn)題將根據(jù)這一想法進(jìn)行解決。但是，如果你對(duì)原來(lái)的題目做一些小的改動(dòng)，小學(xué)生就不會(huì)明白，所以他們什么也做不了。因此，當(dāng)許多學(xué)生完成分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，他們會(huì)按照原來(lái)的方案解決問(wèn)題，而且它不靈活。這將導(dǎo)致答案錯(cuò)誤并影響答案的準(zhǔn)確性。

（二）當(dāng)小學(xué)生對(duì)應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行評(píng)分時(shí)，存在多余的干擾

所謂多余條件的干擾，實(shí)際上是指學(xué)生在閱讀分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的過(guò)程中，會(huì)遇到大量在已知條件下無(wú)法發(fā)揮作用的信息。這種已知情況的出現(xiàn)在很大程度上使學(xué)生們感到困惑。特別是對(duì)于那些仍然缺乏理解能力的小學(xué)生，這些沒(méi)用的條件的出現(xiàn)使他們很容易忽略那些應(yīng)該被注意的關(guān)鍵信息點(diǎn)。這導(dǎo)致了小學(xué)生在解題時(shí)的思維的混亂和錯(cuò)誤。

（三）小學(xué)生做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)存在著迂回迷惑的干擾

在小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用的主題中，必然會(huì)出現(xiàn)一些已知的情況，例如倒敘，甚至插值。如果分?jǐn)?shù)應(yīng)用題以這種方式表達(dá)，小學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)會(huì)造成思維的混亂。甚至在問(wèn)題中給出的已知條件的數(shù)量之間的關(guān)系太復(fù)雜了，在回答問(wèn)題的過(guò)程中，小學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解會(huì)有難度。要弄清各種已知條件之間的關(guān)系是很復(fù)雜的，就會(huì)很難理解這個(gè)題干的要求。

二、解決小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題障礙的策略

（一）及時(shí)進(jìn)行教學(xué)知識(shí)的實(shí)踐

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量是解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題的基礎(chǔ)。在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該注意學(xué)生成績(jī)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)。同時(shí)讓學(xué)生掌握基本的成績(jī)知識(shí)，也有必要促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)基本的分?jǐn)?shù)知識(shí)的實(shí)踐。例如，在學(xué)習(xí)了相同分母和不同分母的分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除后，必須要求學(xué)生及時(shí)進(jìn)行與其有關(guān)的練習(xí)。只有這樣，學(xué)生才能充分掌握和靈活運(yùn)用基本知識(shí)。避免在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中失分。同時(shí)，教師應(yīng)繼續(xù)教授和培養(yǎng)學(xué)生的分析和應(yīng)用能力。只有這樣，學(xué)生可以有效地發(fā)展理論思維，提高學(xué)生解決問(wèn)題的準(zhǔn)確性。

（二）強(qiáng)化審題能力的訓(xùn)練

問(wèn)題的審查是解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟，只有認(rèn)真閱讀題目，認(rèn)真研究問(wèn)題，才能找到關(guān)鍵點(diǎn)，找到正確解決問(wèn)題的方法。因此，在應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考問(wèn)題的良好習(xí)慣。同時(shí)，在指導(dǎo)學(xué)生審清分?jǐn)?shù)應(yīng)用題題干時(shí)，應(yīng)全面分析題目?jī)?nèi)容，找出各種數(shù)字之間的關(guān)系，通過(guò)認(rèn)真審題來(lái)解決障礙。

【實(shí)例】晶晶三天看完一本書，第一天看了全書的1/4，第二天看了余下的2/5，：二天比第一天多看了15頁(yè)”，用15÷（3/10-1/4）=300頁(yè)，即求出了全書的頁(yè)數(shù)。

（三）用一題多解培養(yǎng)的發(fā)散思維

由于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題具有很強(qiáng)的靈活性，學(xué)生在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)也需要有靈活的思維來(lái)找尋各種解決方案。這使得數(shù)學(xué)教師注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用各種解決問(wèn)題的方法來(lái)回答問(wèn)題。如果學(xué)生一時(shí)找不到解決辦法，讓學(xué)生先思考，然后讓學(xué)生進(jìn)行小組討論。這不僅可以有效提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，還可以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)散思維訓(xùn)練，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【實(shí)例】工人們正在修建一條水渠，經(jīng)過(guò)3天的施工修建了120米，占據(jù)水渠總長(zhǎng)度的1/4，求在施工速度不變的情況下，還需多少天才能夠?qū)⑺藿ㄍ戤叄?/p>

【分析】該分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是一道典型的一題多解類題目，在解題過(guò)程中教師可先為學(xué)生講解其中一種常規(guī)的解題方法，再留下時(shí)間讓他們思考尋找不同的解題方法。教師可指導(dǎo)學(xué)生這樣思考：3天修建120米，每天修建120÷3=40米，水渠總長(zhǎng)為120÷1/4=480米，剩余天數(shù)為480÷40-3=9天。他們通過(guò)討論交流之后，可以得出這樣的計(jì)算方法：3÷1/4-3=9天或3÷1/4×（1-1/4）=9天。在這樣的解題過(guò)程中，學(xué)生的思維得以發(fā)散，將會(huì)變得愈加靈活。

（四）針對(duì)同種題型結(jié)構(gòu)，運(yùn)用不同解題方法

盡管分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解答是復(fù)雜的，但它遵循規(guī)則。通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與生活之間的廣泛聯(lián)系，學(xué)會(huì)運(yùn)用他們學(xué)到的知識(shí)和方法來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，并加深他們對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。并獲得一種使用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的思維方式。

1、數(shù)形結(jié)合法解題。小學(xué)生在解決部分分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，由于數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜性感到困惑，一時(shí)難以理清思路，難以找到正確比較量與標(biāo)準(zhǔn)單位的關(guān)系，給找到正確的解決方案帶來(lái)障礙和混亂。此時(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)字結(jié)合思想分析問(wèn)題、闡明思想。通過(guò)數(shù)字、思想和應(yīng)用的結(jié)合，分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題中的定量關(guān)系可以以具體和直觀的方式呈現(xiàn)。能夠簡(jiǎn)化和易懂，然后消除解決問(wèn)題的障礙。老師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)字和思想相結(jié)合的方法來(lái)分析分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，使得題目的條件關(guān)系被清楚地證明，正確解題的速度可以被有效的提高。

2、列方程解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。用一個(gè)字母或含有字母的式子能夠逐一表示出題中出現(xiàn)的未知數(shù)量，便可根據(jù)題意列方程解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。

【實(shí)例】甲、乙兩書架共有圖書1000冊(cè)，若從兩個(gè)書架上各取掉1/5后，再把甲書架的書取40冊(cè)給乙書架，這時(shí)兩書架上的書一樣多。甲、乙兩書架各有圖書多少冊(cè)？

【分析】此題若設(shè)甲書架有圖書x冊(cè)，則乙書架有圖書（1000-x）冊(cè)。根據(jù)題意列方程得：x×（1-1/5）-40=（1000-x）×（1-1/5）+40，解得甲書架有圖書550冊(cè)，則乙書架有1000-550=450（冊(cè)）。

3、假設(shè)法解題。在某些應(yīng)用題中，定量關(guān)系更為復(fù)雜和隱蔽。根據(jù)一般的方法，很難找到數(shù)字之間的關(guān)系和內(nèi)部聯(lián)系。然而，假設(shè)條件或現(xiàn)象成立，往往就有可能找到解決辦法。

【實(shí)例】學(xué)校有排球和羽毛球共105個(gè)，已知排球個(gè)數(shù)的3/8與羽毛球個(gè)數(shù)的4/7和為49個(gè)，學(xué)校排球和羽毛球各有多少個(gè)？

【分析】在這道題中，根據(jù)“排球個(gè)數(shù)的3/8與羽毛球個(gè)數(shù)的4/7和為49個(gè)，”可以看出兩個(gè)分率的單位“1”不相同，給解題帶來(lái)了很大的難度。我們可以假設(shè)排球和羽毛球都拿出它們的4/7，那么一共就有105×4/7=60個(gè)，比49個(gè)多了60-49=11個(gè)，為什么多了呢？是因?yàn)榘雅徘虻?/8當(dāng)作4/7來(lái)計(jì)算，多算了排球個(gè)數(shù)的4/7-3/8=11/56，11對(duì)應(yīng)的分率就是11/56 ，那么排球的個(gè)數(shù)就是11÷11/56=56個(gè)，羽毛球的個(gè)數(shù)就是105-56=49（個(gè)）。當(dāng)然這道題也可以假設(shè)排球和羽毛球都有3/8來(lái)解決。

4、逆推法解題。逆推法是通過(guò)從條件或問(wèn)題開始來(lái)尋找問(wèn)題的解決方案的一種方法。這種解決策略可以引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)方面不斷反思和檢討，打破思維的干擾，容易開闊思路，合理有效地調(diào)整解決問(wèn)題，使解決問(wèn)題的思路更加清晰。

【實(shí)例】王大伯屋后有一棵桃樹。他孫子每天從樹上摘下一些桃子和鄰居的小伙伴分著吃，第一天摘下桃子總個(gè)數(shù)的1/10，以后8天分別摘下當(dāng)天樹上現(xiàn)有桃子的1/9，1/8，1/7，？？？，1/3，1/2，摘了9天，樹上還留下10個(gè)桃子。樹上原來(lái)有多少個(gè)桃子？

【分析】從樹上還留下10個(gè)桃子入手倒著往前推，它占第8天后余下的1-1/2=1/2，第8天后余下10÷（1-1/2）=20個(gè)，這20個(gè)占第7天后余下的1-1/3=2/3，第7天后余下20÷（1-1/3）=30個(gè)。依此類推：10÷（1-1/2）÷（1-1/3）÷（1-1/4）÷（1-1/5）÷（1-1/6）÷（1-1/7）÷（1-1/8）÷（1-1/9）÷（1-1/10）=10×2×3/2×4/3×5/4×6/5×7/6×8/7×9/8×10/9=100個(gè)。

5、等量代換的解題方法。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，把幾種數(shù)量中的其中一種數(shù)量用與它相當(dāng)或相等的數(shù)量代替，使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系單一化，量率的對(duì)應(yīng)顯明化，從而找到解題途徑。

【實(shí)例】果園里栽了110棵蘋果樹和梨樹。蘋果樹的1/3比梨樹的1/5多10棵。果園里有多少棵梨樹？

【分析】根據(jù)第一個(gè)已知條件知：蘋果樹的棵樹+梨樹的棵樹=110（棵）（1）

根據(jù)第二個(gè)已知條件，蘋果樹的棵數(shù)相當(dāng)于“梨樹的1/5多10棵”的3倍，即

蘋果樹的棵數(shù)=梨樹的棵數(shù)×3/5+30棵（2）

把（2）式代入（1）式，得：

梨樹的棵數(shù)×3/5+30棵+梨樹的棵數(shù)=110（棵）（3）

從（3）式便知：（110—30）棵占梨樹的（1+3/5），所以梨樹的棵數(shù)是：（110-30）÷（1+3/5）=50（棵）。

6、轉(zhuǎn)變條件解題。一些分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題，通過(guò)改變問(wèn)題的角度，可以將問(wèn)題中的某些已知量轉(zhuǎn)換成與之相關(guān)的另一個(gè)量，使之成為一個(gè)相對(duì)熟悉的簡(jiǎn)單問(wèn)題，并找到解決問(wèn)題的新方法。

【實(shí)例】某電廠原有職工160人，其中女職工占11/20，后來(lái)調(diào)走了一批女職工，這時(shí)女職工占總?cè)藬?shù)的5/11?，F(xiàn)在這個(gè)電廠有多少女職工？

【分析】題中總?cè)藬?shù)和女職工人數(shù)都在變化，只有男職工人數(shù)始終沒(méi)變，是160×（1-11/20）=72（人）。如果我們把“這時(shí)女職工占總?cè)藬?shù)的5/11”這個(gè)條件轉(zhuǎn)化成“這時(shí)男職工占總?cè)藬?shù)的6/11”，便可求出一批女職工調(diào)出后電廠的總?cè)藬?shù)72÷6/11=132（人）。那么，現(xiàn)有女職工人數(shù)是：132×5/11=60（人）。

三、結(jié)語(yǔ)

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題能力的提高一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，教師在講解應(yīng)用題時(shí)要深入了解學(xué)生的具體情況，注意分析學(xué)生解這類應(yīng)用題的主客觀障礙，建立以學(xué)生為主體的教學(xué)課堂，充分發(fā)揮學(xué)生的自主意識(shí)，懂得通過(guò)引入學(xué)生日常生活實(shí)例，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用題的興趣，提高數(shù)學(xué)課堂的效率。

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